藺學(xué)益
相傳,大禹治水時(shí),洛水中出現(xiàn)了一個(gè)“神龜”,其背上有美妙的圖案,史稱“洛書”,把“洛書”中的數(shù)填在對(duì)應(yīng)的九宮格內(nèi),就是三階幻方,
幻方是一種智力填數(shù)游戲,它是根據(jù)事先提供的數(shù),運(yùn)用邏輯推理的思維方法和排除法,把數(shù)填入空白的方格中.中國(guó)不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán),而且是對(duì)幻方進(jìn)行深入研究的國(guó)家,
三階幻方是最簡(jiǎn)單的幻方,是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九個(gè)數(shù)組成的九宮格(如圖1所示),其對(duì)角線、橫行、縱列上三個(gè)數(shù)的和都為15,我們稱這個(gè)最簡(jiǎn)單的幻方的幻和為15.中心數(shù)為5.
三階幻方在中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中都有所體現(xiàn).那么,這里的“其對(duì)角線、橫行、縱列上三個(gè)數(shù)的和都為15”“中心數(shù)為5”隱含著怎樣的數(shù)學(xué)計(jì)算呢?
我們先來說“其對(duì)角線、橫行、縱列上三個(gè)數(shù)的和都為15”中的“和為15”
如圖2所示,我們?cè)O(shè)每個(gè)格子的未知數(shù)分別為x1至x9,從中選取橫行(或者縱列)來分析,那么有:
x1+x2+x3=S;
x4+x5+x6=S;
x7+x8+x9=S.
三個(gè)式子相加,則有:
3S=x1 +x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9.
因?yàn)閤l至x9 -定是1至9這九個(gè)數(shù),所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=45.
由3S=45.得到S=15.
由每個(gè)橫行上三個(gè)數(shù)的和都是15,同理可推得每個(gè)縱列和對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都是15.
再來說“中心數(shù)為5”,我們選擇中間的橫行、中間的縱列和兩個(gè)對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和,由于S=15,則有:
x4+x5 +x6 =15,x2 +x5 +x8=15,x1+x5 +x9 =15,X3+X5+X7=15.
四個(gè)式子相加,則有:
x1+x2+x3+x4+x5+x 6+x7+x8+x9+3x5=60.
故45+3xs=60,求得x5=5,也就是說“中心數(shù)為5”.
這樣我們就解釋了三階幻方中的兩個(gè)值的由來,下面,就可以進(jìn)行填寫這九個(gè)數(shù)值的操作了,
利用以上兩個(gè)填寫依據(jù),我們來看和為15的八個(gè)(三個(gè)橫行、三個(gè)縱列、兩個(gè)對(duì)角線)等式:
1+5+9=15,2+5+8=15;
3+5+7=15,4+5+6=15;
1+6+8=15,2+4+9=15;
2+6+7=15. 3+4+8=15.
這八個(gè)等式會(huì)出現(xiàn)在三階幻方中(也只有這八個(gè)等式),我們會(huì)再次發(fā)現(xiàn)有趣的事實(shí):“5”出現(xiàn)了四次,而在九個(gè)格子中只有中間格被用了四次,因此“5”就必須在幻方最中間的位置.這樣,就再次解釋了“中心數(shù)為5”的緣由.
另外,“2”“4”“6”“8”四個(gè)數(shù)在等式中都出現(xiàn)了三次,而在九個(gè)格子中只有四個(gè)角的格子被用了三次,因此這四個(gè)數(shù)應(yīng)放在幻方的四個(gè)角中.當(dāng)然,“2”和“8”在同一等式中,“4”和“6”在同一等式中.
同樣地,“1”“3”“7”“9”四個(gè)數(shù)在等式中都出現(xiàn)了兩次,只能將這四個(gè)數(shù)放在幻方的靠邊的四個(gè)中間格子中.“1”和“9”在同一等式中,“3”和“7”在同一等式中.
綜合以上解釋,三階幻方要滿足橫行、縱列和對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和等于15,只能將“5”放在最中間的方格中,將“2”“4”“6”“8”放在四個(gè)角中,將“1”“3”“7”“9”放在靠邊的四個(gè)中間格子中.
有了以上更清晰的數(shù)的位置填寫要求,在兼顧三數(shù)之和為15的情況下,會(huì)得到八種不同的三階幻方填法.有興趣的同學(xué)可以自己試著填一下,
通過對(duì)三階幻方的數(shù)學(xué)計(jì)算與填寫解釋,大家是不是感受到了幻方的魅力呢?探究幻方的奧秘是一件既有趣又有意義的事情,能讓大家對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更濃厚的學(xué)習(xí)興趣,這也許就是幻方的迷人之所在吧!
中學(xué)生數(shù)理化·七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版2020年2期