張識 王攀 張瑞浩 陳紅

(黑龍江大學電子工程學院, 哈爾濱 150080)

針對用龐加萊截面分析非線性系統(tǒng)時較難選擇合適截面的問題, 提出了一種投影時域法.該方法可以在時域上直觀地判斷所選平面是否合適并實時準確地調整平面的方向與位置.文中給出了投影時域法的完整定義并從理論上詳細分析了該方法的原理; 同時研究了在時域上判斷所選平面是否是合適的龐加萊截面的條件以及如何調整所選平面的方向與位置; 最后, 利用投影時域法對三種典型的三維或四維非線性系統(tǒng)進行了仿真實驗, 實驗結果證明了該方法的有效性和實用性.

1 引 言

在研究非線性系統(tǒng)的過程中, 龐加萊截面法可以有效地降低分析非線性系統(tǒng)的難度: 首先, 龐加萊截面將系統(tǒng)的連續(xù)軌線轉換為離散的點, 并且保留了系統(tǒng)的部分拓撲結構, 成為連接離散與連續(xù)信號的重要橋梁; 其次, 龐加萊截面可以降低系統(tǒng)的維數; 最后, 龐加萊截面可以直觀地反映系統(tǒng)的內部結構.這些特征使龐加萊截面法被廣泛地運用于量子力學[1?2]、語音識別[3?4]、醫(yī)學研究[5]和物理電子學[6]等領域.用龐加萊截面法對非線性系統(tǒng)進行分析時大多采用計算機數值仿真[7?10]或硬件系統(tǒng)實現(xiàn)[11?13]的形式.

選擇合適的平面作為龐加萊截面是運用龐加萊截面法分析非線性系統(tǒng)的關鍵.一個經典的局部龐加萊截面的選取方法是在系統(tǒng)軌跡上選取任意一點作為初始點, 計算該點鄰域內所有系統(tǒng)軌跡的平均方向向量, 這樣, 所選截面就被確定為穿過該初始點并以平均方向向量為法向量的平面[14].局部龐加萊截面的選取方法僅僅適用于截取系統(tǒng)軌跡的一部分, 并且初始點選取的不同也會影響截面的截取效果[15].

目前仍然缺少一種普適的和便捷的選擇全局龐加萊截面的方法[16].一些研究者將全局龐加萊截面的選擇方法視為龐加萊截面參數的優(yōu)化問題,通過算法來尋找最優(yōu)解: Krzysztof[17]列舉了可以用于優(yōu)化龐加萊截面參數的幾類算法, 并使用進化算法針對幾個時間序列找到了合適的龐加萊截面,以此判斷該時間序列是否是隨機信號; Babak和Amir[18]提出了利用香農熵作為判斷龐加萊截面位置是否合適的依據, 通過大量的計算針對一組離散時域信號找出了最合適的龐加萊截面.這些基于算法的全局龐加萊截面選擇方法從各自研究角度恰當地利用龐加萊截面取得了研究成果, 但是難以實時觀測分析, 并且只能得到某個方向與位置固定的龐加萊截面, 不便于研究者自由地調整截面的方向與位置.但是, 不同系統(tǒng)、不同研究者對于龐加萊截面的需求不同, 例如: Atefeh 和 Ateke[19]在對PPG信號進行分析時, 通過變換角度的方式選擇了多個特定角度的平面作為龐加萊截面; Carlos和Daniel[20]選取了一個平行于x軸和z軸的平面作為截面, 以此設計出一個基于混沌的保密通信系統(tǒng); 閆登衛(wèi)等[21]則分別選取了平面 x =5 和y=0對一類基于憶阻器的混沌系統(tǒng)進行分析.對此, 本文提出了一種在時域上選擇全局龐加萊截面的方法—投影時域法(Projection Time Domain method,PTD法).該方法既能夠在時域上直觀地反映系統(tǒng)軌道與所選平面的相交情況, 又能夠實時準確地調整所選平面的方向與位置, 從而選取任意方向與位置的平面作為截面, 可以有效地降低選擇全局龐加萊截面的難度.

