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        平行“邂逅”翻折

        2020-02-04 06:37:30蔡雨婷
        關(guān)鍵詞:內(nèi)錯角平分度數(shù)

        蔡雨婷

        幾何世界里,翻折帶來了角的平分,平行帶來了同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補,當它們“邂逅”了,會擦出什么火花呢?我們以題為媒,管中窺豹,

        如圖1.長方形ABCD沿著折痕EF翻折,點A,B的對應(yīng)點分別為點A和B,已知∠FED=65°,求∠CFB的大小.

        此題我們可以這樣思考:在長方形ABCD中,有AD//BC,所以∠BFE= ∠FED=65°,又因為翻折,即FE平分∠BFB,所以∠BFB=2 ∠BFE=2x65°=130°.所以∠CFB'=50°.

        此解法中,我們用到了平行線以及角平分線的性質(zhì),這兩個幾何知識互相關(guān)聯(lián),通過平行,可知內(nèi)錯角相等;通過翻折,可推得角平分,巧妙地實現(xiàn)了角的轉(zhuǎn)化,

        當然,此題只解到這兒,那就太可惜了,若已知∠FED=65°,其他條件不變,能否求出此圖中的其他角(如∠A'EG)呢?

        解法1:如圖2,過點B作MN//BC,則MN//AD,∠CFB'= ∠MB'F=50°.因為∠FB'G=∠ABF=90°,所以∠MBG=40°.所以∠DGB=40°.又因為∠A=90°,所以∠A'EG=50°.

        解法2:因為∠FED=65°,所以∠AEF=115°.又因為翻折,即∠A 'EF= ∠AEF=115°(這里的兩個鈍角相等是很多同學(xué)不曾關(guān)注至0的),所以∠A 'EG=∠A 'EF-∠FED=50°.

        解題到這里,竟然發(fā)現(xiàn)∠A 'EG=∠B'FC,具有一般性嗎?定睛一看,發(fā)現(xiàn)圖中A'E//B'F,ED//FC,聯(lián)想到老師課堂上講到的一道習題:若兩個角的兩邊互相平行,則這兩個角的數(shù)量關(guān)系是

        (答案為“相等或互補”).幾何真是奇妙啊,處處相關(guān)聯(lián),時時有驚喜!我們根據(jù)已知條件,推導(dǎo)出了這么多角的度數(shù),也不難發(fā)現(xiàn),知道圖中某一個角的度數(shù),就可以求出其他角的度數(shù),也許這就是鄭老師口中的“知一求n”吧,后來,經(jīng)老師提點,我還編出了下面這道題給同學(xué)們?nèi)プ觯喝鐖D1,已知∠FEG=2 ∠A 'EG,其他條件不變,求∠BFC的大小,

        因為題中沒有出現(xiàn)具體的角度,出現(xiàn)的只是角之間的數(shù)量關(guān)系,所以我們可以用方程思想去解決,不妨設(shè)∠A 'EG=x,則∠FEG=2x,因為翻折,所以∠AEF=∠A 'EG+∠FEG=x+2x=3x,所以∠AEG= ∠AEF+∠GEF=3x+2x=1800.解得x=360,所以∠BFC= ∠A 'EG=36°.看了解答之后,有沒有恍然大悟呢?將方程思想融入圖形,讓代數(shù)與幾何互聯(lián),充分展現(xiàn)了圖中某些角之間的關(guān)聯(lián).

        研究數(shù)學(xué)題就像一次旅行,我們不能只追求目的地的到達與否,沿途的風景也是美不勝收的.慢嚼才有積淀,細思方能悟道.

        指導(dǎo)老師點評;此題中的角在平行和翻折的映襯下,確實密切關(guān)聯(lián),此題也是初中階段幾何中的“知一求n”的典例,深入明一題,勝似做十題,將其研究通透,一定能受益良多.

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