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        “相交線與平行線”錯解剖析

        2020-02-04 06:37:30嚴正

        嚴正

        “相交線與平行線”是我們初步接觸幾何知識的章節(jié),除學習相關知識之外,還要學習一些方法,比如:如何理解定義和定理,如何應用定義和定理解決問題等.這種從知識到方法的過渡,既需要我們進行實踐練習,還需要適當適.時進行總結提煉.

        我們要理解如何應用相交線與平行線的知識去解決問題,體會相交線中“三線八角”和平行線在解決與角有關的問題中所起到的作用.結合例題,我們分析如何添加輔助線,在操作的基礎上,提升我們對相交線與平行線的認識.

        一、思維定式

        例1已知直線a⊥b,b⊥c,則直線a與c的位置關系是什么?

        錯解:a⊥c.

        剖析:本題是一道很簡單的題目,但失分的同學卻很多,主要是受“若a=b,b=c,則a=c”的影響,很容易得出錯誤答案.其實只要我們畫一下圖很快就能得到正確的答案(如圖1).

        正解:a∥c.

        點評:一定要注意克服思維定式,

        二、考慮不周

        例2 已知直線a//b //c,直線a與b之間的距離為2 cm,直線b與c之間的距離為3 cm,則直線a與c之間的距離為多少?

        錯解:5 cm.

        剖析:本題主要利用平行線之間的距離的定義作答.要分類討論:①當直線b在直線a,c之間時;②當直線a在直線b,c之間時,

        正解:①如圖2,當直線6在直線a,c之間時,直線a與c之間的距離為2+3=5(cm).

        ②如圖3,當直線a在直線b,c之間時,直線a與c之間的距離為3-2=1(cm).

        故答案是5 cm或1 cm.

        點評:本題很簡單,考查的是兩平行線之間的距離的定義,即若兩直線平行,則夾在兩條平行線間的垂線段的長叫兩平行線間的距離.在解題時若考慮不周易漏解.

        三、概念不清

        例3下列圖形中,線段AD的長表示點A到直線BC的距離的是(? ).

        錯解:選A.

        剖析:根據點到直線的距離是指垂線段的長度,弄清點A到直線BC的垂線段即可解答.

        正解:線段AD的長表示點A到直線BC的距離的是選項D.故選D.

        點評:本題考查了點到直線的距離的定義,注意該距離是指垂線段的長度,

        四、識圖不準

        例4如圖4.有下列判斷:①∠A與∠B是同旁內角;②∠1與∠A是同位角;③∠1與∠4是內錯角;④∠l與∠3是同位角,其中正確的是____.(填序號)

        錯解:填“①③”.

        剖析:準確識別同位角、內錯角、同旁內角的關鍵,是弄清哪兩條直線被哪一條直線所截.也就是說,在辨別這些角之前,要弄清哪一條直線是截線,哪兩條直線是被截線.

        正解:∠A與∠B是同旁內角,①正確;

        ∠A與∠1是同位角,②正確;

        ∠4與∠1不是內錯角,③錯誤;

        ∠1與∠3是內錯角,不是同位角,④錯誤.

        故答案為①②.

        點評:本題主要考查了“三線八角”,在復雜的圖形中識別同位角、內錯角、同旁內角時,應當沿著角的邊將圖形補全,或者把多余的線暫時略去,找到“三線八角”的基本圖形,進而確定角的位置關系.

        五、主觀臆斷

        例5 如圖5,如果AB//EF,∠C=90°,那么α,β,γ的數量關系是____ .

        錯解:α+β+γ=180°.

        剖析:不能想當然認為α+β+γ=180°.此題應過點C作CM//AB,延長CD交EF于點N,如圖6,根據已有知識求出∠CNE=β-γ,根據平行線性質得出∠l=a,∠2=∠CNE.代人即可,

        正解:過點C怍CM//AB,延長CD交EF于點N,則∠CDE+∠EDN= 180°,∠E+∠ CNE+∠EDN= 180°,所以∠CDE= ∠E+∠CNE,即∠CNE=β-γ.

        ∵CM//AB,AB//EF,

        ∴CM//AB//EF

        ∴ ∠ABC=α=∠1.∠2=∠CNE.

        ∵ ∠BCD=90°.

        ∴∠1+∠2=90°.

        ∴.α+β-γ=90°.

        點評:本題考查了平行線的性質、三角形內角和定理及鄰補角知識的應用,題目比較好,難度適中,當然也可以像圖7那樣作CM//DG //AB,構造三對內錯角,由平行線的性質易得α+β-γ=90°.兩條直線平行,第三條直線與前兩條直線相交,產生“三線八角”,由此才能夠得出具有特殊位置關系的角之間所具有的數量關系:相等或互補.如果已知圖形結構完整,那么可以直接應用.如果已知圖形結構不完整,那么會出現兩種情況:要么缺少平行線中的一條,要么缺少第三條直線.如果想應用平行線的性質去解決問題,就要補全圖形,即添加輔助線,

        數學是嚴謹的,學好數學要養(yǎng)成良好的習慣:言必有據、思考縝密、思路清晰.不可常犯概念不清、主觀臆斷、思維混亂的錯誤.

        練一練

        1.如圖8.測量運動員的跳遠成績,選取的是線段AB的長度,其依據是(? ).

        A.兩點確定一條直線

        B.兩點之間直線最短

        C.兩點之間線段最短

        D.垂線段最短

        參考答案:1.D

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