閆晨 紀小剛,2 于益超 胡海濤 張溪溪

（1.江南大學(xué)，無錫 214122；2.江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，無錫 214122）

主題詞：車身曲線品質(zhì) 定量評定 細節(jié)比 標(biāo)定

1 前言

車身重構(gòu)曲線曲面的品質(zhì)影響著汽車及其零部件的性能、加工制造以及外觀設(shè)計。目前，車身曲線曲面的品質(zhì)評定方法主要有曲率分析法、光照模型法和輔助面法[1-4]，然而上述方法無法進行定量評價，且主要由人工進行評定，往往帶有很強的主觀性，受到分析人員經(jīng)驗、視覺誤差、終端分辨率等多種因素的制約，缺乏客觀、統(tǒng)一的評定依據(jù)，導(dǎo)致車身曲線曲面的品質(zhì)評定結(jié)果主觀性強、準確度差且評定效率低下。因此，需要一種客觀、統(tǒng)一的定量評定方法對車身曲線曲面品質(zhì)進行評定。

評定人員的經(jīng)驗和觀點以及用戶的要求和意愿都具有很強的模糊性，需要把主觀與客觀評定相結(jié)合，將這種模糊性進行解析和量化，模糊數(shù)學(xué)理論中的模糊綜合評判方法為解決這類問題提供了有效途徑，通過建立起面向?qū)ο蟮木C合評定體系[5-8]，得到評定車身曲面品質(zhì)的定量值，從而得到相對客觀、準確的結(jié)論，但這類方法操作過于復(fù)雜且需要耗費大量人力，因而效率低下，實用性不強。

近年來，小波分析技術(shù)在曲線造型領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣泛[9-11]，通過小波分解過濾掉曲線的缺陷，并保持原曲線的整體趨勢，可達到優(yōu)化曲線品質(zhì)的目的。曲線小波分解后可得到尺度部分（反映曲線的本質(zhì)特性，即光順信息）和細節(jié)部分（反映曲線的外在缺陷，即細節(jié)信息），這兩部分均可量化，對尺度部分和細節(jié)部分進行綜合利用，構(gòu)建用于評定車身曲線品質(zhì)的指標(biāo)，可實現(xiàn)定量化評定。針對現(xiàn)階段曲線曲面品質(zhì)評定方法的缺陷，本文通過曲線的小波分解，提取曲線品質(zhì)優(yōu)化后得到的信息，定義曲線的細節(jié)比，由細節(jié)比的性質(zhì)對不同品質(zhì)的曲線進行標(biāo)定，得到曲線品質(zhì)等級表，實現(xiàn)對曲線品質(zhì)的定量評定。

2 細節(jié)比的定義及其性質(zhì)

由于目前主流的三維造型軟件多使用準均勻B樣條進行曲線曲面造型，同時，高次B樣條曲線的局部性較差，且冪次越高計算量越大，在實際工程應(yīng)用中多使用不超過三次的B樣條，因此，本文以準均勻三次B樣條曲線為例進行說明。

尺度j下基函數(shù)為Φj、控制頂點矩陣為Cj的準均勻三次B樣條曲線fj(t)=ΦjCj經(jīng)小波分解后可以得到尺度曲線fj-1(t)和細節(jié)曲線gj-1(t)，即

式（1）用矩陣形式可表示為：

式中，Pj為尺度曲線重構(gòu)矩陣；Cj-1為尺度曲線控制頂點矩陣；Qj為細節(jié)曲線重構(gòu)矩陣；Dj-1為細節(jié)曲線控制頂點矩陣。

對曲線執(zhí)行多次小波分解可得：

式中，fi(t)(i=0,1,…,j-1)為曲線每次分解后得到的尺度曲線；gi(t)(i=0,1,…,j-1)為曲線分解后得到的細節(jié)曲線，用矩陣形式可表示為ΦjCj=ΦjPjCj-1+ΦjQjDj-1=ΦjPjPj-1Cj-2+ΦjPjQj-1Dj-2+ΦjQjDj-1=ΦjPjPj-1…P1C0+ΦjPjPj-1…P2Q1D0+…+ΦjPjQj-1Dj-2+ΦjQjDj-1。

