李慧清 吳登文

乘法分配律是小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域教學(xué)中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，人教版教材將它安排在運(yùn)算定律單元，本內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法的意義、筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算、乘法交換律、乘法結(jié)合律等內(nèi)容，并能初步應(yīng)用這些交換律、結(jié)合律定律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)上，將這些舊知呈現(xiàn)在學(xué)生面前，喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知，將新舊知識(shí)融合在一起，幫助學(xué)生建立更為完整的知識(shí)體系。本節(jié)課通過(guò)生活情境的引入、通過(guò)尋找規(guī)律、歸納建模、練習(xí)理解等過(guò)程，不僅使學(xué)生學(xué)會(huì)什么是乘法分配律，還要讓學(xué)生經(jīng)歷探索乘法分配律規(guī)律的探索過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的分析、推理、抽象、概括等思維能力。

【教學(xué)過(guò)程】

一、聯(lián)系實(shí)際生活，初步感知規(guī)律

1.（出示問(wèn)題情境）學(xué)校為四（1）班30名學(xué)生定做校服，每件上衣60元，每條褲子40元。根據(jù)已知信息你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：做30件上衣需要多少元？做30條褲子需要多少元？如果每人做一套，全班一共需要多少元？……

師：每人做一套，全班一共需要多少元？怎樣列式？說(shuō)說(shuō)列式的理由。

方法一：60×30+40×30。（30件上衣的錢(qián)加30條褲子的錢(qián)，就是一共要付的錢(qián)）

方法二：（60+40）×30。（一套衣服的錢(qián)乘30套，就是一共要付的錢(qián)）

（隨著學(xué)生口述列式，引導(dǎo)學(xué)生“圖文對(duì)照”，借助具體圖進(jìn)一步理解算理）

2.（出示例題情境）從圖中你知道了哪些數(shù)學(xué)信息？你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：一共有25個(gè)小組，每組里4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹(shù)，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹(shù)，一共有多少名同學(xué)參加這次植樹(shù)活動(dòng)？

（學(xué)生仔細(xì)觀察后列式，并說(shuō)明列式的理由）

方法一：4×25+2×25。（挖坑、種樹(shù)的人數(shù)加抬水、澆樹(shù)的人數(shù)，就是一共的人數(shù)）

方法二：（4+2）×25。（每組挖坑、種樹(shù)和抬水、澆樹(shù)的人數(shù)之和乘25，就是一共的人數(shù)）

（隨著學(xué)生口述列式，圖文結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生借助具體圖進(jìn)一步理解算理）

二、觀察對(duì)比分析，主動(dòng)學(xué)習(xí)規(guī)律

1.觀察特征。

●問(wèn)題一：同學(xué)們，認(rèn)真觀察上面這兩組算式，比一比：這兩個(gè)算式有什么相同的地方和不同的地方？

生：兩個(gè)算式的得數(shù)相同；參與運(yùn)算的數(shù)字相同；算式表示的乘法意義相同。

生：計(jì)算過(guò)程不同，一個(gè)是先加后乘，而另一個(gè)是分別相乘再相加。

師：既然得數(shù)相同，那我們能將這兩個(gè)算式用等號(hào)相連嗎？

生：能。

2.驗(yàn)證等式。

●問(wèn)題二：不同的兩個(gè)算式為什么能用等號(hào)連接？你能用自己的方式說(shuō)明這種關(guān)系嗎？

（學(xué)生先在小組內(nèi)交流，然后集體匯報(bào)）

生1：我們小組是通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證的，我們列舉了四組具有以上特征的算式，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)等號(hào)左右兩邊的得數(shù)完全相等，所以我們的結(jié)論是具有以上特征的兩個(gè)不同算式能用等號(hào)連接。

師：這個(gè)小組用到了一個(gè)重要的驗(yàn)證方法——舉例法。通過(guò)舉例的方法，發(fā)現(xiàn)等號(hào)左右兩邊的算式得數(shù)相等，以此來(lái)說(shuō)明這兩個(gè)不同算式能用等號(hào)連接。

