劉慶

[摘? 要] 新課改風(fēng)向標(biāo)下，數(shù)學(xué)教學(xué)以提升思維的數(shù)學(xué)觀為依據(jù)，提出基于變式教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念. 基于變式教學(xué)具體實(shí)施的案例研究，文章從變式教學(xué)的基本理念和主要意義、注意事項(xiàng)談起，詳細(xì)闡釋了變式教學(xué)的實(shí)踐過(guò)程，為更進(jìn)一步推進(jìn)提供線索.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);變式教學(xué);知識(shí)結(jié)構(gòu);思維能力

■問(wèn)題的提出

新課改實(shí)施以來(lái)，盡管數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)發(fā)生了巨變，但一些問(wèn)題仍然是存在的. 主要表現(xiàn)在：大部分一線數(shù)學(xué)教師兢兢業(yè)業(yè)地傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，但教學(xué)效果卻堪憂. 造成低效學(xué)習(xí)的原因是什么呢？“灌輸式”教學(xué)占據(jù)主要地位，教師單向傳授，學(xué)生被動(dòng)思考，這是其一;“就題論題”式講授及處理例習(xí)題的方法單一，使得學(xué)生的思維能力無(wú)法得到有效培養(yǎng)，這是其二;“題海戰(zhàn)術(shù)”這樣的機(jī)械性練習(xí)彌漫整個(gè)高中教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)越來(lái)越重，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣下降，學(xué)習(xí)效果可想而知，這是其三.

那么，如何提升學(xué)習(xí)效果呢？以“變式教學(xué)”為載體的教學(xué)方式也許能在一定程度上解決上述問(wèn)題，促進(jìn)課堂教與學(xué)的平衡.

■變式教學(xué)的基本理念

與變式相關(guān)的論述，教育心理學(xué)中多次給出了意見，但均一致性地認(rèn)為“變式即對(duì)象正例的變化”，所謂“變式教學(xué)”就是教學(xué)過(guò)程中，或變更概念中的非本質(zhì)特征，或變換問(wèn)題條件、結(jié)論，又或是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的形式、內(nèi)容，進(jìn)而又意識(shí)地引領(lǐng)學(xué)生從“變”中找尋“不變”，從“不變”中探究“變”的規(guī)律[1]. 可見，無(wú)論是對(duì)教學(xué)而言，還是對(duì)學(xué)生的發(fā)展而言，變式教學(xué)都有著非常重要的意義.

■變式教學(xué)的主要意義

1. 以變式滲透概念，激發(fā)興趣

課本中，某些概念較為抽象，倘若教師直接出示概念，學(xué)生自然覺(jué)得突兀費(fèi)解，而變式教學(xué)的出現(xiàn)正好是對(duì)概念本質(zhì)的剖析，通過(guò)變式與相關(guān)概念的結(jié)合，在不斷變化概念的非本質(zhì)屬性和反復(fù)呈現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性中，使學(xué)生準(zhǔn)確生成概念，起到完善概念結(jié)構(gòu)的有益補(bǔ)充. 因此，教師可以根據(jù)概念的類型，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的教學(xué)情境，設(shè)計(jì)有效的變式，不僅能使學(xué)生準(zhǔn)確獲取概念，還能由變式中情境的生動(dòng)和趣味，激發(fā)他們濃厚的學(xué)習(xí)興趣.

例如，學(xué)習(xí)“指數(shù)函數(shù)概念”時(shí)，可以提出如下變式：

①一張白紙，將它重疊后一剪為二，再重疊后剪成兩半，再重疊后再剪一次……那么，剪完3次后所有的紙疊放在一起，一共有多少層？剪5次呢？剪15次呢？

②若這張紙的厚度是0.1mm，那么剪了15次后，將所有的紙疊在一起，會(huì)多高呢？有一個(gè)人那么高嗎？剪20次，又有多高呢？

③請(qǐng)?jiān)囍ⅰ凹垙垟?shù)y與剪紙次數(shù)x”之間的函數(shù)關(guān)系式. （最后提出，生活中隨處可見這樣的函數(shù)，適時(shí)出示概念）

又如，等差數(shù)列中的深化變式：已知等差數(shù)列{an}中，有a■=9，a■=3，求a■.

