婁軍強， 周優(yōu)鵬， 張振振， 陳特歡， 楊依領(lǐng)， 魏燕定

(1.寧波大學(xué)機械工程與力學(xué)學(xué)院 寧波，315211) (2. 浙江大學(xué)現(xiàn)代制造工程研究所 杭州，310027)

引 言

隨著空間技術(shù)與現(xiàn)代工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，柔性機械臂及柔性臂機器人已廣泛應(yīng)用于航天器、工業(yè)高端裝備以及醫(yī)療器械中[1-2]。為了滿足高精度及高平穩(wěn)性的操作任務(wù)需求，柔性臂機器人的驅(qū)動部分一般采取諧波傳動方式[3]，由伺服電機和諧波減速器組成的諧波驅(qū)動關(guān)節(jié)進行驅(qū)動，具有質(zhì)量輕、動態(tài)特性好、傳動比大且傳動平穩(wěn)等優(yōu)點[4]。諧波驅(qū)動的柔性臂機器人系統(tǒng)的驅(qū)動控制技術(shù)是目前柔性臂機器人領(lǐng)域內(nèi)的研究熱點，引起了廣泛關(guān)注。

柔性機械臂系統(tǒng)的剛?cè)狁詈咸匦詫?dǎo)致柔性臂在運動過程中必然會產(chǎn)生彈性振動，柔性臂末端操作對象的運動實質(zhì)上是系統(tǒng)剛體大位移和彈性小變形之間的慣性耦合[5]，而諧波驅(qū)動環(huán)節(jié)的引入進一步加劇了系統(tǒng)動力學(xué)特性的復(fù)雜性[6]。為了提高柔性機械臂末端的操作精度和指向精度，諧波驅(qū)動的柔性臂系統(tǒng)的動力學(xué)建模及其振動抑制問題成為了當(dāng)前柔性臂機器人領(lǐng)域極為重要的研究課題[7]。建立精確合理的系統(tǒng)動力學(xué)模型是實現(xiàn)柔性臂系統(tǒng)精密驅(qū)動控制的前提和基礎(chǔ)。但是目前關(guān)于運動過程中的柔性臂動力學(xué)特性研究中，大多僅考慮了系統(tǒng)的機械特性，重點放在了柔性臂振動模型的研究上[8]，對諧波關(guān)節(jié)的驅(qū)動特性及二者之間的耦合關(guān)系則相對較少涉及。Feiliu-Talgon等[9]利用建立的柔性臂集中質(zhì)量模型，分析了柔性臂的振動特性和電機驅(qū)動力矩之間的關(guān)系。Sharma等[10]基于平均自回歸滑動模型(auto-regressive moving average exogenous, 簡稱ARMAX)模型，建立了從驅(qū)動關(guān)節(jié)輸出力矩到柔性臂振動加速度的傳遞函數(shù)模型。由于諧波減速器和伺服電機組成的諧波傳動關(guān)節(jié)中摩擦、間隙及非線性等特性的存在，廖洪波等[11]基于LuGre摩擦模型研究了直流伺服電機的摩擦特性。總之，對諧波驅(qū)動的柔性臂系統(tǒng)的動力學(xué)特性研究，應(yīng)當(dāng)研究諧波驅(qū)動關(guān)節(jié)驅(qū)動特性基礎(chǔ)之上的柔性機械臂的運動及振動特性[12]。特別是考慮到諧波減速器傳動間隙、電機的機電耦合特性以及摩擦力的存在，如何建立諧波驅(qū)動的柔性臂系統(tǒng)的耦合動力學(xué)模型，并對其關(guān)鍵參數(shù)進行實驗辨識，是掌握系統(tǒng)耦合動力學(xué)特性的關(guān)鍵，也是實現(xiàn)柔性臂末端精確定位的基礎(chǔ)前提。

筆者研究了諧波驅(qū)動的柔性機械臂系統(tǒng)耦合動力學(xué)建模及參數(shù)辨識問題，在考慮摩擦特性的基礎(chǔ)上，通過偽隨機二進制的激勵，建立了虛擬力矩與電機轉(zhuǎn)動角位移之間的傳遞函數(shù)模型，并驗證了其正確性。分析了系統(tǒng)的剛?cè)狁詈咸匦?，從實驗辨識的角度出發(fā)，建立了系統(tǒng)較為準(zhǔn)確的傳遞函數(shù)模型，為諧波驅(qū)動的柔性機械臂系統(tǒng)的建模提供了借鑒。