由矩陣的運算規(guī)則可知：

式中，PjPj-1…P1C0為多次光順后得到的尺度曲線控制頂點，代表曲線所含的光順信息；PjPj-1…Q1D0、……、PjQj-1Dj-2、QjDj-1為曲線多次光順得到的所有細節(jié)曲線控制點，代表曲線所含的全部細節(jié)信息。

定義曲線細節(jié)比為：

式中，||·||為矩陣范數(shù)，本文采用F范數(shù)；∑Cnoise為曲線所含的細節(jié)信息總和；∑Cscale為多次光順后得到的曲線光順信息總和。

結(jié)合式（4）可得：

則細節(jié)比的定義式（5）可變?yōu)椋?/p>

由細節(jié)比的定義可知：0≤s≤1；s越大，則曲線包含的細節(jié)信息越多，曲線的品質(zhì)越差；反之，則細節(jié)信息越少，曲線的品質(zhì)越好。

在計算細節(jié)比時，需要說明的是，由于B樣條曲線具有幾何不變性，處在不同坐標(biāo)下的同一曲線有相同的細節(jié)，但細節(jié)比數(shù)值大小不同，為減小坐標(biāo)對細節(jié)比數(shù)值的影響，在計算細節(jié)比前需對曲線進行平移變換，將控制點變換到以原點為中心，對于三維控制點為CM×3（M為曲線控制點數(shù)）的任意曲線，先將控制點矩陣加上一列全為1的列向量，擴充為M×4的矩陣CM×4，變換矩陣為：

其中，(cx,cy,cz)為原曲線控制點中心坐標(biāo)，變換后的矩陣為：

變換后的控制點矩陣為CCM×4的前3列，由新的控制點進行光順處理計算曲線的細節(jié)比。

3 曲線的細節(jié)失真及其修正

3.1 曲線的細節(jié)失真

為得到曲線全部的細節(jié)信息，需要對曲線做多次小波分解，對于準均勻三次B樣條曲線，其控制點至少應(yīng)為4個，所以可將曲線光順到4個控制點以得到全部的細節(jié)信息，根據(jù)準均勻三次B樣條的定義，當(dāng)曲線尺度m=10時，共有u=m+3=13個基函數(shù)，節(jié)點矢量T=[0,0,0,0,1/m,…,1-1/m,1,1,1,1]=[tv](v=1,2,…,u+4)定義的準均勻三次B樣條基函數(shù)Φ=[Bu(tv)]如圖1所示。

圖1 m=10對應(yīng)的準均勻三次B樣條基函數(shù)

其中第1～3個和第11～13個基函數(shù)圖像為非均勻B樣條基函數(shù)，第4～10個基函數(shù)可看作由第4個基函數(shù)平移得到，是均勻B樣條基函數(shù)。對于準均勻三次B樣條而言，其首尾6個基函數(shù)均為非均勻基函數(shù)，剩余的基函數(shù)均為均勻基函數(shù)，當(dāng)曲線控制頂點較少時，非均勻B樣條基函數(shù)占總基函數(shù)的比例增大，若此時對曲線進行小波光順處理，過濾掉的細節(jié)曲線非均勻特性增強，則會出現(xiàn)失真現(xiàn)象。

為形象地說明曲線的細節(jié)失真現(xiàn)象，如圖2a所示，現(xiàn)將某131個控制點的“W”形曲線加入距離0.5 mm范圍內(nèi)的噪聲，即對控制點進行0.5 mm范圍內(nèi)的隨機偏移，將曲線依次光順到67、35、19、11、7、5、4個控制點，圖2b～圖2h為每次光順過濾掉的細節(jié)，當(dāng)曲線從11個控制點向7個控制點光順時，過濾掉的細節(jié)曲線控制點范圍顯著超出之前過濾掉的細節(jié)，且超過0.5 mm，直至由5個控制點向4個控制點光順時細節(jié)曲線成為直線。

