波利亞在三角積分零點(diǎn)實(shí)性上的工作研究

2019-12-26 09:51:40王全來(lái)

純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2019年4期

王全來(lái)

(天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,天津 300387)

1 引言

波利亞在三角積分零點(diǎn)實(shí)性上的工作散見(jiàn)于一些數(shù)學(xué)理論著作中,如萊文 (J.Levin)的“整函數(shù)零點(diǎn)分布”[1](1964).目前見(jiàn)到的涉及波利亞此方面工作的重要文獻(xiàn),國(guó)外有兩篇,國(guó)內(nèi)尚未見(jiàn)到.一篇是迪米夫 (K.Dimitrov),魯塞夫 (P.Rusev)的“整傅立葉變換的零點(diǎn)”[2](2011).但由于該文不是針對(duì)波利亞的工作進(jìn)行研究,因而對(duì)波利亞的文章未能全部且系統(tǒng)解讀,只涉及了波利亞的6篇文章,對(duì)他的思想演變過(guò)程和影響也未能深入探討.由于作者的著作目的和時(shí)間所限,只引用了4篇2000年之后的文獻(xiàn),且相關(guān)文獻(xiàn)引述不夠全面,如沃克 (P.L.Walker)的“某些三角積分的零點(diǎn)”[3](1988)就未在此列.另一篇是約拉托(G.Iurato)的“黎曼Zeta函數(shù)理論的一些歷史概況”[4](2013),該文只涉及了波利亞的4篇文章.他更未能對(duì)波利亞的工作進(jìn)行系統(tǒng)研究.本文在前人工作的基礎(chǔ)上,對(duì)波利亞的工作進(jìn)行深入探討,補(bǔ)充了一些重要文獻(xiàn),較為系統(tǒng)地研究波利亞的工作和蘊(yùn)含的重要思想,藉此梳理與波利亞工作有關(guān)的三角積分零點(diǎn)實(shí)性理論的發(fā)展脈絡(luò).

2 波利亞工作的研究背景

三角積分零點(diǎn)實(shí)性問(wèn)題是古老方程理論問(wèn)題的一個(gè)現(xiàn)代變形,其產(chǎn)生于對(duì)黎曼猜想的研究.1859年,黎曼發(fā)表“在給定大小之下的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的論文.該文內(nèi)容深刻,文筆簡(jiǎn)練,忽略了許多證明.在20世紀(jì)初這導(dǎo)致蘭道,哈代的批評(píng).他們?cè)u(píng)論道,黎曼只會(huì)做猜想,對(duì)于證明幾乎不問(wèn)津.這種論點(diǎn)在1932年由賽格爾(C.L.Siegel)改變.賽格爾在哥廷根大學(xué)花了兩年的時(shí)間研究黎曼遺留的數(shù)學(xué)筆記,發(fā)表了相關(guān)論文,澄清了有關(guān)事實(shí)[5].

黎曼將素?cái)?shù)分布問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)問(wèn)題,現(xiàn)稱為黎曼ζ(s)函數(shù).ζ(s)作為實(shí)變量函數(shù)由歐拉引入,而作為復(fù)變量函數(shù)由黎曼引入.黎曼簡(jiǎn)要地?cái)嘌粤嗽摵瘮?shù)的一些重要性質(zhì),其中有一斷言至今未決,現(xiàn)稱為黎曼猜想.黎曼猜想是指ζ(s)的所有非實(shí)根位于臨界線上.黎曼給出

從整函數(shù)理論出發(fā)考慮關(guān)于(s?1)ζ(s)或類(lèi)似函數(shù)的研究由阿達(dá)瑪在皮卡的指導(dǎo)下于1892年完成的博士論文中創(chuàng)立.阿達(dá)瑪?shù)哪康氖前颜瘮?shù)理論應(yīng)用于ζ(s)的研究,并為此完成三篇論文.胡爾維茲研究了阿達(dá)瑪?shù)倪@些論文,深受影響,并把有關(guān)研究結(jié)果第一個(gè)告知波利亞.波利亞和胡爾維茲關(guān)系很好,在1918年論文中稱他是可尊敬的學(xué)者.他整理其數(shù)學(xué)遺稿,并在1933年出版了全集.波利亞受他在ζ(s)上工作影響很大,并繼承他的有關(guān)思想.