1 系統(tǒng)描述

本研究所涉及的對象為一端通過剛性結(jié)構(gòu)夾持在諧波驅(qū)動關(guān)節(jié)上方、另一端懸置的柔性機械臂結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。諧波驅(qū)動關(guān)節(jié)由直流伺服電機和諧波減速器組成，其中電機型號為Maxon-EC-60，功率為400 W，額定轉(zhuǎn)速為2 680 r/min。諧波減速器為Harmonic Drive 生產(chǎn)的高精度輕型減速器，減速比為1∶50，型號為CSF-20-50-2UH-LW-SP。諧波驅(qū)動柔性臂系統(tǒng)參數(shù)見表1。

整個裝置的實物圖如圖2所示。其控制及測試流程是PC機在LabVIEW控制平臺下發(fā)出驅(qū)動控制信號，經(jīng)A/D采集板卡輸出端傳輸?shù)剿欧姍C控制器，伺服電機在驅(qū)動信號下轉(zhuǎn)動。電機自身帶有的增量式光電編碼器和霍爾傳感器用于實時測量電機在運動過程中的速度、位置以及電流數(shù)據(jù)。系統(tǒng)的剛?cè)狁詈献饔檬沟脢A持在諧波關(guān)節(jié)上方的柔性臂會產(chǎn)生振動，黏貼在柔性臂根部的應(yīng)變片傳感器組成的全橋電路用于檢測柔性臂的振動信息，并由動態(tài)應(yīng)變儀將所測的應(yīng)變量轉(zhuǎn)換為電壓量傳輸?shù)紸/D采集板輸入端，所有測量數(shù)據(jù)均輸回到LabVIEW平臺。

表1 柔性機械臂系統(tǒng)參數(shù)值

圖1 柔性機械臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 諧波驅(qū)動的柔性機械臂實驗裝置圖

2 諧波驅(qū)動模型的建立及辨識

2.1 系統(tǒng)驅(qū)動模型的建立及辨識

根據(jù)牛頓力學(xué)原理，整個諧波驅(qū)動柔性臂系統(tǒng)的力矩平衡方程可以建立如下

(1)

由于摩擦力矩Гf是影響伺服電機驅(qū)動精度的關(guān)鍵因素，所以建立適當(dāng)?shù)哪Σ聊Ｐ褪种匾Ｔ诂F(xiàn)有摩擦模型中，黏性摩擦力加庫倫摩擦力是應(yīng)用最為廣泛的模型，其表達(dá)式[13]為

(2)

Гk的表達(dá)式為

(3)

其中：Гc為未知的庫倫摩擦力矩常數(shù)。

由式(3)可知，當(dāng)電機在同一方向做勻速運動時，電機的庫倫摩擦力矩為定值。

電機的摩擦力矩項主要取決于伺服電機的轉(zhuǎn)動角速度以及庫侖摩擦力。當(dāng)電機轉(zhuǎn)速較低時，電機的輸出力矩主要用于克服庫侖摩擦力。所以在實驗中為了辨識得到庫侖摩擦力矩Гc，驅(qū)動電機以1 rad/s的速度正反向勻速轉(zhuǎn)動10 s，通過多次實驗并讀取電機運行過程中電流值的方式獲得了庫倫摩擦力矩。實驗結(jié)果如表2所示，由表中數(shù)據(jù)可知，多次實驗獲得的電流值大小基本吻合。伺服電機用于克服庫倫摩擦力矩，對應(yīng)的電流值為425 mA。

