張識 王攀 張瑞浩 陳紅

(黑龍江大學(xué)電子工程學(xué)院, 哈爾濱 150080)

針對用龐加萊截面分析非線性系統(tǒng)時(shí)較難選擇合適截面的問題, 提出了一種投影時(shí)域法.該方法可以在時(shí)域上直觀地判斷所選平面是否合適并實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地調(diào)整平面的方向與位置.文中給出了投影時(shí)域法的完整定義并從理論上詳細(xì)分析了該方法的原理; 同時(shí)研究了在時(shí)域上判斷所選平面是否是合適的龐加萊截面的條件以及如何調(diào)整所選平面的方向與位置; 最后, 利用投影時(shí)域法對三種典型的三維或四維非線性系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn), 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該方法的有效性和實(shí)用性.

1 引 言

在研究非線性系統(tǒng)的過程中, 龐加萊截面法可以有效地降低分析非線性系統(tǒng)的難度: 首先, 龐加萊截面將系統(tǒng)的連續(xù)軌線轉(zhuǎn)換為離散的點(diǎn), 并且保留了系統(tǒng)的部分拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 成為連接離散與連續(xù)信號的重要橋梁; 其次, 龐加萊截面可以降低系統(tǒng)的維數(shù); 最后, 龐加萊截面可以直觀地反映系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu).這些特征使龐加萊截面法被廣泛地運(yùn)用于量子力學(xué)[1?2]、語音識別[3?4]、醫(yī)學(xué)研究[5]和物理電子學(xué)[6]等領(lǐng)域.用龐加萊截面法對非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)大多采用計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真[7?10]或硬件系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)[11?13]的形式.

選擇合適的平面作為龐加萊截面是運(yùn)用龐加萊截面法分析非線性系統(tǒng)的關(guān)鍵.一個(gè)經(jīng)典的局部龐加萊截面的選取方法是在系統(tǒng)軌跡上選取任意一點(diǎn)作為初始點(diǎn), 計(jì)算該點(diǎn)鄰域內(nèi)所有系統(tǒng)軌跡的平均方向向量, 這樣, 所選截面就被確定為穿過該初始點(diǎn)并以平均方向向量為法向量的平面[14].局部龐加萊截面的選取方法僅僅適用于截取系統(tǒng)軌跡的一部分, 并且初始點(diǎn)選取的不同也會(huì)影響截面的截取效果[15].

目前仍然缺少一種普適的和便捷的選擇全局龐加萊截面的方法[16].一些研究者將全局龐加萊截面的選擇方法視為龐加萊截面參數(shù)的優(yōu)化問題,通過算法來尋找最優(yōu)解: Krzysztof[17]列舉了可以用于優(yōu)化龐加萊截面參數(shù)的幾類算法, 并使用進(jìn)化算法針對幾個(gè)時(shí)間序列找到了合適的龐加萊截面,以此判斷該時(shí)間序列是否是隨機(jī)信號; Babak和Amir[18]提出了利用香農(nóng)熵作為判斷龐加萊截面位置是否合適的依據(jù), 通過大量的計(jì)算針對一組離散時(shí)域信號找出了最合適的龐加萊截面.這些基于算法的全局龐加萊截面選擇方法從各自研究角度恰當(dāng)?shù)乩谬嫾尤R截面取得了研究成果, 但是難以實(shí)時(shí)觀測分析, 并且只能得到某個(gè)方向與位置固定的龐加萊截面, 不便于研究者自由地調(diào)整截面的方向與位置.但是, 不同系統(tǒng)、不同研究者對于龐加萊截面的需求不同, 例如: Atefeh 和 Ateke[19]在對PPG信號進(jìn)行分析時(shí), 通過變換角度的方式選擇了多個(gè)特定角度的平面作為龐加萊截面; Carlos和Daniel[20]選取了一個(gè)平行于x軸和z軸的平面作為截面, 以此設(shè)計(jì)出一個(gè)基于混沌的保密通信系統(tǒng); 閆登衛(wèi)等[21]則分別選取了平面 x =5 和y=0對一類基于憶阻器的混沌系統(tǒng)進(jìn)行分析.對此, 本文提出了一種在時(shí)域上選擇全局龐加萊截面的方法—投影時(shí)域法(Projection Time Domain method,PTD法).該方法既能夠在時(shí)域上直觀地反映系統(tǒng)軌道與所選平面的相交情況, 又能夠?qū)崟r(shí)準(zhǔn)確地調(diào)整所選平面的方向與位置, 從而選取任意方向與位置的平面作為截面, 可以有效地降低選擇全局龐加萊截面的難度.

