張長新
(甘肅省白銀市景泰縣文教局招生辦 甘肅白銀 730900)
在諸多圖形中,一筆而成的圓看似簡單,但卻蘊含著極其豐富的知識。在初中階段,學(xué)習(xí)圓的主要目的就是讓學(xué)生能運用圓的定理解決問題。然而,在實際解題過程中,很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)題型千變?nèi)f化,想將題目做對、做好并不簡單。再加上很多關(guān)于圓的題目對學(xué)生的綜合能力、邏輯思維能力等考察較多,因此,要想讓學(xué)生真正掌握圓的定理,教師就應(yīng)主動帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)圓這類題目,并找出最佳解決方案。
新形勢下,教育體系的改革打破了傳統(tǒng)的教學(xué)方式。在新教育理念的引領(lǐng)下,教師已經(jīng)開始致力于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才[1]。以初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)為例,在以往的數(shù)學(xué)題目解答過程中,學(xué)生常常會采用一題一分析的方式。這種方式不僅效率低,而且很難提高學(xué)生的解題效率。因此,教師應(yīng)根據(jù)題型的不同,科學(xué)地總結(jié)出不同的解題策略。
以“圓的認(rèn)識與圓的對稱性”這一題型的解題為例,在解答此類題目時,學(xué)生應(yīng)先思考此題可用的圓形定理,再運用題目中給出的條件找到圖形中線段、角、弧之間的關(guān)系,并思考其中蘊含的特殊三角形(如等腰三角形、直角三角形等)的信息,然后求解。
例1 已知CD為圓O的弦,AB為圓O的直徑,且AB經(jīng)過CD的中點,并交CD于點M,連接OC、BD,若∠BOC=40°,求∠ABD的度數(shù)。
解答這道題目時,學(xué)生應(yīng)先考慮到該題需要用到的定理——垂徑定理及圓周角定理,然后,分析位置關(guān)系:
(1)∠BOC與∠BDC分別是弧BC所對的圓心角與圓周角,根據(jù)已知條件及圓周角定理,可求得∠BDC的度數(shù);
(2)又因為AB與CD垂直,所以△BDM應(yīng)該是一個直角三角形;
(3)根據(jù)互余關(guān)系,可以求出∠ABD的度數(shù)。
在分析完成后,學(xué)生再求解,就易知∠ABD=70°。
圓這部分的練習(xí)題中還包括一些有關(guān)圓周角計算的題目。在實際考試中,此類題目多是以選擇題、填空題等題型出現(xiàn)。因此,在解答這類題目時,學(xué)生應(yīng)用“巧”,即用盡量短的時間、盡量簡單的做法進(jìn)行求解[2],以在準(zhǔn)確解題之余,不浪費寶貴的考試時間。那么,對這類題目,學(xué)生該如何去做呢?
筆者認(rèn)為,學(xué)生應(yīng)注意從題目中圓周角及其所對的弧、弦及圓心角等方面的信息入手進(jìn)行分析。在實際教學(xué)中,教師可以采用典型講解、大量練習(xí)的方法,先對例題進(jìn)行逐步分析,再展示相關(guān)練習(xí)題目,并讓學(xué)生根據(jù)教師的分析方法做題,增加解題熟練度。比如,在此題型的講解中,教師可以先展示例題:
例2 已知圓O內(nèi)有一內(nèi)接三角形ABC,且在短弧BC上存在一點D恰好位于CA延長線上,若∠BOC=120°,那么,∠BAD=( )。
然后,教師逐步分析:在這個題目中,我們可以先根據(jù)∠BAC所對應(yīng)的弧為長弧BC,結(jié)合圓心角,求出
∠BAC=1/2(360°-120°)=120°
繼而求出
∠BAD=180°-120°=60°
在學(xué)生掌握了此題型的這種分析方法后,教師應(yīng)趁熱打鐵,展示與該題目相似的其他練習(xí)題,并要求學(xué)生將題目分析與答案寫在紙上。
縱觀現(xiàn)階段的初中數(shù)學(xué)題目,關(guān)于圓的題目從基礎(chǔ)題型到綜合題型不一而足。對基礎(chǔ)題目,大部分學(xué)生都能較輕松地解答出來。但對綜合題目,很多學(xué)生就不知如何下手了。圓一類的題目中常會有圓與直線、函數(shù)等知識構(gòu)成的復(fù)雜幾何題,往往需要作輔助線。而學(xué)生的難點就在于輔助線的添加。
為讓學(xué)生掌握此類問題的解題策略,在教學(xué)中,教師可以通過題型交流的方法,將輔助線的添加方式及相關(guān)題目總結(jié)出來,讓學(xué)生的解題更有邏輯。比如,教師可以利用小組大討論的方法,讓學(xué)生說一說自己在解題時添加輔助線的方式(如根據(jù)垂徑定理及其推論過圓心作弦的垂線、兩圓相交時作公共弦等)。在學(xué)生討論時,教師還可以將學(xué)生回答的此類題型的解題策略以思維導(dǎo)圖的方式羅列出來,并要求學(xué)生就其中每一條輔助線的添加方法尋找典型例題,通過小組互相出題的方法進(jìn)行題型練習(xí)。比如,有的小組會就“兩圓相交時作公共弦”這一方法給出題目:
例3 已知圓O1與圓O2相交于點A、B,若EF切圓O1于點E,且EA、EB的延長線分別交圓O2于點C、D,求證:EF與CD平行。
這樣的教學(xué)方式不僅尊重了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性,有利于激發(fā)學(xué)生的主動性,而且能讓學(xué)生更全面地掌握輔助線的添加方法。
總之,在圓的教學(xué)中,教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)題型進(jìn)行總結(jié)與分析,切實提高學(xué)生的解題能力,鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識,繼而讓學(xué)生獲得更好的發(fā)展。