表2 低速轉(zhuǎn)動時的電流值

為了驗證得到的庫倫摩擦力矩的正確性，采用了逐級增加階躍電流的方式驅(qū)動電機，由圖3和圖4結(jié)果可以看出：當(dāng)正向或反向的階躍電流值不超過420mA時，電機不會產(chǎn)生角位移輸出; 而當(dāng)激勵電流值達(dá)到430 mA時，電機在正向和反向都有明顯的角位移輸出。此結(jié)果與低速轉(zhuǎn)動實驗獲得的425 mA電流值具有較高的一致性。根據(jù)maxon公司提供的電機轉(zhuǎn)矩系數(shù)km見表1，可以得到電機的庫倫摩擦力矩常數(shù)Гk的值為0.062 3 N·m。

圖3 正向階躍電流下的電機轉(zhuǎn)角曲線

圖4 反向階躍電流下的電機轉(zhuǎn)角曲線

為了進一步辨識得到電機系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量J和黏性摩擦因數(shù)B，現(xiàn)對未攜帶柔性機械臂的系統(tǒng)進行研究。由于不存在柔性構(gòu)件與諧波驅(qū)動關(guān)節(jié)之間耦合作用(Гcoup=0)，所以對電機驅(qū)動模型式(1)進行拉氏變換并整理得到其頻域表達(dá)式為

Γmotor(s)-ΓK(s)=Js2θ(s)+Bsθ(s)

(4)

建立諧波驅(qū)動關(guān)節(jié)的傳遞函數(shù)框圖如圖5所示。由于在電機轉(zhuǎn)動過程中，庫倫摩擦力始終與電機轉(zhuǎn)速方向相反，為非線性項，為了簡化模型，便于進行關(guān)節(jié)驅(qū)動模型辨識，現(xiàn)定義虛擬力矩ГE

ΓE=Γmotor-ΓK

(5)

聯(lián)立式(4)和式(5)，可得到從虛擬力矩ГE到電機轉(zhuǎn)角位移θ之間的2階傳遞函數(shù)模型

(6)

圖5 諧波驅(qū)動關(guān)節(jié)的傳遞函數(shù)框圖

系統(tǒng)參數(shù)的辨識精度嚴(yán)重依賴輸入信號的正確選擇。白噪聲信號作為一種理想信號，擁有均勻的功率譜，且在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便等優(yōu)點，所以在系統(tǒng)辨識和分析中占據(jù)很重要的地位。二進制偽隨機 M 序列具有近似白噪聲的性質(zhì)[8]，且在工程上也易于實現(xiàn)，可以保證良好的辨識精度，此處選定偽隨機M序列信號作為辨識的輸入信號V(t)，如圖6所示。

圖6 二進制偽隨機M序列信號

實驗中設(shè)置伺服控制器的工作模式為電流(轉(zhuǎn)矩)模式，設(shè)置伏安轉(zhuǎn)換系數(shù)為500 mA/V，電壓輸出時間為10 s，采樣頻率為200 Hz。選擇一個幅值為1 V的二進制偽隨機M序列作為諧波驅(qū)動關(guān)節(jié)的激勵電壓信號，得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角位移值θ如圖7所示。

圖7 電機角位移輸出曲線

由于庫倫摩擦力矩Гk具有非線性，其方向隨著轉(zhuǎn)動角速度θ的變化而變化。為了進行系統(tǒng)傳遞函數(shù)辨識，需要將系統(tǒng)模型線性化處理，故將電機的輸出力矩在正反兩個方向同時減掉庫倫摩擦力矩，得到的虛擬力矩ГE見圖8。

圖8 虛擬力矩值ГE

基于虛擬力矩值ГE輸入和電機轉(zhuǎn)動角位移θ輸出所建立的傳遞函數(shù)模型G(s)，并將輸入輸出信號的單位統(tǒng)一為標(biāo)準(zhǔn)單位之后，借助Matlab辨識工具箱進行辨識，得到其傳遞函數(shù)為

(7)

對應(yīng)式(6)，忽略分母中較小的常數(shù)項，計算得到轉(zhuǎn)動慣量J為0.003 23 kg·m2, 黏滯摩擦因數(shù)B為0.007 87 (N·m)/(rad·s-1)。

圖9給出了得到的傳遞函數(shù)模型G(s)輸出與實際系統(tǒng)的輸出對比情況，從圖中可以看出，二者吻合較好。

圖9 辨識模型與實際輸出比較圖

2.2 系統(tǒng)驅(qū)動模型驗證

為了驗證辨識得到的傳遞函數(shù)模型G(s)與實際系統(tǒng)的吻合程度，圖10給出了辨識模型與實際系統(tǒng)在另一組驅(qū)動信號激勵下的轉(zhuǎn)動角位移輸出的比對結(jié)果。