2 PTD法的定義及分析

為了方便快捷地針對不同的非線性系統(tǒng)選擇合適的龐加萊截面, 本文提出的PTD法定義如下:在三維空間里, 系統(tǒng) d L/dt=f(L),(L=l1,l2,l3) 的三路時(shí)域輸出分別為 l1(t),l2(t),l3(t) .將系統(tǒng)軌道沿著 z 軸方向投影到任意不平行于 z 軸的平面Σ :αx+βy+γz+ λ =0(γ0)上, 將投影線的z軸坐標(biāo)隨時(shí)間演化的軌跡記為F(l1(t),l2(t))=Al1(t)+Bl2(t)+C .記 l3(t) 為參考信 號 , F (l1(t),l2(t)) 為 平 面 信 號 , 當(dāng) 且 僅 當(dāng)F(l1(t),l2(t))=l3(t)時(shí), 系統(tǒng)軌道與平面 Σ 相交,平 面 Σ 截 取 了 系 統(tǒng) 軌 道.若 存 在 一 組 參 數(shù)A0,B0,C0, 使得 F (l1(t),l2(t)) 與 l3(t) 交點(diǎn)個(gè)數(shù)較多且交點(diǎn)集中于 l3(t) 的每個(gè)增幅振蕩區(qū)域, 則F(l1(t),l2(t)所在平面Σ0:A0x+B0y?z+C0=0為合適的龐加萊截面.

該方法首先選擇非線性系統(tǒng)的一路時(shí)域輸出作為參考信號, 之后將這個(gè)非線性系統(tǒng)余下的所有時(shí)域輸出通過比例相加的方法產(chǎn)生一路時(shí)域信號,稱之為平面信號.這個(gè)時(shí)域上的平面信號對應(yīng)著相空間中的一個(gè)特定平面.通過在時(shí)域上直接觀察參考信號與平面信號的交點(diǎn)來判斷對應(yīng)平面是否為合適的龐加萊截面.如果在時(shí)域中平面信號與參考信號的交點(diǎn)個(gè)數(shù)較多且交點(diǎn)集中于參考信號的每個(gè)增幅振蕩區(qū)域, 則該平面信號對應(yīng)的平面是合適的龐加萊截面.

在三維相空間中, 將系統(tǒng)軌道沿著z軸坐標(biāo)方向投影到任意不平行于 z 軸的平面 Σ 上, 則投影線與系統(tǒng)軌道具有相同的 x ,y 軸坐標(biāo), 系統(tǒng)軌道與平面 Σ 的相交關(guān)系可以通過比較投影線z軸坐標(biāo)與系統(tǒng)軌道z軸坐標(biāo)來判斷(圖1).

圖1 軌道在平面上的投影Fig.1.The projection of a trajectory onto a plane.

在圖1中, 實(shí)線為系統(tǒng)軌道, 虛線為被平面Σ遮擋的系統(tǒng)軌道, 點(diǎn)劃線為系統(tǒng)軌道沿著z軸方向投影到平面 Σ 上的投影線.點(diǎn) D1是系統(tǒng)軌道上的任意點(diǎn), 其 z 軸坐標(biāo)用 l3(t) 表示; 點(diǎn) D2是點(diǎn) D1在平面 Σ 上的投影點(diǎn), 其 z 軸坐標(biāo)用 F (l1(t),l2(t)) 表示.在相空間中系統(tǒng)軌道隨著時(shí)間演化不停地遠(yuǎn)離或者靠近平面 Σ , 這種靠近或遠(yuǎn)離的趨勢可以用F(l1(t),l2(t))與 l3(t) 的差值來度量, 稱F(l1(t),l2(t))為對應(yīng)平面 Σ 的平面信號, 并稱 l3(t) 為參考信號.如果平面信號與參考信號的差值為0, 則在相空間中系統(tǒng)軌道穿過了平面 Σ .分別做出平面信號與參考信號的時(shí)域波形(圖2).