推廣1：已知等差數(shù)列{an}中，有a■=n，a■=m（m≠n），求am+n.

推廣2：已知等差數(shù)列{an}中，有S■=100，S■=10，求S■.

推廣3： 已知等差數(shù)列{an}中，有Sm=n，S■=m（m≠n），求Sm+n.

學(xué)生變式： 已知等差數(shù)列{an}中，有S■=10，S■=100，求S■.

該變式從特殊到一般地進(jìn)行推廣，以建立已有經(jīng)驗(yàn)與抽象概念間的聯(lián)系，充分激趣的同時(shí)，使學(xué)生印象深刻并形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 不僅如此，這里的變式教學(xué)還強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)概念意識(shí)，有助于學(xué)生在面對(duì)這一類高考試題時(shí)能夠舉一反三，輕松應(yīng)對(duì).

2. 以變式預(yù)設(shè)錯(cuò)誤，思維嚴(yán)謹(jǐn)

學(xué)生的思維只有在反復(fù)地鍛煉中才能得以深化. 因此，在進(jìn)行概念、公式、定理等的教學(xué)中，教師可以多角度地改變概念來(lái)預(yù)設(shè)學(xué)生的錯(cuò)誤，以凸顯其中的一些關(guān)鍵之處，從而深化學(xué)生對(duì)細(xì)微處的理解，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維的習(xí)慣.

例如，學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的定義，為了深化定義中的“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”等問(wèn)題，筆者引入以下變式題組：

判斷以下函數(shù)的奇偶性，并逐一闡明原因：

（1）①f（x）=-■，x∈R且x≠0;

②f（x）=-■，x∈[-1，0）∪（0，1];

③f（x）=-■，x∈[-1，0）∪（0，1）;

④f（x）=-■，x∈（0，+∞）;

（2）①f（x）=■;

②f（x）=■.

為了使學(xué)生深化對(duì)定義內(nèi)涵和外延的認(rèn)識(shí)，除了出示定義的過(guò)程中反復(fù)強(qiáng)調(diào)以外，還可以反例和錯(cuò)例的辨析等形式設(shè)置變式題組，使學(xué)生多方位、多角度和多層次進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題癥結(jié)所在，以達(dá)到融會(huì)貫通的目的. 以上變式題組中，第（2）組是易錯(cuò)問(wèn)題，不僅需考慮到函數(shù)的定義域，還需化簡(jiǎn)后才能得以判斷，通過(guò)這一類問(wèn)題的辨析，可以提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3. 以變式深化問(wèn)題，拓展思維

面對(duì)時(shí)間緊、內(nèi)容多、任務(wù)重的高三復(fù)習(xí)課的局面，闖出一條省時(shí)而有效的復(fù)習(xí)道路是每個(gè)高中數(shù)學(xué)教師關(guān)注的課題. 針對(duì)這一局面，教師需要加強(qiáng)變式訓(xùn)練的力度，通過(guò)對(duì)一個(gè)問(wèn)題的深入變式，引導(dǎo)學(xué)生去類比、去聯(lián)想，探索并確定問(wèn)題的思考方向，深化學(xué)生的問(wèn)題認(rèn)識(shí)和理解，在更深入而透徹理解問(wèn)題的本質(zhì)的同時(shí)，增強(qiáng)應(yīng)變能力，拓展思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2].

例1：已知定點(diǎn)A（-3，0）和B（4，0），若動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成的∠APB恒為直角，試求出點(diǎn)P的軌跡方程.