延森(J.Jensen)在1911年的第二屆數(shù)學(xué)家大會(huì)上許諾將發(fā)表關(guān)于將代數(shù)函數(shù)理論方法用于黎曼函數(shù)的論文.這一點(diǎn)可從其論“方程理論研究”[6](1913)的簡(jiǎn)短前言中得到證實(shí).延森計(jì)劃發(fā)表5篇包含他在復(fù)分析和代數(shù)方面的研究結(jié)果.延森在第188至189頁(yè)上給出了計(jì)劃論文第五篇題為“階是1的函數(shù)類(lèi),特別是黎曼函數(shù)”的摘要,處理

在C的每個(gè)邊界子集上有

延森指出,這類(lèi)函數(shù)的重要性歸于黎曼ξ函數(shù)有一個(gè)上述形式的表示.他得到如下結(jié)果,F(z)只有實(shí)根,當(dāng)且僅當(dāng)

只有實(shí)根,p=1,2,3,···.很遺憾,未發(fā)表.

除受胡爾維茲、延森的思想影響外,波利亞也受到外爾和蘭道的影響.外爾在1911-1914年間發(fā)表了一系列關(guān)于在某緊致域中拉普拉斯特征值的漸近分布的文章,激勵(lì)波利亞提出用物理方法解決黎曼猜想的思想.阿文達(dá)尼奧(A.C.Avenda?o)在2014年的論文中指出,波利亞在哥廷根向蘭道學(xué)習(xí)解析函數(shù)論期間,在1914年的一天,蘭道問(wèn)波利亞“你知道黎曼猜想是對(duì)的物理原因嗎?”波利亞的回答是,“若(z)的非實(shí)根和物理問(wèn)題有關(guān),黎曼猜想等價(jià)于物理問(wèn)題的特征值為實(shí)的”[7].這個(gè)想法稱為希爾伯特-波利亞猜想,盡管他們并未發(fā)表任何與該想法相關(guān)的成果.但在當(dāng)時(shí)沒(méi)有證據(jù)能夠支持這種思想.塞爾伯格(A.Selberg)在“調(diào)和分析”(1956)中對(duì)此有所論及,但支持希爾伯特-波利亞猜想的第一個(gè)例子出現(xiàn)在蒙哥馬利(H.L.Montgomery)的工作中.1971年秋,他在假設(shè)黎曼猜想正確的情況下,證明關(guān)于黎曼函數(shù)零點(diǎn)間距的統(tǒng)計(jì)性定理[8].希爾伯特和波利亞猜想已在量子域理論中有重要應(yīng)用.

麥凱(R.S.Mackay)在2017年指出,黎曼猜想的策略是證明ξ的零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于某個(gè)哈密頓算子的特征值,其原因?yàn)槿我夤茴D算子的頻譜是實(shí)的.這個(gè)策略歸功于希爾伯特和波利亞[9].很奇怪,波利亞在他1926年的論文中沒(méi)有提到譜策略,也沒(méi)有使用譜策略證明相關(guān)問(wèn)題.麥凱在該文中的目的是尋找一個(gè)哈密頓算子,其特征函數(shù)是(z),但此目標(biāo)沒(méi)有實(shí)現(xiàn).他通過(guò)不同的方法得到波利亞使用的函數(shù)2?(iw/2;π).

波利亞在“某類(lèi)整函數(shù)的零點(diǎn)”(1918)和“具有實(shí)根的三角積分”(1927)中強(qiáng)調(diào),他在三角積分零點(diǎn)實(shí)性的工作來(lái)自于黎曼函數(shù)可以用三角積分表示,進(jìn)而可通過(guò)三角積分的研究探討黎曼猜想.基雅科瓦(V.Kiryakova)“關(guān)于魯塞夫的一些貢獻(xiàn)”(2012)中指出,波利亞開(kāi)創(chuàng)了由傅里葉變換定義的整函數(shù)零點(diǎn)分布問(wèn)題研究的主題,并成為系統(tǒng)研究三角積分零點(diǎn)實(shí)性的最大貢獻(xiàn)者.

