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        基于分割法探究四面體體積的新方法

        2020-01-18 02:25:49滕旭
        關(guān)鍵詞:四面體

        滕旭

        [摘? 要] 四面體體積計(jì)算是研究四面體的基本問(wèn)題,文章基于分割法推導(dǎo)出了四面體的一個(gè)新的體積公式,并由推出的體積公式推導(dǎo)出了傳統(tǒng)體積公式及三面角的特征值.

        [關(guān)鍵詞] 四面體;分割法;體積公式

        ■四面體中的元素及其表示

        四面體為空間圖形(如圖1所示),因此其元素的形式比三角形的元素復(fù)雜得多,研究四面體的體積須明確其元素及表示.

        1. 角

        四面體中的角包括空間角和平面角,空間角包括三面角、二面角及棱面角三種,平面角指的是每個(gè)面(三角形)的內(nèi)角,只有一種.

        (1)三面角

        四面體中的一個(gè)頂點(diǎn)及由該頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱構(gòu)成其一個(gè)三面角,四面體中共四個(gè)三面角,記作:A-BCD,B-ACD等.

        (2)二面角

        四面體中的一條棱及由該棱出發(fā)的兩個(gè)面構(gòu)成其一個(gè)二面角,四面體中共四個(gè)二面角,記作:A-BC-D,B-AC-D等.

        (3)棱面角

        四面體中的一條棱及與該棱相交的面構(gòu)成棱面角,四面體中共八個(gè)棱面角,記作:AB-ACD,AB-BCD等.

        (4)平面角

        四面體中的面(三角形)的內(nèi)角稱(chēng)為四面體的平面角,四面體共十二個(gè)平面角,記作:∠ABC,∠ACD等.

        2. 棱

        四面體中共十二條棱記作:AB,AC等.

        3. 面

        四面體中四個(gè)面記作:△ABC,△ABD等.

        ■分割法

        1. 分割法求四面體體積的一般方法[1-5]

        文獻(xiàn)[1-5]在推導(dǎo)四面體的體積時(shí)均采用將四面體從平行六面體中分割出來(lái)進(jìn)行計(jì)算,而計(jì)算平行六面體的體積則采用向量的混合積.

        2. 分割法求四面體體積的新的方法

        (1)已知二面角棱長(zhǎng)及兩個(gè)面的面積求體積

        在四面體ABCD中,已知二面角A-BC-D,棱BC及兩個(gè)面△ABC,△BCD的面積d,a. △ABC在BC邊上的高為■為定值,所以A點(diǎn)在過(guò)A點(diǎn)BC的平行線上,同理D點(diǎn)在過(guò)D點(diǎn)BC的平行線上,現(xiàn)以三條平行線為側(cè)棱,BC為高構(gòu)造直三棱柱,如圖2所示.

        三棱柱的體積為:V=S·h=■·■·■sinA-BC-D·BC=2■sinA-BC-D,

        所以四面體的體積為V■=■V=■·■sinA-BC-D.

        ■其他計(jì)算四面體體積的公式

        1. 已知三面角及三條棱棱長(zhǎng)求體積

        在四面體ABCD中,已知三面角A-BCD,棱AC,AB,AD.

        由2.2.1知:四面體的體積為V■=■·■sinC-AB-D,其中c=S△ABD=■·AB·AD·sin∠BAD,d=S△ABC=■·AB·AC·sin∠BAC,所以V■=■·■·■sinC-AB-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠BAC·sinC-AB-D;

        同理:V■=■AB·AC·AD·sin∠BAC·sin∠CADsinB-AC-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C.

        根據(jù)上述三個(gè)體積公式可知,對(duì)三面角A-BCD總有:

        T■(A-BCD)=sin∠BACsin∠CAD·sinB-AC-D=sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C?搖=sin∠BACsin∠BADsinC-AB-D?圯T■(A-BCD)=sin∠BACsinB-AC-DsinC-AB-D=sin∠BADsinB-AD-CsinC-AB-D=sin∠CADsinB-AD-CsinB-AC-D

        分別稱(chēng)T■(A-BCD),T■(A-BCD)為三面角A-BCD的特征值1和特征值2[6-7].

        2. 已知棱面角及三條棱棱長(zhǎng)求體積

        在四面體ABCD中,已知棱面角AB-ACD,棱AC,AB,AD.

        設(shè)四面體在面ACD上的高為H,則H=AB·sinAB-BCD,

        所以,四面體的體積為V■=■·S△ACD·H=■·■·AC·AD·sin∠CAD·(AB·sinAB-ACD)?搖=■AC·AD·AB·sin∠CADsinAB-ACD

        同理:

        V■=■AC·AD·ABsin∠BAC·sinAD-ABC?搖=■AC·AD·ABsin∠BAD·sinAC-ABD

        根據(jù)上述三個(gè)體積公式可知,對(duì)三面角A-BCD總有:

        T■(A-BCD)=sin∠BACsinAD-ABC=sin∠BADsinAC-ABD?搖=sin∠CADsinAB-ACD

        3. 已知六條棱棱長(zhǎng)求體積

        除了上述已知角和棱長(zhǎng)求四面體的體積,還可以通過(guò)六條棱長(zhǎng)l■,l■,l■,l■,l■,l■求體積■.

        若l■,l■,l■為同一面上的三條棱且其對(duì)棱分別是l■,l■,l■,則四面體體積為:

        V■=■■

        其中:

        M■=l■l■(l■+l■+l■+l■-l■-l■)

        M■=l■l■(l■+l■+l■+l■-l■-l■)

        M■=l■l■(l■+l■+l■+l■-l■-l■)

        M=l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■

        ■總結(jié)

        四面體體積公式多采用向量的混合積的幾何意義進(jìn)行推導(dǎo),運(yùn)算比較復(fù)雜,本文通過(guò)三棱柱分割法簡(jiǎn)化了四面體體積公式的推導(dǎo),并對(duì)四面體體積計(jì)算的方法進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié).

        參考文獻(xiàn):

        [1]? 楊世國(guó).向量在幾何中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2006,36(9).

        [2]? 陶興模. 四面體的一個(gè)體積公式及應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊:中學(xué)生版高三卷, 2000(1).

        [3]? 蔡樹(shù)松. 四面體的一個(gè)體積公式及其應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2002(6).

        [4]? 胡仕華.四面體的一個(gè)體積公式[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2004(3).

        [5]? 四面體的一個(gè)體積定理的證明和應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通訊,1996(3).

        [6]? 王永洪. 四面體的正余弦公式及體積公式[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué),2010(1).

        [7]? 劉毅. 四面體的另一種空間角的正弦定理[J]. 數(shù)學(xué)通訊,1997(7).

        [8]? 戴翔天. 已知四面體的條棱長(zhǎng)求體積公式[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),1992(11).

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