生2：我們小組是通過(guò)畫(huà)圖的方式來(lái)證明這種規(guī)律的。等號(hào)的左邊有3個(gè)4，12個(gè)三角，再加上5個(gè)4，20個(gè)三角，一共有32個(gè)三角；等號(hào)的右邊有3加5的和，也就是8個(gè)4，共32個(gè)三角。所以這兩個(gè)算式是相等的。

師：這個(gè)小組的同學(xué)用了更直觀的畫(huà)圖方式來(lái)說(shuō)明兩個(gè)不同算式能用等號(hào)連接，這個(gè)方法非常好，數(shù)形結(jié)合，便于大家理解。

生3：我們小組是從乘法的意義上發(fā)現(xiàn)的，（4+2）×13 和 4×13+2×13，等號(hào)的左邊表示6個(gè)13，等號(hào)的右邊4個(gè)13加上2個(gè)13也是6個(gè)13，所以這兩個(gè)等式相等，可以劃等號(hào)。

師：這個(gè)小組的研究說(shuō)明這個(gè)等式不僅從結(jié)果上看是相等的，從算式的意義上看左右兩邊也是相同的，進(jìn)一步證明了兩個(gè)不同算式能用等號(hào)連接的現(xiàn)象。

三、拓展延伸規(guī)律，抽象規(guī)律本質(zhì)

●問(wèn)題三：仔細(xì)觀察得出的三組等式，你又有什么發(fā)現(xiàn)？小組交流。

60×30+40×30=（60+40）×30

4×25+2×25=（4+2）×25

3×4+5×4=（3+5）×4

學(xué)生觀察、交流，得出規(guī)律。

1.舉例驗(yàn)證。

師：這些算式都是剛才見(jiàn)過(guò)的，兩邊的算式結(jié)果都是相等的。具有這種特征的算式都能用“=”連接，你們能寫(xiě)出更多具有這種特征的式子嗎？想辦法驗(yàn)證。

（三名學(xué)生在黑板上舉例列出算式，然后全班匯報(bào)交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律成立）

2.下面的算式能用等號(hào)連一連嗎？

4×（5＋8） 4×5＋4×8

39×（76+28） 39×76＋39×28

56×（19＋28） 56×19＋28

受企業(yè)傳統(tǒng)管理結(jié)構(gòu)模式所影響，信息的傳遞時(shí)間較長(zhǎng)，而且傳遞的速度較慢，這就在無(wú)形中降低了工作的效率，同時(shí)違背了信息化的特點(diǎn)，這種模式不利于企業(yè)的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，對(duì)企業(yè)的發(fā)展有一定的阻礙。所以，企業(yè)應(yīng)該根據(jù)信息化發(fā)展的特點(diǎn)，改變組織結(jié)構(gòu)，提高信息的傳遞速度，實(shí)現(xiàn)企業(yè)中各部門(mén)的信息互通有無(wú)，保證信息的準(zhǔn)確性和安全性，提高企業(yè)的信息化管理水平，所以扁平化組織結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，正好實(shí)現(xiàn)了該內(nèi)容，它不僅能夠保證信息之間的連貫性和有效性，同時(shí)也提高了管理水平。

28×（39+13） 28×39＋28×13

64×64＋36×64 （64+36）×64

四、抽象概括規(guī)律，建立規(guī)律模型

●問(wèn)題四：大家都舉例了很多算式，雖然都舉不完，但是你能根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)，想辦法將上面這種關(guān)系用一道式子表示出來(lái)嗎？能用字母來(lái)表示這個(gè)規(guī)律嗎？

（學(xué)生獨(dú)立思考，全班交流）

生：（甲＋乙）×丙＝甲×丙＋乙×丙。

生：（□+△）×★=□×★+△×★。

師：這些方法都能概括我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？（能）你認(rèn)為哪種方法更好？說(shuō)說(shuō)理由。