變式1：已知定點(diǎn)A（-3，0）和B（4，0），若分別過(guò)點(diǎn)A和B的動(dòng)直線l■，l■相互垂直，試求出交點(diǎn)P的軌跡方程.

變式2：已知定點(diǎn)A（-3，0）和B（4，0），試求出動(dòng)點(diǎn)P（動(dòng)點(diǎn)P為垂足）滿足PA⊥PB時(shí)的軌跡方程.

深入挖掘本例可以看出，變式1和2與例1不僅意思相同，知識(shí)背景也一樣，而僅僅是在表達(dá)方式上有了變化，這里只需學(xué)生明晰“點(diǎn)P在以線段AB為直徑的圓周上”這一重要性質(zhì)即可完善解題路徑，以此變式題組進(jìn)行推廣和引申，達(dá)到多題一解的效果.

■幾個(gè)注意點(diǎn)

1. 適量性與適度性兼顧

變式教學(xué)中，教師需明晰變式并不在于多，關(guān)鍵在于精，要以具有典型性的變式去啟迪學(xué)生的思維. 倘若數(shù)量過(guò)多，則易異化為題海戰(zhàn)術(shù)，加重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，帶來(lái)負(fù)面影響;倘若數(shù)量過(guò)少，則無(wú)法實(shí)現(xiàn)預(yù)期效果.

除此之外，變式也不可過(guò)度濫用，需掌握好適度性原則，既不能難度太小，也不可難度過(guò)大. 倘若僅在原題的數(shù)字或符號(hào)上做文章，則無(wú)法激活學(xué)生的思維，耗時(shí)且耗力;倘若“變”出“繁、難、雜”的題型，來(lái)消磨學(xué)生有效的學(xué)習(xí)時(shí)間，則易使其產(chǎn)生挫敗感，無(wú)法生成高層次的思維.

唯有循序漸進(jìn)地進(jìn)行變式，并兼顧適量性和適度性原則，才能使學(xué)生在全面而深刻地理解知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展思維品質(zhì).

2. 適度的訓(xùn)練與適時(shí)的總結(jié)兼行

變式教學(xué)需要適度的訓(xùn)練，以適度的訓(xùn)練來(lái)展現(xiàn)其千差萬(wàn)別的表現(xiàn)形式，以適度的訓(xùn)練來(lái)豐富學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)，以適度的訓(xùn)練來(lái)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 當(dāng)然，變式教學(xué)中，除了適度的訓(xùn)練，還必須有適時(shí)的總結(jié). 適時(shí)的總結(jié)能讓學(xué)生概括出一般性的規(guī)律，擁有更多解決問(wèn)題的策略，更加透徹地理解知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移. 因此，適度的訓(xùn)練與適時(shí)的總結(jié)應(yīng)兼行，通過(guò)適度的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)變式背后的問(wèn)題有了一定的理解;通過(guò)適時(shí)的總結(jié)，了解到知識(shí)的來(lái)龍去脈和相互關(guān)系.

總之，變式教學(xué)給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了勃勃生機(jī)，提升了學(xué)生的興趣，回避了“題海戰(zhàn)術(shù)”，提升了教學(xué)效率，引領(lǐng)學(xué)生去體驗(yàn)“變”與“不變”，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的“變”與“不變”，使學(xué)生獲得了較好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)[3]. 只有這樣，學(xué)生的思維能力才能得到極大程度的鍛煉，才能更好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4].

參考文獻(xiàn)：

[1]? 劉兵生. 高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的心理學(xué)淺議[J]. 中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2013，7（24）.

[2]? 溫孫瑩. 讓數(shù)學(xué)課堂在“變式”中生成精彩——從習(xí)題的“變身”淺談變式教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015（8）.

[3]? 王廣余. “變”中出“彩”——一堂高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（9）.

[4]? 胡水林. 情景引入、啟發(fā)誘導(dǎo)、變式探究、反思提高——高中新課程理念下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的探討[J]. 浙江教學(xué)研究，2007（3）.