3 波利亞的重要工作

波利亞在三角積分定義的整函數(shù)的零點(diǎn)實(shí)性方面的論文有 “某類(lèi)整函數(shù)的零點(diǎn)”(1918),“某類(lèi)超越整函數(shù)零點(diǎn)分布的幾何學(xué)”(1920),“由傅里葉積分表示的整函數(shù)的零點(diǎn)”(1923),“某類(lèi)三角積分的零點(diǎn)”(1926),“黎曼zeta函數(shù)積分表示的注釋”(1926),“歐拉的超越方程的注記”(1926),“具有實(shí)根的三角積分”(1927),“延森的代數(shù)函數(shù)理論研究”(1927)等8篇文章.本文對(duì)這8篇文章進(jìn)行深入解讀,較為系統(tǒng)地揭示波利亞的重要思想和方法.

的零點(diǎn)分布,其中f(t)在[0,1]內(nèi)是非負(fù)非遞減函數(shù).在該文前言中,波利亞給出了只有實(shí)根的的例子,其中J0(z),J1(z)為貝塞爾函數(shù).波利亞在這些事實(shí)的激發(fā)下研究f(t)的性質(zhì),使U(z),V(z)只有實(shí)根.

為了形式化和證明相關(guān)定理,他在該文中引入實(shí)函數(shù)f(t)的類(lèi)P[0,1),t∈[0,1].若f([0,1))是一個(gè)有限集,對(duì)這個(gè)集合的子集C,f?1(C)為[0,1)內(nèi)以有理數(shù)為端點(diǎn)的子集,則稱該函數(shù)f(t)∈P[0,1)為例外情況,否則為一般情況.關(guān)于U(z),V(z)的主要結(jié)果是:若f(t)∈P[0,1)為一般情況,則U(z),V(z)只有單重實(shí)根,且規(guī)律分布.若f(t)為例外情況,則U(z),V(z)只有實(shí)根,且有無(wú)窮多個(gè)是相同的,每個(gè)這樣的根對(duì)V(z)是二重的,U(z)是單重的.若f(t)是遞增的凸函數(shù),則V(z)只有實(shí)根;若f(t)是遞增的凸函數(shù),右導(dǎo)數(shù)不屬于例外情況,則U(z)在((2k?1)π/2,kπ),k∈N只有一個(gè)根,沒(méi)有虛根.若f(t)是遞減的凸函數(shù),f′(t)為右導(dǎo)數(shù),?f′(t)屬于一般情況,則U(z)只有實(shí)根.f(t)是遞增的凸函數(shù),f(α)=0,α∈(0,1),若則U(z)只有實(shí)根.若則U(z)只有兩個(gè)非實(shí)根.只有實(shí)根且有無(wú)窮多個(gè)相同根,比U(z),V(z)更大的函數(shù)類(lèi)在魯塞夫的1974年的文章中給出[10].卡薩多瓦(I.M.Kasandrova)在“只有實(shí)根的一類(lèi)整函數(shù)的一些結(jié)果”(1977)中給出了保證這些相同根的充分條件為U(z),V(z)只有實(shí)根,且每個(gè)函數(shù)的兩個(gè)相鄰根的距離不大于π.一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題在卡薩多瓦的“一類(lèi)整函數(shù)零點(diǎn)的分布”(1984)中再次討論[11].賽勒斯基(A.M.Sedletski)在2000年考慮了一般情況,刪掉了他證明,若f(t)是正的非遞減凸的非常值函數(shù),則V(z)只有單重實(shí)根,0≤t≤1[12].基(H.Ki),金姆(Y.Kim)在“實(shí)整函數(shù)非實(shí)根數(shù)和傅里葉-波利亞猜想”(2000)中在假設(shè)f(t)∈P[0,1)的一般情況下,探討U(z),V(z)的非實(shí)根情況.

則F只有實(shí)根,且在區(qū)間 ((2n?1)π/2σ,(2n+1)π/2σ)內(nèi)只有一個(gè)根[13].