圖2 F (l1(t),l2(t)) 與 l3(t) 的波形Fig.2.Waveform of F (l1(t),l2(t)) and l3(t) .

在圖2 中, 實(shí)線 l3(t) 為參考信號, 表示系統(tǒng)軌道的 z軸坐標(biāo)隨時(shí)間演化的軌跡; 點(diǎn)劃線F(l1(t),l2(t))為平面信號, 表示投影線的z軸坐標(biāo)隨時(shí)間演化的軌跡.參考信號與平面信號的每一個(gè)交點(diǎn)都表示在相空間中系統(tǒng)軌道穿過了一次平面Σ.

相空間中, 任意一個(gè)不平行于z軸的平面 Σ 的一般式方程為

整理 (1)式后, 得

簡化 (2)式, 令A(yù)= ?α/γ,B= ?β/γ,C= ?λ/γ,則

由(3)式可知, 對于平面 Σ 上任意一點(diǎn)的x,軸坐標(biāo)值, 其z軸坐標(biāo)值為 F (x,y) .將投影線的x,y 軸坐標(biāo)值代入 (3)式, 令 x =l1(t),y=l2(t) (投影線和系統(tǒng)軌道具有相同的 x ,y 軸坐標(biāo)), 則投影線的z軸坐標(biāo)為

(4)式即為平面信號的函數(shù)表達(dá)式.若改變參數(shù) A ,B,C , 平面信號的時(shí)域波形發(fā)生改變, 平面Σ在相空間中的方向與位置也會(huì)相應(yīng)變化.平面信號可以視作為非線性系統(tǒng)兩路時(shí)域輸出 l1(t),l2(t) 的比例相加, 疊加的比例分別由參數(shù) A ,B 控制, 故改變參數(shù) A ,B 可以調(diào)整平面信號的形狀; 參數(shù)C作為(4)式中的常數(shù)項(xiàng), 改變參數(shù)C可以上下平移平面信號.

為保證平面 Σ 是合適的龐加萊截面, 應(yīng)當(dāng)改變平面信號的參數(shù) A ,B,C , 調(diào)整平面信號的形狀, 使平面信號滿足某些條件.下面分別從平面信號與參考信號交點(diǎn)的數(shù)量、平面信號與參考信號交點(diǎn)的位置兩個(gè)方面分析平面信號需要滿足的條件.

在交點(diǎn)的數(shù)量上, 參考信號與平面信號的交點(diǎn)個(gè)數(shù)反映了相空間中平面 Σ 與系統(tǒng)軌道的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在時(shí)域上參考信號與平面信號的每一個(gè)交點(diǎn)都對應(yīng)著相空間中平面 Σ 與系統(tǒng)軌道的一個(gè)交點(diǎn).因此, 截取一段時(shí)間內(nèi)的平面信號和參考信號, 如果該時(shí)段內(nèi)參考信號與平面信號的交點(diǎn)個(gè)數(shù)較多, 則在相空間中系統(tǒng)軌道穿過平面 Σ 的次數(shù)較多; 如果該時(shí)段內(nèi)參考信號與平面信號的交點(diǎn)較少, 則在相空間中系統(tǒng)軌道穿過平面 Σ 的次數(shù)較少.平面信號與參考信號交點(diǎn)的數(shù)量可以直觀但粗略地對平面Σ進(jìn)行評價(jià).

