吳健
相交線(xiàn)與平行線(xiàn)是平面幾何中的基礎(chǔ)知識(shí),基本概念較多,如果把握不準(zhǔn),不但解題時(shí)會(huì)出錯(cuò),而且會(huì)影響以后相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí).
一、平行線(xiàn)與角平分線(xiàn)的結(jié)合 例1 (2019年濱州)如圖1,AB//CD,∠FGB=154°,F(xiàn)G平分∠EFD,則∠AEF的度數(shù)等于(? ).
A.26°
B.52°
C.54°
D.77°
解析:先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì),得到∠GFD的度數(shù),再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠EFD的度數(shù),最后由平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
因?yàn)锳B//CD,所以∠FGB+∠GFD=180°
所以∠GFD=180°-∠FGB=26°.
因?yàn)镕G平分∠EFD,所以∠EFD-2∠GFD=52°.
因?yàn)锳B//CD,所以∠AEF=∠EFD=52°.故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì),用到的知識(shí)點(diǎn)為:兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線(xiàn)平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),
二、平行線(xiàn)與垂線(xiàn)及角平分線(xiàn)的結(jié)合
例2 (2019年天門(mén))如圖2,CD∥AB,點(diǎn)O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE.若∠D=110°,則∠AOF的度數(shù)是(? ).
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
解析:因?yàn)镃D//AB,所以∠AOD+∠D=180°.故∠AOD=70°,∠DOB=110°.
因?yàn)镺E平分∠BOD,所以∠DOE=55°.
因?yàn)镺F⊥OE,所以∠FOE=90°.
故∠DOF=∠FOE- ∠DOE=35°,∠AOF=∠AOD- ∠DOF=35°.故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì),解題關(guān)鍵是牢固掌握平行線(xiàn)的性質(zhì),
三、平行線(xiàn)與垂線(xiàn)及余、補(bǔ)角的結(jié)合
例3 (2019年十堰)如圖3,直線(xiàn)口∥b,直線(xiàn)AB⊥AC.若∠1=50°,則∠2=(? ).
A.50°
B.45°
C.40°
D.30°
解析:根據(jù)垂直的定義和余角的定義列式計(jì)算得到∠3.根據(jù)兩直線(xiàn)平行,同位角相等可得∠3=∠2.
因?yàn)橹本€(xiàn)AB⊥AC,所以∠BA C=90°.
因?yàn)椤?=50°.所以∠3=90°-∠1=40°.
因?yàn)橹本€(xiàn)a//b,所以∠2=∠3=40°.故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì),余角的定義,熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
四、平行線(xiàn)與方向角的結(jié)合
例4 (2019年淄博)如圖4,小明從點(diǎn)A處沿北偏東400方向行走至點(diǎn)B處,又從點(diǎn)B處沿南偏東700方向行走至點(diǎn)C處,則∠ABC等于 (? ).
A.130°
B.120°
C.110°
D.100°
解析:如圖5,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)先求出∠ABE的大小,再求出∠EBC的大小即可得出答案.
因?yàn)樾∶鲝狞c(diǎn)A處沿北偏東400方向行走至點(diǎn)B處,又從點(diǎn)B處沿南偏東700方向行走至點(diǎn)C處,所以∠DA B=40°,∠CBE=70°.
因?yàn)锳D//BE,所以∠ABE= ∠DA B=40°.
所以∠ABC= ∠ABE+∠CBE=40°+70°=110°.故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了方向角及平行線(xiàn)的性質(zhì),熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
五、平行線(xiàn)與三角形有關(guān)知識(shí)的結(jié)合
例5 (2019年武漢)如圖6.點(diǎn)A,B,C,D在一條直線(xiàn)上,CE與BF交于點(diǎn)G,∠A=∠1,CE∥DF,試說(shuō)明:∠E=∠F
解析:根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ACE=∠D.又因?yàn)椤螦=∠l,利用三角形內(nèi)角和定理及等式的性質(zhì)即可得出∠E=∠F
因?yàn)镃E//DF,所以∠ACE=∠D.
因?yàn)椤螦=∠1.所以180°- ∠ACE- ∠A=180°-∠D-∠1.
又因?yàn)椤螮=180° - ∠ACE- ∠A.∠F=180°-∠D-∠1.所以∠E=∠F
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì):兩直線(xiàn)平行,同位角相等.同時(shí)也考查了三角形內(nèi)角和定理.
練一練.
1.(2019年岳陽(yáng))如圖7,已知BE平分∠ABC,且BE//DC.若∠ABC=50°,則∠C的度數(shù)是(? ).
A.20°
B.25°
C.30°
D.50°
2.(2019年深圳)如圖8,已知直線(xiàn)Z∥AB,AC為∠DAB的平分線(xiàn),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(? ).
A.∠1=∠4
B.∠1=∠3
C.∠2=∠3
D.∠l=∠5
3.(2019年孝感)如圖9,直線(xiàn)l1//l2,直線(xiàn)l3與l1,l2分別交于點(diǎn)A,C,BC⊥13,交//于點(diǎn)B.若∠1=70°.則∠2的度數(shù)為(? ).
A.10°
B.30°
C.20°
D.40°
參考答案:1.B 2.D3.C