2 PTD法的定義及分析

為了方便快捷地針對不同的非線性系統(tǒng)選擇合適的龐加萊截面, 本文提出的PTD法定義如下:在三維空間里, 系統(tǒng) d L/dt=f(L),(L=l1,l2,l3) 的三路時域輸出分別為 l1(t),l2(t),l3(t) .將系統(tǒng)軌道沿著 z 軸方向投影到任意不平行于 z 軸的平面Σ :αx+βy+γz+ λ =0(γ0)上, 將投影線的z軸坐標隨時間演化的軌跡記為F(l1(t),l2(t))=Al1(t)+Bl2(t)+C .記 l3(t) 為參考信 號 , F (l1(t),l2(t)) 為 平 面 信 號 , 當 且 僅 當F(l1(t),l2(t))=l3(t)時, 系統(tǒng)軌道與平面 Σ 相交,平 面 Σ 截 取 了 系 統(tǒng) 軌 道.若 存 在 一 組 參 數A0,B0,C0, 使得 F (l1(t),l2(t)) 與 l3(t) 交點個數較多且交點集中于 l3(t) 的每個增幅振蕩區(qū)域, 則F(l1(t),l2(t)所在平面Σ0:A0x+B0y?z+C0=0為合適的龐加萊截面.

該方法首先選擇非線性系統(tǒng)的一路時域輸出作為參考信號, 之后將這個非線性系統(tǒng)余下的所有時域輸出通過比例相加的方法產生一路時域信號,稱之為平面信號.這個時域上的平面信號對應著相空間中的一個特定平面.通過在時域上直接觀察參考信號與平面信號的交點來判斷對應平面是否為合適的龐加萊截面.如果在時域中平面信號與參考信號的交點個數較多且交點集中于參考信號的每個增幅振蕩區(qū)域, 則該平面信號對應的平面是合適的龐加萊截面.

在三維相空間中, 將系統(tǒng)軌道沿著z軸坐標方向投影到任意不平行于 z 軸的平面 Σ 上, 則投影線與系統(tǒng)軌道具有相同的 x ,y 軸坐標, 系統(tǒng)軌道與平面 Σ 的相交關系可以通過比較投影線z軸坐標與系統(tǒng)軌道z軸坐標來判斷(圖1).

圖1 軌道在平面上的投影Fig.1.The projection of a trajectory onto a plane.

在圖1中, 實線為系統(tǒng)軌道, 虛線為被平面Σ遮擋的系統(tǒng)軌道, 點劃線為系統(tǒng)軌道沿著z軸方向投影到平面 Σ 上的投影線.點 D1是系統(tǒng)軌道上的任意點, 其 z 軸坐標用 l3(t) 表示; 點 D2是點 D1在平面 Σ 上的投影點, 其 z 軸坐標用 F (l1(t),l2(t)) 表示.在相空間中系統(tǒng)軌道隨著時間演化不停地遠離或者靠近平面 Σ , 這種靠近或遠離的趨勢可以用F(l1(t),l2(t))與 l3(t) 的差值來度量, 稱F(l1(t),l2(t))為對應平面 Σ 的平面信號, 并稱 l3(t) 為參考信號.如果平面信號與參考信號的差值為0, 則在相空間中系統(tǒng)軌道穿過了平面 Σ .分別做出平面信號與參考信號的時域波形(圖2).

圖2 F (l1(t),l2(t)) 與 l3(t) 的波形Fig.2.Waveform of F (l1(t),l2(t)) and l3(t) .

在圖2 中, 實線 l3(t) 為參考信號, 表示系統(tǒng)軌道的 z軸坐標隨時間演化的軌跡; 點劃線F(l1(t),l2(t))為平面信號, 表示投影線的z軸坐標隨時間演化的軌跡.參考信號與平面信號的每一個交點都表示在相空間中系統(tǒng)軌道穿過了一次平面Σ.