進(jìn)一步地, 平面信號與參考信號交點(diǎn)的位置可以明確地判斷平面 Σ 是否為合適的龐加萊截面.在時(shí)域上, 系統(tǒng)軌道的渦卷與鍵帶的波形具有明顯的差異, 增幅振蕩正是渦卷在時(shí)域上表現(xiàn)出的顯著特征(圖3)[22].

在圖3中, 渦卷在相空間中的軌道是螺旋擴(kuò)張運(yùn)動(dòng), 參考信號在時(shí)域上的波形表現(xiàn)為振幅逐漸增大?的振蕩運(yùn)動(dòng), 稱這部分時(shí)域波形為參考信號的渦卷部分; 鍵帶的相軌將兩個(gè)渦卷連接起來, 參考信號在時(shí)域上的波形表現(xiàn)為單向運(yùn)動(dòng), 稱這部分時(shí)域波形為參考信號的鍵帶部分.如果在時(shí)域上平面信號與參考信號交于參考信號的渦卷部分, 則在相空間中平面 Σ 切入了系統(tǒng)軌跡的渦卷; 如果在時(shí)域上平面信號與參考信號交于參考信號的鍵帶部分, 則在相空間中平面 Σ 切入了系統(tǒng)軌跡的鍵帶.參考信號與相空間中系統(tǒng)軌跡的聯(lián)系對平面信號與參考信號交點(diǎn)的位置作出了明確的要求:

圖3 渦卷的相軌與波形 (a)相軌; (b)波形Fig.3.Phase trajectoy and waveform of vortex: (a) Phase trajectoy; (b) waveform.

首先, 平面信號應(yīng)當(dāng)與參考信號的所有渦卷部分都相交.一個(gè)非線性系統(tǒng)可能擁有多個(gè)渦卷, 這些渦卷在相空間中處于不同的位置; 相應(yīng)地, 參考信號的渦卷部分也會(huì)處于不同的高度上(參照本文實(shí)驗(yàn)部分的三渦卷Chua系統(tǒng)).如果平面信號與參考信號的所有渦卷部分都相交, 則在相空間中平面 Σ 切入了系統(tǒng)軌跡的每一個(gè)渦卷.

其次, 平面信號應(yīng)當(dāng)與參考信號渦卷部分的每一次振蕩都相交.參考信號渦卷部分中的每一次振蕩都表示在相空間中系統(tǒng)軌跡進(jìn)行了一次螺旋運(yùn)動(dòng), 即渦卷又向外擴(kuò)張了一圈.如果在時(shí)域上平面信號與參考信號渦卷部分的每一次振蕩都有交點(diǎn),則在相空間中平面 Σ 切入了系統(tǒng)軌跡中這個(gè)渦卷的每一圈.

綜上, 平面信號應(yīng)當(dāng)滿足的兩個(gè)條件如下:

1)參考信號與平面信號的交點(diǎn)數(shù)量足夠多;

2)參考信號與平面信號的交點(diǎn)集中于參考信號的每個(gè)增幅振蕩區(qū)域.

其中1)確保了平面 Σ 與系統(tǒng)軌道有足夠多的交點(diǎn), 2)確保了平面 Σ 切入系統(tǒng)軌道的每個(gè)渦卷.

3 任意截平面的選取

除了選擇與系統(tǒng)軌道充分相交的截面, 某些場合也需要選擇具有特定方向與位置的平面 Σ 作為截面.這里對平面信號的參數(shù) A ,B,C 的幾何意義進(jìn)行定量的分析, 以便對平面 Σ 的方向與位置施加準(zhǔn)確的控制.

由(3)式, 平面 Σ 可以用下式描述:

式中, 平面 Σ 的法向量為 (A,B,?1) , 這說明改變參數(shù) A ,B 可以調(diào)整平面 Σ 的方向; 參數(shù)C作為常量出現(xiàn), 改變參數(shù)C的值可以調(diào)整平面 Σ 在相空間中的水平高度.

