廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍(lán)云波

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題中,近年來興起了一類與函數(shù)的極值點(diǎn)相關(guān)的不等式問題.這類問題,題面上看起來極為相似,但解題過程卻變化多端,方法飄忽不定,困擾了不少師生,本文筆者專門對(duì)此類問題進(jìn)行論述,以期對(duì)解決這類問題有所幫助,現(xiàn)分析如下.

策略一：以參數(shù)為主元進(jìn)行消參

例1(2017年高考江蘇卷壓軸題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a＞0,b∈R)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn).

(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;

(2)證明：b2＞3a;

(3)若f(x),f′(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于求a的取值范圍.

解析(1)由題意可知

當(dāng)x=時(shí),f′(x)有極小值因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn),所以即又因?yàn)閍＞0,所以因?yàn)閒(x)有極值,故f′(x)=0有實(shí)根.所以故a≥3.當(dāng)a=3時(shí),f′(x)≥0,且僅在x=-1時(shí),f′(x)=0,所以f(x)在 R 上單調(diào)遞增,f(x)沒有極值;當(dāng)a＞3時(shí),f′(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根

列表如下：

x____(-∞,x1)____x1_______(x1,x2)____x2_______(x2,+∞)__f′(x______)+________0_______-_______0________+_____f(x______)↗_____極大值____↘____極小值_____↗____

故f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2.所以a＞3.綜上,b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,定義域?yàn)?3,+∞).

從而

所以f(x)與f′(x)所有極值之和

點(diǎn)評(píng)本題第三問由于涉及到的字母比較多,問題比較棘手,但消參思想是解決多變量多字母問題的利器.在通過細(xì)致的觀察后,發(fā)現(xiàn)以參數(shù)a為主元進(jìn)行消參較為方便,在化簡(jiǎn)后,可通過構(gòu)造函數(shù)實(shí)現(xiàn)問題的求解.

策略二：以x1或x2為主元進(jìn)行消參

例2(廣東省惠州市2018屆高三第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2lnx(其中a是實(shí)數(shù)).

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),

令g(x)=2x2-ax+2,Δ =a2-16,對(duì)稱軸

1)當(dāng)Δ =a2-16≤0,即-4≤a≤4時(shí),f′(x)≥0,于是,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.

2)當(dāng)Δ=a2-16＞0,即a＜-4或a＞4時(shí),

①若a＜-4,則f′(x)＞0恒成立,于是,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無減區(qū)間.

②若a＞4,令f′(x)=0,得

當(dāng)x∈(0,x1)∪(x2,+∞)時(shí),f′(x)＞0,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f′(x)＜0.于是,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x1)和(x2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(x1,x2).綜上所述：當(dāng)a≤4時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)a＞4時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,x1)和(x2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(x1,x2).

(2)由 (1)知,若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則a＞4,且所以0＜x1＜1＜x2,又因?yàn)橛?＜x1＜1,解得,于是,

恒成立,所以h(x)在單調(diào)遞減,所以,即

故f(x1)-f(x2)的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)通過觀察,發(fā)現(xiàn)f(x1)-f(x2)的表達(dá)式中,參數(shù)a出現(xiàn)的次數(shù)較少,且相對(duì)較為孤立,以a為主元顯然不合適.結(jié)合x1x2=1,發(fā)現(xiàn)以x1還是x2為主元進(jìn)行消參,難度基本是一樣的.因此本題以x1或x2為主元進(jìn)行消參都是可以的,讀者可嘗試以x2為主元進(jìn)行解答.

例3(江西省上饒市2017屆一模)已知函數(shù)f(x)=lnx+mx(m為常數(shù)).

(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析(1)f′(x)=當(dāng)m＜0時(shí),由1+mx＞0,解得,即當(dāng)時(shí),f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增;由1+mx＜0解得x＞,即當(dāng)時(shí),f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)m=0時(shí),f′(x)=＞0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)m＞0時(shí),1+mx＞0,故f′(x)＞0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)m＜0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)m≥0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).

由已知x2+mx+1=0有兩個(gè)互異實(shí)根x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-m,x1x2=1,因?yàn)閤1,x2(x1＜x2)是h(x)的兩個(gè)零點(diǎn),故

點(diǎn)評(píng)本題無論是以哪個(gè)字母為主元,都難于進(jìn)行.但在嘗試消去參數(shù)a,并通過細(xì)致的觀察與實(shí)施對(duì)數(shù)運(yùn)算后,發(fā)現(xiàn)若以為主元進(jìn)行構(gòu)造函數(shù),問題便迎刃而解.

策略四：隱蔽的問題顯性化

(1)求a的取值范圍;

(2)若x1∈(0,1)且x2∈(1,+∞).求證：f(x2)-

解析(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).求導(dǎo)函數(shù)得f′(x)==,因?yàn)楹瘮?shù)在上有極值.所以f′(x)=0在內(nèi)有解,令g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β),因?yàn)棣力?1,不妨設(shè)0＜α＜,則β＞e,因?yàn)間(0)=1＞0,所以所以

(2)證明：由f′(x)＞0,可得 0＜x＜α或x＞β;由f′(x)＜0,可得α＜x＜1或1＜x＜β.所以f(x)在 (0,α)上單調(diào)遞增,在 (α,1)上單調(diào)遞減,在 (1,β)上單調(diào)遞減,在(β,+∞)上單調(diào)遞增.由x1∈(0,1),可得由x2∈(1,+∞),可得f(x2)≥f(β)=因?yàn)棣力?1,α+β=a+2.所以

點(diǎn)評(píng)本題難以直接建立各個(gè)字母之間的關(guān)系,因?yàn)閤1,x2不是極值點(diǎn).但在通過數(shù)形結(jié)合后發(fā)現(xiàn),可通過函數(shù)的單調(diào)性,利用放縮法轉(zhuǎn)化為含極值點(diǎn)與參數(shù)的不等式的證明,化歸與轉(zhuǎn)化為與例2相類似的與極值點(diǎn)相關(guān)的不等式問題.

通過以上四例的分析,我們發(fā)現(xiàn),與極值點(diǎn)相關(guān)的不等式問題,表面上看起來極為相似,但是解題的方向卻各不相同,如何運(yùn)用消參思想的是成功解決這類問題的鑰匙.概括起來主要有上述四種情況,到底是哪一種情形,對(duì)所求或所證的不等式的觀察是解題的起點(diǎn),消參方向的把握是解題的關(guān)鍵,如何消參是解題的難點(diǎn).消參后通過構(gòu)造函數(shù)求解是成功解題的保證.主要的解題步驟可歸納為如下幾點(diǎn)：

1.通過求導(dǎo),建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系(通常借助韋達(dá)定理),并確定極值點(diǎn)的大致范圍;

2.通過計(jì)算,簡(jiǎn)化所求不等式或所證不等式;

3.化簡(jiǎn)后,根據(jù)消參的難度確定以哪個(gè)字母為主元消參,確立解題方向;

4.構(gòu)造函數(shù)求得取值范圍或證得不等式.

這樣,通過深入的變式探究,我們很好地解決了這類與極值點(diǎn)相關(guān)的問題,使得這類問題的解決深入人心,在提高分析與解決問題的同時(shí),也提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),使學(xué)生們?cè)陬}海中解脫出來,也能對(duì)我們的教學(xué)給予一些啟示.