相空間中, 任意一個不平行于z軸的平面 Σ 的一般式方程為

整理 (1)式后, 得

簡化 (2)式, 令A= ?α/γ,B= ?β/γ,C= ?λ/γ,則

由(3)式可知, 對于平面 Σ 上任意一點的x,軸坐標值, 其z軸坐標值為 F (x,y) .將投影線的x,y 軸坐標值代入 (3)式, 令 x =l1(t),y=l2(t) (投影線和系統(tǒng)軌道具有相同的 x ,y 軸坐標), 則投影線的z軸坐標為

(4)式即為平面信號的函數表達式.若改變參數 A ,B,C , 平面信號的時域波形發(fā)生改變, 平面Σ在相空間中的方向與位置也會相應變化.平面信號可以視作為非線性系統(tǒng)兩路時域輸出 l1(t),l2(t) 的比例相加, 疊加的比例分別由參數 A ,B 控制, 故改變參數 A ,B 可以調整平面信號的形狀; 參數C作為(4)式中的常數項, 改變參數C可以上下平移平面信號.

為保證平面 Σ 是合適的龐加萊截面, 應當改變平面信號的參數 A ,B,C , 調整平面信號的形狀, 使平面信號滿足某些條件.下面分別從平面信號與參考信號交點的數量、平面信號與參考信號交點的位置兩個方面分析平面信號需要滿足的條件.

在交點的數量上, 參考信號與平面信號的交點個數反映了相空間中平面 Σ 與系統(tǒng)軌道的交點個數.在時域上參考信號與平面信號的每一個交點都對應著相空間中平面 Σ 與系統(tǒng)軌道的一個交點.因此, 截取一段時間內的平面信號和參考信號, 如果該時段內參考信號與平面信號的交點個數較多, 則在相空間中系統(tǒng)軌道穿過平面 Σ 的次數較多; 如果該時段內參考信號與平面信號的交點較少, 則在相空間中系統(tǒng)軌道穿過平面 Σ 的次數較少.平面信號與參考信號交點的數量可以直觀但粗略地對平面Σ進行評價.

進一步地, 平面信號與參考信號交點的位置可以明確地判斷平面 Σ 是否為合適的龐加萊截面.在時域上, 系統(tǒng)軌道的渦卷與鍵帶的波形具有明顯的差異, 增幅振蕩正是渦卷在時域上表現(xiàn)出的顯著特征(圖3)[22].

在圖3中, 渦卷在相空間中的軌道是螺旋擴張運動, 參考信號在時域上的波形表現(xiàn)為振幅逐漸增大?的振蕩運動, 稱這部分時域波形為參考信號的渦卷部分; 鍵帶的相軌將兩個渦卷連接起來, 參考信號在時域上的波形表現(xiàn)為單向運動, 稱這部分時域波形為參考信號的鍵帶部分.如果在時域上平面信號與參考信號交于參考信號的渦卷部分, 則在相空間中平面 Σ 切入了系統(tǒng)軌跡的渦卷; 如果在時域上平面信號與參考信號交于參考信號的鍵帶部分, 則在相空間中平面 Σ 切入了系統(tǒng)軌跡的鍵帶.參考信號與相空間中系統(tǒng)軌跡的聯(lián)系對平面信號與參考信號交點的位置作出了明確的要求:

圖3 渦卷的相軌與波形 (a)相軌; (b)波形Fig.3.Phase trajectoy and waveform of vortex: (a) Phase trajectoy; (b) waveform.

首先, 平面信號應當與參考信號的所有渦卷部分都相交.一個非線性系統(tǒng)可能擁有多個渦卷, 這些渦卷在相空間中處于不同的位置; 相應地, 參考信號的渦卷部分也會處于不同的高度上(參照本文實驗部分的三渦卷Chua系統(tǒng)).如果平面信號與參考信號的所有渦卷部分都相交, 則在相空間中平面 Σ 切入了系統(tǒng)軌跡的每一個渦卷.

其次, 平面信號應當與參考信號渦卷部分的每一次振蕩都相交.參考信號渦卷部分中的每一次振蕩都表示在相空間中系統(tǒng)軌跡進行了一次螺旋運動, 即渦卷又向外擴張了一圈.如果在時域上平面信號與參考信號渦卷部分的每一次振蕩都有交點,則在相空間中平面 Σ 切入了系統(tǒng)軌跡中這個渦卷的每一圈.