本文使用平面 Σ 與x軸正方向的夾角 θ1和平面 Σ 與y軸正方向的夾角 θ2描述平面 Σ 的方向.當(dāng)夾角 θ1,θ2的數(shù)值確定時(shí), 平面 Σ 的方向也隨之確定.取x軸正方向的向量為 (1,0,0) , y軸正方向的向量為 (0,1,0) , 則 θ1,θ2可表示為

改變參數(shù) A ,B 的值, 夾角 θ1,θ2相應(yīng)地發(fā)生變化, 平面 Σ 的方向也會(huì)發(fā)生變化.可以根據(jù)研究需要選定夾角 θ1,θ2, 通過(6)式求出參數(shù) A ,B .下表列出了一些由(6)式確定的常用平面所對應(yīng)的參數(shù) A ,B .

令平面 Σ 改變前與改變后的參數(shù)值分別為C1,C2, 則

若 ? C 的符號為正, 說明平面 Σ 沿著z軸正方向整體平移了 | ? C| 的距離; 若 ? C 的符號為負(fù), 說明平面 Σ 沿著 z軸負(fù)方向整體平移了 | ? C| 的距離; 若?C 的值為0, 說明平面 Σ 在z軸方向沒有發(fā)生移動(dòng).

(6)式與(7)式定量地描述了參數(shù) A ,B,C 對平面 Σ 方向與位置的影響, 通過改變參數(shù) A ,B 調(diào)整平面 Σ 的方向, 改變參數(shù)C調(diào)整平面 Σ 的水平高度, 使用者總能調(diào)整出符合要求的平面 Σ 作為龐加萊截面.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)以Lorenz系統(tǒng)、三渦卷Chua系統(tǒng)[23]和超混沌Chen[24]系統(tǒng)為例, 通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證PTD法的有效性與可行性.其中Lorenz系統(tǒng)為有翼混沌系統(tǒng)的代表, 三渦卷Chua系統(tǒng)為多渦卷混沌系統(tǒng)的代表, 超混沌Chen系統(tǒng)為高維超混沌系統(tǒng)的代表.實(shí)驗(yàn)中所有的系統(tǒng)均采用四階龍格庫塔法進(jìn)行迭代仿真, 對每個(gè)系統(tǒng)都選取多組平面進(jìn)行分析.

4.1 Lorenz系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)的歸一化的系統(tǒng)方程為

當(dāng)a=10,b=2.667,c=28時(shí), Lorenz 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).Lorenz系統(tǒng)在相空間中的系統(tǒng)軌道表現(xiàn)為兩個(gè)翅膀.本實(shí)驗(yàn)將以Lorenz系統(tǒng)為例說明如何調(diào)整平面信號的參數(shù)以尋找到合適的龐加萊截面.

在系統(tǒng)軌跡未知的前提下, 首先任意選擇一個(gè)平面.選擇與x軸正方向夾角為0度, 與y軸正方向夾角為45o的平面作為截面.由表1知, 平面信號的參數(shù) A ,B 應(yīng)當(dāng)設(shè)置為 A =0,B=1 , 參數(shù)C的設(shè)置沒有要求, 設(shè)置 C =0 , 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.

表1 常用平面的參數(shù)值Table 1.Parameter values of typical planes.

圖4 平面一的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)時(shí)域波形; (b)相圖Fig.4.Experimental results of the first plane: (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖5 平面二的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)時(shí)域波形; (b)相圖Fig.5.Experimental results of the second plane: (a) Waveform;(b) phase diagram.

在圖4(a)中, 藍(lán)色實(shí)線為參考信號, 紅色點(diǎn)劃線為平面信號, 參考信號與平面信號的時(shí)域波形形狀不同, 并且水平高度不同, 在圖4(a)時(shí)域范圍內(nèi)參考信號與平面信號僅有兩個(gè)交點(diǎn).相對應(yīng)地, 在圖4(b)中, 截面與系統(tǒng)軌道并沒有充分相交, 該平面僅僅切入了系統(tǒng)軌道的一小部分右翼.在圖4(b)中, 截面平行于 x 軸, 與 y 軸正方向夾角為 45o, 與本次實(shí)驗(yàn)想要選擇的方向相符.