圖10 電機角位移曲線

在模型驗證實驗中，用圖11所示的三次多項式電壓信號作為電機的控制電壓信號。

圖11 控制電壓信號

實驗結(jié)果表明，辨識得到的系統(tǒng)驅(qū)動模型G(s)預(yù)測的電機轉(zhuǎn)角位移與實際的電機轉(zhuǎn)角位移仍具有較高的吻合度，充分說明了辨識得到的虛擬力矩與角位移之間傳遞函數(shù)模型是有效的。

3 柔性臂振動模型辨識

3.1 諧波驅(qū)動柔性機械臂系統(tǒng)動力學(xué)建模

在電機轉(zhuǎn)動的激勵下，因為柔性臂的縱向振動相對于其橫向振動可以忽略不計，所以在建模過程中，只考慮柔性臂的橫向振動[14]。建立系統(tǒng)坐標(biāo)系如圖12所示。

圖12 柔性臂運動坐標(biāo)示意圖

圖中坐標(biāo)系x1O1y1為固定慣性坐標(biāo)系，坐標(biāo)系xOy為固連在柔性臂根部的浮動坐標(biāo)系。θ(t)為柔性臂根部的轉(zhuǎn)角，θ1(t)為柔性臂末端的轉(zhuǎn)角，w(x,t)為距離柔性臂根部x處點的彈性位移。在集中質(zhì)量法的前提下，采用單個集中質(zhì)量進行柔性臂的動力學(xué)模型建模，則柔性機械臂的振動模型可以表示為

(8)

柔性臂的耦合振動力矩Гcoup表達(dá)式為

(9)

聯(lián)立式(1)、式(8)和式(10)可得包括考慮諧波的摩擦、柔性關(guān)節(jié)和柔性臂因素的理論動力學(xué)模型為

(10)

3.2 柔性臂耦合振動模型的建立及辨識

在得到了較為精確的驅(qū)動模型G(s)之后，為了獲取較為完整的諧波驅(qū)動柔性臂系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，需要對系統(tǒng)的剛?cè)狁詈咸匦赃M行分析。這里將進一步通過實驗辨識法建立以電機角位移θ(t)為輸入、柔性臂振動位移w(x,t)為輸出的傳遞函數(shù)模型。

由于柔性機械臂的橫向振動位移w(x,t)相對于長度lh較小，所以和末端具有如下關(guān)系

(11)

聯(lián)立式(9)和式(11)，得到振動耦合力矩Гcoup為

(12)

柔性臂的應(yīng)變信號εa通過應(yīng)變?nèi)珮螂娐泛蛣討B(tài)應(yīng)變儀的調(diào)理后，將應(yīng)變量轉(zhuǎn)化為電壓量，輸出電壓信號為Vt

(13)

其中：S1為應(yīng)變片傳感器的靈敏度系數(shù)；U0為全橋電路的供電電壓；w″(0,t)為柔性臂根部振動位移關(guān)于位置變量x的2階偏導(dǎo)數(shù)。

在小彈性變形的假設(shè)前提下，柔性臂的根部應(yīng)變與末端應(yīng)變具有線性變換關(guān)系，結(jié)合式(13)可得

(14)

其中：為柔性臂根部與末端應(yīng)變之間的線性變換系數(shù)。

聯(lián)立式(14)和式(15)，得到應(yīng)變?nèi)珮螂娐返妮敵鲭妷篤t與耦合振動力矩Гcoup具有如下線性關(guān)系

(15)

振動耦合力矩Гcoup和轉(zhuǎn)動角位移θ之間的傳遞函數(shù)模型H(s)[10]為

(16)

其中：ξi為第i階振動模態(tài)阻尼；ωi為第i階振動模態(tài)的角頻率。

由于振動耦合力矩Гcoup(t)和應(yīng)變輸出電壓Vt(t)是線性關(guān)系， 結(jié)合式(15)和式(16)，得到電機轉(zhuǎn)動角位移θ(t)和Vt(t)之間的傳遞函數(shù)H(s)