綜上, 平面信號應當滿足的兩個條件如下:

1)參考信號與平面信號的交點數量足夠多;

2)參考信號與平面信號的交點集中于參考信號的每個增幅振蕩區(qū)域.

其中1)確保了平面 Σ 與系統(tǒng)軌道有足夠多的交點, 2)確保了平面 Σ 切入系統(tǒng)軌道的每個渦卷.

3 任意截平面的選取

除了選擇與系統(tǒng)軌道充分相交的截面, 某些場合也需要選擇具有特定方向與位置的平面 Σ 作為截面.這里對平面信號的參數 A ,B,C 的幾何意義進行定量的分析, 以便對平面 Σ 的方向與位置施加準確的控制.

由(3)式, 平面 Σ 可以用下式描述:

式中, 平面 Σ 的法向量為 (A,B,?1) , 這說明改變參數 A ,B 可以調整平面 Σ 的方向; 參數C作為常量出現(xiàn), 改變參數C的值可以調整平面 Σ 在相空間中的水平高度.

本文使用平面 Σ 與x軸正方向的夾角 θ1和平面 Σ 與y軸正方向的夾角 θ2描述平面 Σ 的方向.當夾角 θ1,θ2的數值確定時, 平面 Σ 的方向也隨之確定.取x軸正方向的向量為 (1,0,0) , y軸正方向的向量為 (0,1,0) , 則 θ1,θ2可表示為

改變參數 A ,B 的值, 夾角 θ1,θ2相應地發(fā)生變化, 平面 Σ 的方向也會發(fā)生變化.可以根據研究需要選定夾角 θ1,θ2, 通過(6)式求出參數 A ,B .下表列出了一些由(6)式確定的常用平面所對應的參數 A ,B .

令平面 Σ 改變前與改變后的參數值分別為C1,C2, 則

若 ? C 的符號為正, 說明平面 Σ 沿著z軸正方向整體平移了 | ? C| 的距離; 若 ? C 的符號為負, 說明平面 Σ 沿著 z軸負方向整體平移了 | ? C| 的距離; 若?C 的值為0, 說明平面 Σ 在z軸方向沒有發(fā)生移動.

(6)式與(7)式定量地描述了參數 A ,B,C 對平面 Σ 方向與位置的影響, 通過改變參數 A ,B 調整平面 Σ 的方向, 改變參數C調整平面 Σ 的水平高度, 使用者總能調整出符合要求的平面 Σ 作為龐加萊截面.

4 仿真實驗

本節(jié)以Lorenz系統(tǒng)、三渦卷Chua系統(tǒng)[23]和超混沌Chen[24]系統(tǒng)為例, 通過仿真實驗驗證PTD法的有效性與可行性.其中Lorenz系統(tǒng)為有翼混沌系統(tǒng)的代表, 三渦卷Chua系統(tǒng)為多渦卷混沌系統(tǒng)的代表, 超混沌Chen系統(tǒng)為高維超混沌系統(tǒng)的代表.實驗中所有的系統(tǒng)均采用四階龍格庫塔法進行迭代仿真, 對每個系統(tǒng)都選取多組平面進行分析.

4.1 Lorenz系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)的歸一化的系統(tǒng)方程為

當a=10,b=2.667,c=28時, Lorenz 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).Lorenz系統(tǒng)在相空間中的系統(tǒng)軌道表現(xiàn)為兩個翅膀.本實驗將以Lorenz系統(tǒng)為例說明如何調整平面信號的參數以尋找到合適的龐加萊截面.

在系統(tǒng)軌跡未知的前提下, 首先任意選擇一個平面.選擇與x軸正方向夾角為0度, 與y軸正方向夾角為45o的平面作為截面.由表1知, 平面信號的參數 A ,B 應當設置為 A =0,B=1 , 參數C的設置沒有要求, 設置 C =0 , 實驗結果如圖4所示.