在圖4(a)中, 參考信號與平面信號不處于同一水平高度上, 不改變平面一的方向, 保持參數(shù)A,B不變, 只改變平面一的高度, 將參數(shù)C設(shè)置為C=25, 由此得到平面二的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖5).

在圖5(a)中, 藍(lán)色實(shí)線為參考信號, 紅色點(diǎn)劃線為平面信號, 調(diào)整位置后, 平面信號與參考信號的交點(diǎn)個(gè)數(shù)顯著增多.相對應(yīng)地, 在圖5(b) 中, 系統(tǒng)軌道與截面的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也顯著地增多.

在平面二的基礎(chǔ)上, 嘗試調(diào)節(jié)所選平面的方向, 使平面信號與參考信號的交點(diǎn)盡可能地集中于渦卷部分.圖6為調(diào)整后的平面三的實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 選取的參數(shù)為 A =1,B=?1,C=25 .

在圖6(a)中, 藍(lán)色實(shí)線為參考信號, 紅色點(diǎn)劃線為平面信號, 參考信號與平面信號交點(diǎn)較多, 且集中于參考信號的渦卷區(qū)域.在圖6(b)中, 所選平面的方向發(fā)生了變化, 與系統(tǒng)軌道充分相交.該平面截取到了系統(tǒng)軌道的雙翼, 是合適的龐加萊截面.

4.2 三渦卷Chua系統(tǒng)

Chua系統(tǒng)因電路實(shí)現(xiàn)簡單、動(dòng)力學(xué)行為豐富而受到學(xué)者的廣泛研究和應(yīng)用.三渦卷Chua系統(tǒng)是Chua系統(tǒng)的一種變形, 其表達(dá)式如下:

圖6 平面三的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)時(shí)域波形; (b)相圖Fig.6.Experimental results of the third plane: (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖7 平面一的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a) C = 0 時(shí)的波形; (b) C = 0 時(shí)的相圖; (c) C = 1.5 時(shí)的波形; (d) C = 1.5 時(shí)的相圖; (e) C =–1.5 時(shí)的波形; (f) C = –1.5 時(shí)的相圖Fig.7.Experimental results of the first plane: (a) Waveform while C = 0; (b) phase diagram while C = 0; (c) waveform while C =1.5; (d) phase diagram while C = 1.5; (e) waveform while C = –1.5; (f) phase diagram while C = –1.5.

式中, f是多項(xiàng)式函數(shù), 其表達(dá)式為

當(dāng) a =12.8,b=19.1 時(shí), 系統(tǒng)處于三渦卷混沌狀態(tài).本次實(shí)驗(yàn)中, 選取以下平面作為截面進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 其中平面一是特定方向與位置的平面, 平面二是調(diào)整后合適的龐加萊截面:

平面一: 同時(shí)平行于x軸和y軸的平面.由表1可知, 參數(shù) A ,B 設(shè)置為 A =0,B=0 , 本次實(shí)驗(yàn)對參數(shù)C設(shè)置了多組不同的數(shù)值, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示:

圖7的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明: 首先, 調(diào)整參數(shù)C可以控制平面信號的水平高度, 同時(shí)使平面在相空間中上下平移; 其次, 由于參考信號與平面信號波形不相似, 此時(shí)無論怎樣調(diào)整平面信號的水平高度, 都無法得到滿足選取條件的平面信號.

平面二: 選取滿足選取條件的一組參數(shù), 本實(shí)驗(yàn)中選取的參數(shù)為 A =?1,B=1,C=0 , 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下:

在圖8(a)中, 藍(lán)色實(shí)線為參考信號, 紅色點(diǎn)劃線為平面信號, 參考信號與平面信號交點(diǎn)數(shù)量較多, 在參考信號的每一處增幅振蕩區(qū)域都產(chǎn)生足夠多的交點(diǎn); 在圖8(b)中, 平面二截取到了系統(tǒng)軌道的三個(gè)渦卷, 該平面是合適的龐加萊截面.