生：我認(rèn)為（a＋b）×c=a×c＋b×c這種表示方法更好，它更方便快捷、簡(jiǎn)單明了。

小結(jié)：數(shù)學(xué)上常用的是字母表達(dá)式［板書(shū)：a×c＋b×c=（a＋b）×c］，簡(jiǎn)潔明了。這一規(guī)律我們叫乘法分配律，這個(gè)表達(dá)式我們也可以從右邊往左邊看，也就是（a+b）×c=a×c+b×c，這是乘法分配律的反向應(yīng)用，算式意義保持不變。

五、深度探究規(guī)律，發(fā)展學(xué)生思維

師：黑板上的這些等式都可以用這樣的長(zhǎng)方形來(lái)表示，同學(xué)們知道嗎？如果用a和c表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再拼上一個(gè)長(zhǎng)b寬c的長(zhǎng)方形，這時(shí)的大長(zhǎng)方形的面積可以怎樣表示？

［學(xué)生說(shuō)出（a+b）×c和 a×c+b×c，得到（a+b）×c=a×c+b×c］

師：這個(gè)圖形就是乘法分配律的直觀模型，它可以幫助我們更直觀地理解和記憶乘法分配律。如果再拼上一個(gè)長(zhǎng)方形，這時(shí)大長(zhǎng)方形的面積又可以怎樣表示？

生：（a+b+c）×d。

生：a×d+b×d+c×d。

總結(jié)得到（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d。

師：由此，你想到了什么？

師：這其實(shí)就是乘法分配律的擴(kuò)展，由兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)到三個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)，你還能聯(lián)想到什么？

生：四個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)。

生：五個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)。

六、回顧反思規(guī)律，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

1.二年級(jí)乘法口訣的推導(dǎo)：5×8+8=6×8你發(fā)現(xiàn)乘法分配律了嗎？

生：左邊5個(gè)8加1個(gè)8等于 6個(gè) 8，右邊也是 6個(gè) 8，左邊=右邊。

2.三年級(jí)上冊(cè)的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算：（長(zhǎng)+寬）×2=長(zhǎng)×2+寬×2這里也用到乘法分配律了嗎？

3.二年級(jí)兩位數(shù)乘一位數(shù)：12×3是怎么算的？你能找到乘法分配律的影子嗎？

生：左邊12可以分成10和2，3個(gè) 10+3個(gè) 2=3個(gè) 12，左邊=右邊。

4.筆算兩位數(shù)乘法：37×23你能不能不列豎式計(jì)算出得數(shù)？

小結(jié)：同學(xué)們，這些都運(yùn)用了乘法分配律?？磥?lái)，乘法分配律在數(shù)學(xué)中運(yùn)用非常廣泛，我們要用聯(lián)系的眼光來(lái)看待數(shù)學(xué)。

師：運(yùn)用乘法分配律可以使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便，但也并不是絕對(duì)的，所以提醒大家在簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)一定要注意觀察。

（20+17）×5=

（4+8）×25=

（16+4）×9=

七、拓展運(yùn)用規(guī)律，提升學(xué)習(xí)能力

1.填一填：在下面的□里填上合適的數(shù)。

（42+35）×2=42×□＋35×□

27×12+43×12=（27+□）×□

15×26+15×14=□×（□+□）

2.你能用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算嗎？

87×48+13×48

（40-3）×25

26×10

3.拓展題。（先說(shuō)思路，再計(jì)算）

（1）167×2+167×3+167×5=167×（ ）

（2）102×45 15×99+15

（3）28×225-2×225-6×225=（ ）×225

（4）9×135-9×35 46×99

八、全課總結(jié)，評(píng)價(jià)感受

師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？我們是怎么得到乘法分配律的？你學(xué)到了哪些好的方法？什么地方讓你感到最好玩？