表1 常用平面的參數值Table 1.Parameter values of typical planes.

圖4 平面一的實驗結果 (a)時域波形; (b)相圖Fig.4.Experimental results of the first plane: (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖5 平面二的實驗結果 (a)時域波形; (b)相圖Fig.5.Experimental results of the second plane: (a) Waveform;(b) phase diagram.

在圖4(a)中, 藍色實線為參考信號, 紅色點劃線為平面信號, 參考信號與平面信號的時域波形形狀不同, 并且水平高度不同, 在圖4(a)時域范圍內參考信號與平面信號僅有兩個交點.相對應地, 在圖4(b)中, 截面與系統(tǒng)軌道并沒有充分相交, 該平面僅僅切入了系統(tǒng)軌道的一小部分右翼.在圖4(b)中, 截面平行于 x 軸, 與 y 軸正方向夾角為 45o, 與本次實驗想要選擇的方向相符.

在圖4(a)中, 參考信號與平面信號不處于同一水平高度上, 不改變平面一的方向, 保持參數A,B不變, 只改變平面一的高度, 將參數C設置為C=25, 由此得到平面二的實驗結果(圖5).

在圖5(a)中, 藍色實線為參考信號, 紅色點劃線為平面信號, 調整位置后, 平面信號與參考信號的交點個數顯著增多.相對應地, 在圖5(b) 中, 系統(tǒng)軌道與截面的交點個數也顯著地增多.

在平面二的基礎上, 嘗試調節(jié)所選平面的方向, 使平面信號與參考信號的交點盡可能地集中于渦卷部分.圖6為調整后的平面三的實驗結果, 選取的參數為 A =1,B=?1,C=25 .

在圖6(a)中, 藍色實線為參考信號, 紅色點劃線為平面信號, 參考信號與平面信號交點較多, 且集中于參考信號的渦卷區(qū)域.在圖6(b)中, 所選平面的方向發(fā)生了變化, 與系統(tǒng)軌道充分相交.該平面截取到了系統(tǒng)軌道的雙翼, 是合適的龐加萊截面.

4.2 三渦卷Chua系統(tǒng)

Chua系統(tǒng)因電路實現(xiàn)簡單、動力學行為豐富而受到學者的廣泛研究和應用.三渦卷Chua系統(tǒng)是Chua系統(tǒng)的一種變形, 其表達式如下:

圖6 平面三的實驗結果 (a)時域波形; (b)相圖Fig.6.Experimental results of the third plane: (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖7 平面一的實驗結果 (a) C = 0 時的波形; (b) C = 0 時的相圖; (c) C = 1.5 時的波形; (d) C = 1.5 時的相圖; (e) C =–1.5 時的波形; (f) C = –1.5 時的相圖Fig.7.Experimental results of the first plane: (a) Waveform while C = 0; (b) phase diagram while C = 0; (c) waveform while C =1.5; (d) phase diagram while C = 1.5; (e) waveform while C = –1.5; (f) phase diagram while C = –1.5.

式中, f是多項式函數, 其表達式為

當 a =12.8,b=19.1 時, 系統(tǒng)處于三渦卷混沌狀態(tài).本次實驗中, 選取以下平面作為截面進行實驗, 其中平面一是特定方向與位置的平面, 平面二是調整后合適的龐加萊截面:

平面一: 同時平行于x軸和y軸的平面.由表1可知, 參數 A ,B 設置為 A =0,B=0 , 本次實驗對參數C設置了多組不同的數值, 實驗結果如圖7所示:

圖7的實驗結果證明: 首先, 調整參數C可以控制平面信號的水平高度, 同時使平面在相空間中上下平移; 其次, 由于參考信號與平面信號波形不相似, 此時無論怎樣調整平面信號的水平高度, 都無法得到滿足選取條件的平面信號.