4.3 超混沌Chen系統(tǒng)

超混沌Chen系統(tǒng)的歸一化方程為

當(dāng)a=35,b=3,c=12,d=7,r=0.5時(shí), 系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).分別令 x ,y,z,w 中任意一個(gè)變量值為零, 得到超混沌Chen系統(tǒng)的某個(gè)三維相空間圖, 并分別對其用PTD法選取合適的平面作為截面.以下為實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖8 平面二的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)波形; (b)相圖Fig.8.Experimental results of the second plane: (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖9 w =0 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)波形; (b)相圖Fig.9.Experimental results while w =0 : (a) Waveform; (b) phase diagram.

若令超混沌Chen系統(tǒng) w =0 , 在 X oYoZ 相空間中觀察系統(tǒng)軌道, 選取的平面信號參數(shù)為:A=0,B=?0.5,C=20, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示.

若令超混沌 Chen 系統(tǒng) z =0 , 在 X oYoW 相空間中觀察系統(tǒng)軌道, 選取的平面信號參數(shù)為:A=?0.5,B=?4,C=0, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示.

若令超混沌 Chen 系統(tǒng) y =0 , 在 X oZoW 相空間中觀察系統(tǒng)軌道, 選取的平面信號參數(shù)為:A=?1,B=?4,C=50, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11所示.

圖10 z =0 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)波形; (b)相圖Fig.10.Experimental results while z =0 : (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖11 y =0 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)波形; (b)相圖Fig.11.Experimental results while y =0 : (a) Waveform; (b) phase diagram.

圖12 x =0 時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)波形; (b)相圖Fig.12.Experimental results while x =0 : (a) Waveform; (b) phase diagram.

若令超混沌Chen系統(tǒng) x =0 , 在 Y oZoW 相空間中觀察系統(tǒng)軌道, 選取的平面信號參數(shù)為:A=?5,B=0,C=0, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖12所示.

在本節(jié)實(shí)驗(yàn)中, 選取了三個(gè)典型的非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明: 時(shí)域上參考信號與平面信號的相交關(guān)系能夠直觀地反映相空間中所選平面與系統(tǒng)軌道的相交關(guān)系; 改變平面信號的參數(shù)可以調(diào)整平面信號的形狀, 也可以準(zhǔn)確有效地調(diào)整相空間中截面的方向與位置; 該方法能夠針對不同的非線性系統(tǒng)分別選擇不同的平面作為合適的龐加萊截面.

五 結(jié) 論

本文提出的PTD法是選擇全局龐加萊截面的新方法.該方法不需要復(fù)雜的算法實(shí)現(xiàn), 可以靈活地調(diào)整所選截面的方向與位置以滿足不同系統(tǒng)、不同研究者對龐加萊截面的不同需求.PTD法將系統(tǒng)軌道投影到所選平面上, 利用兩個(gè)時(shí)域信號的相交關(guān)系反映相空間中系統(tǒng)軌道與所選平面的相交關(guān)系, 可以在時(shí)域上直觀地判斷所選平面是否是合適的龐加萊截面.如果在時(shí)域中平面信號與參考信號的交點(diǎn)個(gè)數(shù)較多且交點(diǎn)集中于參考信號的每個(gè)增幅振蕩區(qū)域, 則所選平面為合適的龐加萊截面.通過改變平面信號的參數(shù)可以實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地調(diào)整平面信號的形狀和所選平面在相空間中的方向與位置, 使用者既可以快速尋找與系統(tǒng)軌道充分相交的平面, 又可以根據(jù)需要選擇任意方向和位置的平面作為龐加萊截面.基于雙翼Lorenz, 三渦卷Chua和超混沌Chen系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)證明了PTD法對三維、四維、多渦和超混沌非線性系統(tǒng)均具有有效性和可行性.本文在分析和實(shí)驗(yàn)中選擇了z軸作為投影方向, 針對待測系統(tǒng)的實(shí)際情況, 也可以選擇x軸或者y軸作為投影方向.