(17)

圖13給出了動態(tài)應(yīng)變儀和全橋電路檢測到柔性臂的應(yīng)變輸出電壓Vt(t)。根據(jù)式(17)，以圖7所示電機角位移θ(t)為輸入，圖13應(yīng)變電壓輸出Vt(t)作為輸出，通過Matlab系統(tǒng)辨識工具箱對輸入輸出實驗數(shù)據(jù)進行傳遞函數(shù)模型辨識。

圖13 應(yīng)變電壓輸出

圖14 辨識模型H(s)與實際結(jié)果時域和頻域比較圖

圖14給出了辨識模型H(s)的預(yù)測輸出與實際結(jié)構(gòu)輸出的時頻域?qū)Ρ冉Y(jié)果。從結(jié)果可以看出，此模型與系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)基本吻合，雖然辨識出的頻域曲線在0～10rad/s的低頻域區(qū)間與系統(tǒng)響應(yīng)存在著一定程度的失真，但是在1階固有頻率處較好地契合了柔性臂的實際頻率響應(yīng)。該時頻域擬合曲線的整體趨勢均能夠反映辨識模型的準(zhǔn)確性。在柔性臂1階振動模態(tài)占主導(dǎo)的情況下，此處僅截取柔性臂的1階振動模型進行傳遞函數(shù)辨識，辨識得到柔性臂的1階固有頻率為3.8 Hz(23.85 rad/s)。其傳遞函數(shù)H(s)為

(18)

與式(17)相對應(yīng)，計算得到柔性臂的振動頻率ωi為23.13 rad/s(3.8 Hz)，振動模態(tài)阻尼ξi為0.006 25。

3.3 柔性臂耦合振動模型驗證

為了進一步驗證辨識得到傳遞函數(shù)模型對于實際系統(tǒng)的匹配程度，實驗中通過一個梯形電壓控制下的角位移θ(t)作為輸入，應(yīng)變片輸出電壓Vt(t)作為輸出進行模型驗證。

圖15 辨識模型H(s)與實際結(jié)果驗證比較圖

圖15給出了辨識模型與實際結(jié)果在時域和頻域的輸出對比結(jié)果，由于存在著一定的測量誤差和噪聲誤差，模型和實驗結(jié)果并非完全一致，但是整體趨勢基本上能夠反映系統(tǒng)的振動特性。從頻域信號來看，雖然辨識模型H(s)與實際結(jié)構(gòu)低頻域區(qū)間內(nèi)的響應(yīng)特性具有一定的差異，存在著一定程度的失真，導(dǎo)致辨識模型H(s)的辨識精度下降，但是H(s)在固有頻率附近處與實際結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)基本重合，較高精度地刻畫了柔性臂在伺服關(guān)節(jié)驅(qū)動下的1階振動特性，這充分證明了此得到的傳遞函數(shù)模型H(s)對于實際系統(tǒng)的有效性。

表3給出了辨識得到的兩個傳遞函數(shù)模型H(s)和G(s)與實際系統(tǒng)的吻合率，更加直觀地說明了辨識結(jié)果的正確性。

表3 模型吻合度指標(biāo)計算表

4 結(jié)束語

以諧波驅(qū)動柔性臂系統(tǒng)的耦合動力學(xué)建模及辨識為研究背景，分析了諧波關(guān)節(jié)的驅(qū)動及摩擦特性，并通過實驗辨識法得到了其關(guān)鍵參數(shù)。分析了系統(tǒng)的剛?cè)狁詈咸匦裕ㄟ^實驗辨識方法建立了伺服電機轉(zhuǎn)動角位移和柔性臂耦合振動力矩之間的傳遞函數(shù)模型。實驗結(jié)果表明，辨識得到的模型輸出與實際結(jié)構(gòu)具有較高的一致性，說明了此辨識方法的可行性。本研究從實驗辨識的角度出發(fā)，建立了系統(tǒng)較為準(zhǔn)確的傳遞函數(shù)模型，為諧波驅(qū)動的柔性機械臂系統(tǒng)的建模提供了借鑒。