平面二: 選取滿足選取條件的一組參數, 本實驗中選取的參數為 A =?1,B=1,C=0 , 實驗結果如下:

在圖8(a)中, 藍色實線為參考信號, 紅色點劃線為平面信號, 參考信號與平面信號交點數量較多, 在參考信號的每一處增幅振蕩區(qū)域都產生足夠多的交點; 在圖8(b)中, 平面二截取到了系統(tǒng)軌道的三個渦卷, 該平面是合適的龐加萊截面.

4.3 超混沌Chen系統(tǒng)

超混沌Chen系統(tǒng)的歸一化方程為

當a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.5時, 系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).分別令 x ,y,z,w 中任意一個變量值為零, 得到超混沌Chen系統(tǒng)的某個三維相空間圖, 并分別對其用PTD法選取合適的平面作為截面.以下為實驗結果.

圖8 平面二的實驗結果 (a)波形; (b)相圖Fig.8.Experimental results of the second plane: (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖9 w =0 時的實驗結果 (a)波形; (b)相圖Fig.9.Experimental results while w =0 : (a) Waveform; (b) phase diagram.

若令超混沌Chen系統(tǒng) w =0 , 在 X oYoZ 相空間中觀察系統(tǒng)軌道, 選取的平面信號參數為:A=0,B=?0.5,C=20, 實驗結果如圖9所示.

若令超混沌 Chen 系統(tǒng) z =0 , 在 X oYoW 相空間中觀察系統(tǒng)軌道, 選取的平面信號參數為:A=?0.5,B=?4,C=0, 實驗結果如圖10所示.

若令超混沌 Chen 系統(tǒng) y =0 , 在 X oZoW 相空間中觀察系統(tǒng)軌道, 選取的平面信號參數為:A=?1,B=?4,C=50, 實驗結果如圖11所示.

圖10 z =0 時的實驗結果 (a)波形; (b)相圖Fig.10.Experimental results while z =0 : (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖11 y =0 時的實驗結果 (a)波形; (b)相圖Fig.11.Experimental results while y =0 : (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖12 x =0 時的實驗結果 (a)波形; (b)相圖Fig.12.Experimental results while x =0 : (a) Waveform; (b) phase diagram.

若令超混沌Chen系統(tǒng) x =0 , 在 Y oZoW 相空間中觀察系統(tǒng)軌道, 選取的平面信號參數為:A=?5,B=0,C=0, 實驗結果如圖12所示.

在本節(jié)實驗中, 選取了三個典型的非線性系統(tǒng)進行分析, 實驗結果表明: 時域上參考信號與平面信號的相交關系能夠直觀地反映相空間中所選平面與系統(tǒng)軌道的相交關系; 改變平面信號的參數可以調整平面信號的形狀, 也可以準確有效地調整相空間中截面的方向與位置; 該方法能夠針對不同的非線性系統(tǒng)分別選擇不同的平面作為合適的龐加萊截面.

五 結 論

本文提出的PTD法是選擇全局龐加萊截面的新方法.該方法不需要復雜的算法實現(xiàn), 可以靈活地調整所選截面的方向與位置以滿足不同系統(tǒng)、不同研究者對龐加萊截面的不同需求.PTD法將系統(tǒng)軌道投影到所選平面上, 利用兩個時域信號的相交關系反映相空間中系統(tǒng)軌道與所選平面的相交關系, 可以在時域上直觀地判斷所選平面是否是合適的龐加萊截面.如果在時域中平面信號與參考信號的交點個數較多且交點集中于參考信號的每個增幅振蕩區(qū)域, 則所選平面為合適的龐加萊截面.通過改變平面信號的參數可以實時準確地調整平面信號的形狀和所選平面在相空間中的方向與位置, 使用者既可以快速尋找與系統(tǒng)軌道充分相交的平面, 又可以根據需要選擇任意方向和位置的平面作為龐加萊截面.基于雙翼Lorenz, 三渦卷Chua和超混沌Chen系統(tǒng)的仿真實驗證明了PTD法對三維、四維、多渦和超混沌非線性系統(tǒng)均具有有效性和可行性.本文在分析和實驗中選擇了z軸作為投影方向, 針對待測系統(tǒng)的實際情況, 也可以選擇x軸或者y軸作為投影方向.