設(shè)f(t)在[a,b]內(nèi)為連續(xù)正的實(shí)整函數(shù),除有限個(gè)點(diǎn)外可導(dǎo),

不恒為常數(shù),波利亞證明

的所有零點(diǎn)都位于α1內(nèi).波利亞考慮函數(shù)f(t),t∈(0,α),

的零點(diǎn)總是位于?1

值得一提的是,格洛莫(J.Grommer)在希爾伯特指導(dǎo)下完成博士論文“具有實(shí)根的超越整函數(shù)”(1914).波利亞在該博士論文中發(fā)現(xiàn)了胡爾維茲關(guān)于只具有實(shí)根的整函數(shù)未出版的定理之一的一種改進(jìn),這在關(guān)于胡爾維茲的遺文評(píng)論中有詳細(xì)介紹.胡爾維茲和波利亞一直在討論這個(gè)問(wèn)題,在胡爾維茲的日記中有“波利亞定理”的記載.在該日記中,記有關(guān)于拉蓋爾(E.Laguerre)定理的注記及貝赫爾(C.Biehler)關(guān)于整函數(shù)實(shí)根的定理應(yīng)用與評(píng)論.在1914年2月26日,波利亞發(fā)表了與之有關(guān)的一篇文章“整函數(shù)的一個(gè)問(wèn)題”.貝赫爾在“全部實(shí)根的代數(shù)方程類(lèi)”(1880)中涉及該問(wèn)題.胡爾維茲在該日記中提到“貝赫爾定理漂亮的應(yīng)用昨晚進(jìn)入我的腦?！?

在該文第六部分“零點(diǎn)的區(qū)分”中,波利亞探討

的零點(diǎn)分布問(wèn)題,其中α≥?1.他得到,當(dāng)α>1時(shí),該函數(shù)無(wú)實(shí)根.當(dāng)α=1時(shí),該函數(shù)只有二重實(shí)根.當(dāng)?1≤α<1時(shí),該函數(shù)只有單重實(shí)根.該例后來(lái)在 “歐拉的超越方程的注記”(1926)中重新探討.波利亞在該注記的注腳處指出,在前段時(shí)間討論過(guò)Fα(z)的實(shí)根問(wèn)題.現(xiàn)在所用方法有些不同.該例其實(shí)歐拉早先處理過(guò) 1?z2/α(α+1)+z4/α(α+1)(α+2)(α+3)?z6/α(α+1)(α+2)···(α+5)+···=0,其中α>0.波利亞指出,“他不知道歐拉的日記,該函數(shù)是在 1791年發(fā)表的一篇?dú)W拉筆記的文章中提到,鮮為人知,但非常有意義,它是關(guān)于z的整函數(shù)的第一個(gè)例子,由Fα(z)表示.歐拉注意到α=1,2,3,4時(shí)的根的情況后,令人欽佩的斷言道,當(dāng) 0<α≤3時(shí),Fα(z)只有實(shí)根;當(dāng)α>3時(shí),Fα(z)無(wú)實(shí)根.歐拉近似計(jì)算了α=1/2,1/3,1/4時(shí)的根.歐拉沒(méi)有證明該斷言.這是一個(gè)非常幸運(yùn)的斷言,該斷言可以在不訴諸復(fù)雜運(yùn)算和推理過(guò)程下完成”.波利亞用關(guān)于多項(xiàng)式的有關(guān)理論推導(dǎo)了該斷言.在“只有實(shí)根的三角積分”(1927)中給出更一般結(jié)果.

在這篇文章里,另一有興趣的注釋是波利亞用維格特定理代替最小模定理確定了對(duì)于有限階的整函數(shù)的阿達(dá)瑪乘積表示.波利亞在“有限階的超越整函數(shù)乘積的新證明”(1921)中以完全不同的方法證明了該定理.

在該文第七部分“收斂指數(shù)的確定”中,波利亞只假設(shè)f是可積時(shí),處理了

的具有收斂指數(shù)1的零點(diǎn)列問(wèn)題.當(dāng)F(z)為指數(shù)可和時(shí),類(lèi)似情況在波利亞的“某類(lèi)超越整函數(shù)零點(diǎn)分布的幾何學(xué)”(1920)中討論.這篇論文的目的是對(duì)指數(shù)多項(xiàng)式零點(diǎn)分布從幾何角度研究,給出一般性定理,但沒(méi)有證明.詳細(xì)和進(jìn)一步的結(jié)果出現(xiàn)在其學(xué)生施溫格勒(E.Schwengeler)的博士論文中[14](1925).蒂奇馬什(E.T.Titchmarsh)在“某類(lèi)整函數(shù)的零點(diǎn)”(1926)中對(duì)此也有進(jìn)一步的闡述.波利亞的這個(gè)工作開(kāi)創(chuàng)了指數(shù)類(lèi)型的整函數(shù)零點(diǎn)分布的現(xiàn)代理論.波利亞除在“第105個(gè)問(wèn)題解的注釋”(1933)及“整函數(shù)和多重傅里葉積分”(1937)中有所涉及外,他沒(méi)有對(duì)這個(gè)主題做太多貢獻(xiàn).中國(guó)學(xué)者李文清在20世紀(jì)50年代末期也對(duì)此問(wèn)題有深入研究.

