趙靜靜 火箭軍士官學(xué)校

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)重要基礎(chǔ)概念，描述了函數(shù)在某點處的變化率。它與物理、幾何、經(jīng)濟等學(xué)科關(guān)系密切，在工程技術(shù)和日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用。荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾說“數(shù)學(xué)是現(xiàn)實的，學(xué)生從現(xiàn)實生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，再把學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)應(yīng)用到現(xiàn)實中去”，所以學(xué)生的現(xiàn)實經(jīng)驗是其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。教師要善于從學(xué)生的經(jīng)驗出發(fā)，挖掘?qū)W生感興趣的案例，以學(xué)生熟知的軍事案例為驅(qū)動，提出問題、分析問題，從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，概括數(shù)學(xué)知識，再用數(shù)學(xué)知識去解決案例中的實際問題，讓知識從生成到應(yīng)用，形成閉環(huán)，讓數(shù)學(xué)“看得見、摸得著、用的上”。

一、教學(xué)分析

導(dǎo)數(shù)的概念較為抽象，學(xué)生不易理解。平面曲線的切線問題是一個幾何問題，較為枯燥，同時學(xué)生沒有應(yīng)用切線解決實際問題的經(jīng)驗，所以沒有學(xué)習(xí)的興趣也沒有學(xué)習(xí)的動力。在物理上，物體在某點處的運動方向即為其運動軌跡在該點處的切線。在教學(xué)中，從學(xué)生的這個實際認(rèn)知出發(fā)，采用貼近部隊、貼近裝備、貼近實戰(zhàn)的坦克爬坡問題，把切線斜率問題結(jié)合這個軍事背景重新闡述，作為案例進(jìn)行引入，層層分析，逐步引導(dǎo)學(xué)生生成導(dǎo)數(shù)的概念。

二、教學(xué)實施

（一）問題提出，激發(fā)興趣

最大爬坡角指汽車在滿載時的最大爬坡能力，武器裝備也有最大爬坡角，已知某型坦克的最大爬坡角為30°。在執(zhí)行任務(wù)時坦克要爬過某個山坡，坦克駕駛員如何預(yù)判坦克能否直接爬過山坡？

（二）問題分析，建立模型

坦克能否直接爬過山坡取決于坦克在爬坡過程中的最大傾斜角是否超過30°，若不超過30°坦克就能順利爬過山坡。建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)山坡垂直截面的邊界曲線方程滿足。如圖2所示，坦克在任意點處的傾斜角α就是在該點處曲線的切線的傾斜角。而切線切率k= t anα，所以要討論的問題轉(zhuǎn)換成分析曲線上任意點切線的斜率是否超過。曲線的切線斜率又將如何求解呢？

圖1 坦克爬坡示意圖

圖2 坦克傾斜角

（三）問題探究，生成概念

任取曲線上一點M(x0,y0)，如圖3所示，設(shè)直線MT為曲線在點M處的切線。兩點確定一條直線，直接作出曲線過點M的切線是不能實現(xiàn)的，所以在曲線上另取異于M的一點N作出曲線的割線MN。M、N兩點的縱坐標(biāo)之差為Δy，橫坐標(biāo)之差為Δx，則割線MN的斜率。將割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)，隨著割點N向點M的無限趨近，Δx的逐漸減小趨近于0，割線MN逐漸趨近于切線MT。因而割線MN的斜率在Δx→0時的極限即為切線MT的斜率，所以

這個極限就稱為函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，即

綜上分析，函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，這也稱為導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

圖3 切線

（四）問題解決，回扣引例

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線上任一點M處的切線即為

也就是說，坦克在爬坡過程中最大的傾斜角也不會超過30°，所以坦克可以順利的爬過山坡。

上述問題在解決的過程中先是抽象出了數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)和生活、工作的密切聯(lián)系；對數(shù)學(xué)問題的解決則讓學(xué)生逐步生成了導(dǎo)數(shù)的概念，建立起對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的認(rèn)識，明確了切線斜率和導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系；最終又應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念解決了坦克爬坡問題。這種應(yīng)用知識從實際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)問題并建立模型的過程就是數(shù)學(xué)建模。在對軍事問題的解決中潛移默化地鍛煉了學(xué)生的建模能力，提高了其應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

三、教學(xué)總結(jié)

弗蘭登塔爾還有一句名言“沒有一種數(shù)學(xué)思想，是以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來”。數(shù)學(xué)中抽象的概念固然簡潔美麗，卻掩蓋了產(chǎn)生這些概念的實際問題，也掩蓋了前人對這些問題所進(jìn)行的火熱的思考。軍事案例的教學(xué)即是重述這些問題，讓學(xué)生以這些問題為驅(qū)動，重新進(jìn)行火熱的思考，火熱思考的積累就是創(chuàng)新思維的源泉，發(fā)掘和領(lǐng)會火熱思考的能力是學(xué)習(xí)能力的主要表現(xiàn)。軍事案例教學(xué)通過對問題的解決，提高了學(xué)員的綜合能力。