圖2 某“W”形曲線及其多次光順過濾掉的細節(jié)曲線

這是由于曲線光順過程中，其控制點越來越少，細節(jié)曲線控制點也越來越少，根據(jù)B樣條曲線的定義，曲線的形狀由控制頂點和B樣條基函數(shù)共同決定，控制頂點減少，B樣條基函數(shù)數(shù)量也隨之減少，非均勻B樣條基函數(shù)的數(shù)量占基函數(shù)總數(shù)的比重越來越高，曲線受非均勻B樣條基函數(shù)的影響越來越大，準均勻特性減弱，細節(jié)曲線就會出現(xiàn)失真現(xiàn)象。

3.2 曲線的細節(jié)修正

本文以控制點數(shù)分別為131和259的小半圓（半徑50 mm，記作R50）、大半圓（半徑200 mm，記作R200）、半橢圓（長半軸50 mm，短半軸40 mm，記作T5040）以及某B樣條曲線?。ㄓ涀鱄u）為例，將每條曲線隨機加入0.05 mm、0.1 mm以及0.5 mm范圍內(nèi)的噪聲，即對每個控制頂點分別進行相應(yīng)范圍內(nèi)的隨機偏移，然后對每條曲線進行小波光順處理，光順到11個控制點，將加入的噪聲計算的細節(jié)比記作理想細節(jié)比，將過濾掉的噪聲計算的細節(jié)比記作實際細節(jié)比，計算實際細節(jié)比所占理想細節(jié)比的比例及其平均值，結(jié)果如表1所列，由表1可知，曲線光順到11個控制點所過濾掉的細節(jié)部分計算的細節(jié)比約為理想細節(jié)比的97%。

表1 曲線理想細節(jié)比與實際細節(jié)比

在實際曲線重構(gòu)時，為保證曲線的光順性并且節(jié)約存儲空間，同時便于工程人員操作并簡化計算，曲線的控制點一般不會太多，因此將曲線光順到11個控制點即可得到曲線大部分的細節(jié)信息，由這部分細節(jié)信息計算曲線的細節(jié)比，然后根據(jù)曲線光順到11個控制點所過濾掉的細節(jié)部分計算的細節(jié)比約為理想細節(jié)比的97%進行修正。

4 基于細節(jié)比的曲線品質(zhì)等級標(biāo)定

由細節(jié)比的性質(zhì)可知，曲線品質(zhì)等級越低，所含的細節(jié)部分越多，細節(jié)比的值也就越大。根據(jù)這一性質(zhì)，可以對不同品質(zhì)的曲線進行數(shù)值標(biāo)定。標(biāo)定方法為：在半圓形曲線上將控制點隨機移動不同范圍的距離，即隨機加入不同大小的噪聲，然后由加入的噪聲和加入噪聲后的曲線計算曲線的細節(jié)比，最后由細節(jié)大小和細節(jié)比進行標(biāo)定。

分別以半徑為50 mm、100 mm、200 mm的半圓進行標(biāo)定，為3條曲線加入0～1 mm范圍內(nèi)的噪聲，每次增大的距離為0.01 mm，得到散點圖，對這些散點進行多項式擬合，可以得到3條直線，如圖3所示，其中，n為加入噪聲的范圍大小。

圖3 曲線標(biāo)定散點圖擬合

由于在實際曲線重構(gòu)時得到的曲線控制點數(shù)量有一定限制，所以只需將其光順到11個控制點即可得到約97%的細節(jié)部分，因此直線的斜率和截距均變?yōu)槔硐胫本€的97%。當(dāng)加入的噪聲為0時，曲線的細節(jié)比也應(yīng)為0，所以細節(jié)比與噪聲大小是線性關(guān)系，如圖4所示。

圖4 曲線標(biāo)定線性圖

由圖4可知：在噪聲大小相同的情況下，外形尺寸（即曲線控制點矩陣的F范數(shù)值）越大的曲線細節(jié)比越小，曲線的品質(zhì)等級越高，這與實際情況相符，外形尺寸越大的曲線，細節(jié)比圖像的斜率越??；細節(jié)比相同時（即曲線的品質(zhì)相同時），外形尺寸較小的曲線所含的噪聲較小，在實際應(yīng)用中，當(dāng)兩曲線品質(zhì)相同時，外形尺寸較大的曲線能過濾掉的細節(jié)部分也較大，這與圖4所示情況相符。