在該文中,波利亞隱含地給出了給定一個(gè)函數(shù)為特征函數(shù)的充分條件:f是在R上的實(shí)值連續(xù)函數(shù),f(0)=1,f(t)=f(?t),f是凸的,對(duì)于該結(jié)果被波利亞在“函數(shù)方程的高斯誤差定理分析”(1923)中使用.他在1949年加州大學(xué)伯克利分校學(xué)術(shù)會(huì)議上宣讀的論文“特征函數(shù)的注釋”中再次闡述并給出一些有意義的例子.

波利亞在1918年的論文中指出這種通過(guò)研究傅里葉變換零點(diǎn)實(shí)性的方法不能順利得到黎曼猜想的完整證明.蒙哥馬利在1973年提出的“對(duì)相關(guān)猜想”支持了波利亞的這一論斷.

有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根.當(dāng)α=2時(shí),Gα(z)對(duì)于實(shí)變量值恒正.據(jù)此,他猜測(cè)

也如此,但事實(shí)相反.他的想法受到龍格和波利亞關(guān)于積分方程實(shí)可積性問(wèn)題的影響.波利亞在“關(guān)于龍格處理的積分方程”(1914)中曾論及.

波利亞在“由傅里葉積分表示的整函數(shù)的零點(diǎn)”(1923)中開(kāi)頭提到,“我們不具備一般方法討論由傅里葉積分表示的整函數(shù)的零點(diǎn)的實(shí)性(這樣的方法對(duì)黎曼zeta函數(shù)可以應(yīng)用).我在這闡述一種特殊情況,在其中的討論不僅瑣碎,而且可在已知結(jié)果的幫助下進(jìn)行”.波利亞考慮

的零點(diǎn)分布,α取正實(shí)值,證得以下結(jié)果:若α=2,則Gα(z)無(wú)根.若α=4,6,···,則Gα(z)有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根,無(wú)復(fù)根.若α>1不是偶整數(shù),則Gα(z)有無(wú)窮多個(gè)復(fù)根,實(shí)根數(shù)不超過(guò) 2[α/2].這個(gè)結(jié)果的一般化由布魯因 (de Bruijn)在 1950年給出[16].卡米牟特(J.Kamimoto)在1998年證明該函數(shù)除了有限個(gè)零點(diǎn)外都是單重的,并猜想α=4,6,···時(shí),該函數(shù)的所有零點(diǎn)都是單重的.卡米牟特,基,金姆在 1999年把該猜想一般化,證明這個(gè)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)都是單重的[17].哈勒姆(M.Hallum)在2014年排除了α<1的情況,對(duì)波利亞的結(jié)果給出了詳細(xì)證明,方法略有不同[18].

柯西在 1853年,萊維在 1923年證明Gα(z)≥0,0<α≤2,x∈R.伯韋爾 (R.Burwell)在 “廣義超幾何函數(shù)的漸近展開(kāi)”(1924)中對(duì)α=3,4,5,···討論了Gα(z)的漸近展開(kāi),證明α=4,6,···時(shí),Gα(z)的復(fù)根數(shù)是有限的.

波利亞的 “某個(gè)三角積分的零點(diǎn)”(1926)專攻黎曼猜想,由下面的評(píng)論開(kāi)始,“函數(shù)F(u)具有何種性質(zhì)才能充分保證積分

則G(z)為黎曼ξ(z)函數(shù)”.“我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些準(zhǔn)則回答提出的問(wèn)題,但在這不能給出,因?yàn)樗麄兿喈?dāng)不系統(tǒng),且有試探性的特征.我舉一些例子,證明G(z)為具有實(shí)根的整函數(shù)”.波利亞給出整函數(shù)G(z)只有實(shí)根的一些具體情況.

