■郭 磊

研究性學(xué)習(xí)是全面培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力、收集和處理信息的能力、分析和解決問題的能力、語(yǔ)言文字能力，以及團(tuán)結(jié)協(xié)作能力的重要環(huán)節(jié)。這種方法還有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

在高三的專題復(fù)習(xí)過程中，對(duì)于“豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同學(xué)們可以先在小組合作中突破重難點(diǎn)，在大家都參與的知識(shí)點(diǎn)的生成過程中，弄清怎么把多個(gè)知識(shí)點(diǎn)整合到一起。具體做法是先圍繞本專題所要解決的問題去挖掘一些問題并進(jìn)行研究、探討，對(duì)存在障礙的問題應(yīng)及時(shí)解決，通過小組內(nèi)成員的共同努力和協(xié)作，將所提出的問題一個(gè)個(gè)解決;再將問題的結(jié)果進(jìn)行歸納和總結(jié)，完成這個(gè)專題的復(fù)習(xí)目標(biāo)。下面將這個(gè)專題中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)過程展示如下。

專題內(nèi)容：豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題。

模型設(shè)計(jì)：三大模型，即繩球模型、桿球模型、管道模型。

特殊位置：豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。

知識(shí)儲(chǔ)備：分別根據(jù)三大模型的特點(diǎn)，畫出小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力示意圖，并結(jié)合受力示意圖，寫出向心力的關(guān)系式。注意兩個(gè)問題，一是桿球模型和管道模型中，小球在最高點(diǎn)的受力情況分成兩種情況;二是小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)這兩個(gè)特殊位置時(shí)，小球速度大小的關(guān)系，動(dòng)能定理的使用。

圖1

問題一：如圖1所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿一端固定著一質(zhì)量為m的小球，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。

(1)當(dāng)小球在最高點(diǎn)B的速度為v1時(shí)，求輕桿對(duì)小球的作用力。

(2)輕桿拉小球過最高點(diǎn)的最小速度為多少?

(3)試分析光滑圓管豎直軌道中，小球過最高點(diǎn)時(shí)受管壁的作用力與速度的關(guān)系。

解：(1)設(shè)輕桿對(duì)球的作用力向下，則。當(dāng)v1=時(shí)，F(xiàn)=0;當(dāng)時(shí)，F(xiàn)＞0，表示小球受到輕桿的作用力方向向下，表現(xiàn)為拉力;當(dāng)時(shí)，F(xiàn)＜0，表示小球受到輕桿的作用力方向向上，表現(xiàn)為支持力。

(2)由(1)中的分析可知，輕桿拉小球過最高點(diǎn)的最小速度為零。

圖2

(3)如圖2所示，設(shè)管壁對(duì)小球的作用力向下，為N，則，得N=。當(dāng)時(shí)，N＞0，即上管壁對(duì)小球有向下的壓力;當(dāng)時(shí)，N＜0，即N豎直向上，下管壁對(duì)小球有向上的支持力。

【總結(jié)】細(xì)桿和管形軌道模型：

1.最高點(diǎn)的最小速度。

如圖3所示，細(xì)桿上固定的小球和管形軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球，因?yàn)闂U和管在最高處能對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力，所以小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度v=0，此時(shí)小球受到的支持力N=mg。

圖3

2.小球通過最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)桿或管形軌道對(duì)小球的彈力情況。

(1)桿或管的外側(cè)對(duì)小球產(chǎn)生向下的拉力或彈力時(shí)，F(xiàn)隨v的增大而增大。

(2)小球在最高點(diǎn)只受重力時(shí)，不受桿或管的作用力，即F=0。

(3)桿或管的內(nèi)側(cè)對(duì)小球產(chǎn)生向上的彈力時(shí)，F(xiàn)隨v的增大而減小。

3.小球能過最高點(diǎn)的條件：v≥0。

圖4

問題二：如圖4所示，一擺長(zhǎng)為r的單擺，擺球的質(zhì)量為m，要使擺球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，那么擺球在最低點(diǎn)的速度v0至少為多大?

圖5

解：小球在最高點(diǎn)受重力mg和繩的拉力T，如圖5所示，由牛頓第二定律得，因?yàn)閙、r一定，所以v越小，T也越小。當(dāng)T=0時(shí)。

討論：(1)如果把題中的擺繩去掉而改為與半徑與擺長(zhǎng)相同的圓環(huán)，使小球沿環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，那么情況又如何?

(2)如果在(1)的基礎(chǔ)上，使小球不脫離圓環(huán)軌道運(yùn)動(dòng)，則小球在最低點(diǎn)的最小速度為多少?

分析：若將繩變成圓環(huán)，在圓環(huán)的最高點(diǎn)，因?yàn)樾∏蚴茄丨h(huán)內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，環(huán)給小球提供支持力的方向是豎直向下的，和原題中繩在最高點(diǎn)的拉力情況一致，所以解決過程和原題是一致的。

在討論(2)中，同學(xué)們?cè)诶斫庑∏虿幻撾x圓環(huán)軌道這一要求時(shí)，容易只考慮小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)這一種情況，而忽略當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到和圓心位置等高的點(diǎn)，速度減為零時(shí)，將不會(huì)繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，而是沿圓環(huán)軌道滑下的情況。