根據(jù)標(biāo)定結(jié)果，按照細節(jié)比的數(shù)量級大小，可以將曲線的品質(zhì)劃分為8個等級，如表2所示，等級8的曲線品質(zhì)最好，等級1最差。

表2 曲線等級表

在使用細節(jié)比圖（s-n圖）時，首先由曲線光順后過濾掉的細節(jié)計算∑Cnoise，得到∑Cnoise的控制頂點并計算各頂點與原點的最大距離nmax，然后計算曲線的細節(jié)比s，根據(jù)點(s,nmax)在圖4中的位置即可評定曲線的品質(zhì)等級。

5 工程實例分析

根據(jù)曲線品質(zhì)等級標(biāo)定方法進行工程實例分析，以驗證其可行性。

圖5所示為某汽車車燈曲面點云，對曲面進行重構(gòu)時，需要先進行截面曲線重構(gòu)，為此，在車燈點云上截取2個截面點云進行曲線重構(gòu)，得到2條品質(zhì)不同的曲線，控制點數(shù)均為131個，經(jīng)過平移變換后，曲線如圖6所示。

圖5 某汽車車燈點云

圖6 汽車車燈重構(gòu)曲線

由于控制點數(shù)量較多，圖6難以反映二者品質(zhì)上的區(qū)別，分別對其進行曲率分析，作曲率關(guān)于弧長比的關(guān)系圖，結(jié)果如圖7所示，由圖7可以看出，曲線2的曲率較曲線1波動范圍更大且變化更劇烈，曲線2的品質(zhì)較曲線1差。

圖7 曲線1和曲線2的曲率分析

對2條曲線分別進行光順處理，光順到11個控制點，得到的細節(jié)總和如圖8所示，計算∑Cnoise的控制頂點中與原點的最大距離分別為nmax1=0.010 504 mm、nmax2=0.238 152 mm，故曲線2過濾掉的細節(jié)遠大于曲線1。再分別計算兩曲線的(∑Cnoise+∑Cscale)（記作∑C）可得∑C1=1 064.565 183、∑C2=997.253 196。

比較R100、R200、曲線1和曲線2的∑C可知，∑CR100＜∑C2＜∑C1＜∑CR200。因此，圖4中曲線1和曲線2的s-n圖像應(yīng)處在R100和R200的s-n圖像之 間，計算曲線1和曲線2的細節(jié)比可得：s1=5.623 447×10-5、s2=1.274×10-3。

根據(jù)(s1,nmax1)和(s2,nmax2)在圖4中的位置，結(jié)合表2可知，曲線1為6級曲線，曲線2為3級曲線，曲線2的品質(zhì)較差，為保證重構(gòu)曲面的品質(zhì)，需要對曲線2進行一定的處理才可用于構(gòu)建曲面，這與圖7所示的兩曲線曲率分析結(jié)論相符，而本文方法可以進行定量分析，能夠提高分析結(jié)果的準確性。

6 結(jié)束語

本文提出了一種定量評定曲線品質(zhì)等級的方法，通過曲線嵌套形式的小波分解，結(jié)合得到的光順信息和細節(jié)信息構(gòu)建曲線的細節(jié)比，由細節(jié)比的性質(zhì)和數(shù)值對曲線品質(zhì)等級進行劃分，與傳統(tǒng)的人工通過經(jīng)驗評定曲線品質(zhì)的方法不同，本方法給出了曲線品質(zhì)等級的統(tǒng)一定量劃分依據(jù)。通過工程實例驗證，可以得到以下結(jié)論：

a.曲線光順到含有一定數(shù)量均勻基函數(shù)時可得到大部分細節(jié)信息，其余細節(jié)信息可以通過系數(shù)修正；

b.曲線的細節(jié)比數(shù)值大小與曲線的外形尺寸（曲線控制點矩陣的F范數(shù)值）和曲線所含細節(jié)信息大小有關(guān)；

c.曲線的品質(zhì)等級越高，則其細節(jié)比越小，曲線所包含的細節(jié)信息越少；

d.由于計算過程只需要進行小波分解，能夠得到定量化的分析結(jié)果，消除人為因素的影響，評定方法準確、高效。