(1)F(u)=(1?u2n)α?1,0≤u<1,α>0,F(u)=0,1≤u<∞;

(2)F(u)=exp(?u2n?αu4n)α?1,α>0;

(3)F(u)=exp(?2αcoshu),α>0;

(4)F(u)=8π2exp(?cosh(2u))cosh(9u/2);

(5)F(u)=(8π2cosh(9u/2)?12πcosh(5u/2))exp(?2πcosh(2u)).

這5種情況的傅里葉變換的零點(diǎn)實(shí)性在該文中未證明.波利亞利用哈代的方法得到下面簡(jiǎn)單的準(zhǔn)則:對(duì)于實(shí)值u,設(shè)F(u)是一個(gè)偶的解析實(shí)值函數(shù),且有

若G(z)只有有限多個(gè)實(shí)根,則存在一個(gè)整數(shù)N,使得 |F(n)(it)|是t的增函數(shù),若n>N,0

情況(1)是貝塞爾函數(shù)Jα?1/2(z),其零點(diǎn)都是實(shí)的,在 1918年論文中出現(xiàn),一般形式為“只有實(shí)根的三角積分”(1927)定理II的例子,情況(2)為“只有實(shí)根的三角積分”(1927)中定理 I的例子,情況 (3)在 “黎曼 zeta函數(shù)積分表示的注釋”(1926)中證明,在 “只有實(shí)根的三角積分”(1927)中再次證明.蒂奇馬什在 “黎曼 zeta函數(shù)理論”(1951)中詳細(xì)討論了情況(4)和(5).在討論(4)時(shí),在指數(shù)處漏掉2π.

在“黎曼Zeta函數(shù)表示的注釋”(1926)中,波利亞討論了余弦變換零點(diǎn)的分布問(wèn)題.蘭道在 1913年與他的一次交談中提到當(dāng) Φ(u)由 4π2exp(9u/2?πexp(2u))代替時(shí),是否只有實(shí)根.這導(dǎo)致波利亞定義

證明它只有純虛根.通過(guò)ξ?(z)=2π2?(iz/2?9/4;π)+?(iz/2+9/4;π),證明ξ?(z) 只有實(shí)根.比恩(P.Biane)在2009年主要考慮?(iz/2;π)為ξ的另一種近似.他定義函數(shù)

麥克唐納函數(shù)零點(diǎn)的譜解釋在當(dāng)時(shí)已眾所周知,但波利亞沒(méi)有提到.波利亞利用 (2μ/x)Kμ(x)=Kμ+1(x)?Kμ?1(x)以非常聰明的方法證明?(z;x)的零點(diǎn)為純虛根，而比恩利用Kiμ(x)的積分表示及固定相位法得到同樣的結(jié)果.卡茨(M.Kac)在評(píng)論波利亞的這篇文章時(shí)指出ξ?(z)的結(jié)果可以通過(guò)伊辛模型中的李-楊定理推導(dǎo)得到.卡茨評(píng)論到:“盡管這篇美麗的文章把人帶到了與黎曼猜想極短的距離,但它似乎不能激發(fā)出更多進(jìn)一步工作,且在后來(lái)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中參考它的是相當(dāng)缺少的”.比恩在該文中指出“由波利亞考慮的函數(shù)以一種非常巧妙的方式與黎曼ξ函數(shù)有關(guān),而不是一眼見(jiàn)到它立即就能體現(xiàn)出來(lái)的,進(jìn)一步講,這種關(guān)系的本質(zhì)是概率的,應(yīng)以這種觀點(diǎn)看待波利亞的論文”.