【教后反思】

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)，要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解。乘法分配律是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，相比之前的運(yùn)算律來(lái)說(shuō)由于它包含了兩級(jí)運(yùn)算，變式較多，學(xué)生理解掌握比較困難。如果本節(jié)課僅僅教會(huì)學(xué)生公式和計(jì)算，就錯(cuò)失了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生模型思想的機(jī)會(huì)。因此在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生模型思想和解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是教學(xué)中比較注重的一個(gè)方面，也能使學(xué)生更好、更準(zhǔn)確地將乘法分配律運(yùn)用到簡(jiǎn)便計(jì)算中。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生經(jīng)歷乘法分配律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，幫助學(xué)生深化理解乘法分配律的內(nèi)涵，最終概括成數(shù)學(xué)模型。具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣，建立數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系

能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值所在。本節(jié)課設(shè)計(jì)了“定做校服”和“植樹(shù)”兩個(gè)問(wèn)題情境，學(xué)生經(jīng)歷了通過(guò)分析已知信息發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)到了解決問(wèn)題策略的多樣性，同時(shí)培養(yǎng)了“四能”。

二、由淺入深，循序漸進(jìn)，尊重兒童的認(rèn)知規(guī)律

為了幫助學(xué)生更好地建構(gòu)模型，本節(jié)課設(shè)計(jì)了若干環(huán)節(jié)：聯(lián)系實(shí)際生活，初步感知規(guī)律；觀察對(duì)比分析，主動(dòng)學(xué)習(xí)規(guī)律；拓展延伸規(guī)律，抽象規(guī)律本質(zhì)；抽象概括規(guī)律，建立規(guī)律模型；深度探究規(guī)律，發(fā)展學(xué)生思維；回顧反思規(guī)律，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；拓展運(yùn)用規(guī)律，提升學(xué)習(xí)能力等；經(jīng)歷了由具體到抽象再到具體的認(rèn)知過(guò)程，學(xué)生對(duì)乘法分配律的本質(zhì)有了深度地理解和把握。

三、舉例驗(yàn)證、抽象概括、經(jīng)歷建模的全過(guò)程

建模需要讓學(xué)生經(jīng)歷將具有相同結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象不斷數(shù)學(xué)化并抽象出模型的過(guò)程。通過(guò)觀察、比較、探究，學(xué)生在解決“定做校服”和“植樹(shù)”問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子的結(jié)果相等，可以用“=”相連，學(xué)生對(duì)規(guī)律有了初步的感知。但具有這種特征的兩個(gè)式子的結(jié)果都相等嗎？學(xué)生開(kāi)始用自己想到的辦法進(jìn)行探究，有的學(xué)生用列舉法、有的學(xué)生用畫(huà)圖法、還有的學(xué)生用乘法意義，學(xué)生對(duì)規(guī)律有了進(jìn)一步的感知。這是本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn)所在，整個(gè)過(guò)程突出模型的建構(gòu)，也積累了建模的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力，滲透了模型思想。

四、回顧反思，建構(gòu)體系，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系

通過(guò)回顧環(huán)節(jié)，建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，體會(huì)將碎片化的知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的過(guò)程，讓學(xué)生既看到樹(shù)木又看到森林。突出乘法分配律在計(jì)算中的應(yīng)用和價(jià)值，在交流中加深對(duì)運(yùn)算律結(jié)構(gòu)的掌握，為后繼學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)做好鋪墊。

五、以生為本，以學(xué)定教，突出學(xué)生的主體地位

在整個(gè)的教學(xué)過(guò)程中教師充分尊重學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)走在教之前，把課堂還給學(xué)生，突出學(xué)生的主體性，學(xué)生通過(guò)自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流尋找知識(shí)的共性，歸納規(guī)律的特征，整堂課學(xué)生積極主動(dòng)，思維在輕松愉悅的課堂氛圍中得以喚醒。