布魯因深受波利亞的影響,在1950年的論文中使用一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)積分表示

只有實(shí)根.他也給出第二個(gè)近似

證明該變換只有實(shí)根.Ξ(2z)的積分形式后來(lái)在索達(dá)斯 (G.Csordas),諾米柯 (S.Norfolk),瓦爾加(S.Varga)的“對(duì)于布魯因-紐曼常數(shù)Λ的下界”(1988)中使用.海哈爾(D.Hejhal)在1990年證明,當(dāng)

加斯珀(G.Gasper)在1994年“利用平方和證明某類(lèi)整函數(shù)只有實(shí)根”論文的基礎(chǔ)上,在2008年給出利用某個(gè)實(shí)值特殊函數(shù)的平方的積分給出ξ?(z),Kiz(a),Fa,c(z)等函數(shù)零點(diǎn)實(shí)性的新證明,并用于證明海哈爾的有關(guān)結(jié)果[22].波利亞在“只有實(shí)根的三角積分”中指出G(z)=K1/2iz(a),并證得

只有實(shí)根.史把ξ?表示為 4π2(K(iw/2)+9/4(2π)+K(iw/2)?9/4(2π)).孔泰 (A.Comtet)在1993年進(jìn)行研究,麥凱在1997年曾暗示貝里(M.Berry).以此為據(jù),貝里和基廷(P.Keating)在 “黎曼零點(diǎn)和特征值近似”(1999)中用譜方法證明黎曼猜想,得到較好結(jié)果[23].

在該文中還包括下面的命題：a>0,G(z)為0類(lèi)或1類(lèi)整函數(shù),對(duì)于實(shí)值z(mì)取實(shí)值,沒(méi)有虛根,且至少有一個(gè)實(shí)根,則G(z?ia)+G(z+ia)只有實(shí)根.波利亞用該命題研究函數(shù)ξ?(z),證明ξ?(z)和ξ(z)在臨界線上有相同的零點(diǎn)數(shù).他在文末注腳處指出對(duì)于最佳估計(jì) (2π2cosh(9u/2)?3πcosh(5u/2))exp(?2πcosh 2u)可有同樣的結(jié)果.布魯因已把該定理以不同的方式一般化,不同于后來(lái)的卡登(A.Cardon).卡登在2000年推廣為 ∑G(±ia1±ia2±···±ian)exp(±ib1±ib2±···±ibn),其中ai>0,bi為實(shí)數(shù).

(1)F(?t)=F?(t),?表示共軛運(yùn)算;

(2)F(t)是局部可積的;

(3)存在正常數(shù)A和α,當(dāng) |t|充分大時(shí),|F(t)|≤Aexp(?|t|2+α).波利亞討論了F(t)在何條件下只具實(shí)根.為了形式化和證明他的結(jié)果,他引入了保證根的實(shí)性的廣義因子概念.φ(t)為廣義因子,若對(duì)任意具有實(shí)根的整函數(shù)

也只有實(shí)根.他證明實(shí)解析函數(shù)φ(t)是一個(gè)廣義因子,當(dāng)且僅當(dāng)在C內(nèi)φ(iz)為第二類(lèi)整函數(shù).他推導(dǎo)出一個(gè)傅里葉變換的零點(diǎn)和廣義因子定理,利用“波利亞-舒爾函數(shù)”把先前有關(guān)論文的結(jié)論一般化.

設(shè)實(shí)函數(shù)f(t)是絕對(duì)局部可積的,且存在正常數(shù)B,β,使得

假設(shè)f(t)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)可解析開(kāi)拓,波利亞證明復(fù)函數(shù)

只有實(shí)根.若P(z)為只有負(fù)根的實(shí)代數(shù)多項(xiàng)式,l,q為正整數(shù),則

也只有實(shí)根.令P(t)=(1+t)k+l?1,波利亞得到

也只有實(shí)根.魯塞夫在“一類(lèi)整函數(shù)零點(diǎn)的分布”(1961)中把

的零點(diǎn)分布推廣到黎曼-斯特靈積分意義下的整函數(shù)的零點(diǎn)分布.設(shè)f(t)和Ψ(t)是實(shí)函數(shù)使得是遞增凸函數(shù),則

只有實(shí)根，其中0≤t≤1.

布里奧因(L.Brillouin)在1916年,伯韋爾在1924年利用漸近展開(kāi)法研究

的零點(diǎn)分布,更為準(zhǔn)確的結(jié)果由塞努夫(D.Senouf)在1996年得到[24].波利亞在1927年研究了

則φ1(z)無(wú)根.對(duì)于n≥2,φn(z)有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根.巴霍姆(N.G.Bakhoom)在1935年有論及[25].這些結(jié)果的一般化由布魯因在1950年得到,卡米牟特,基,金姆在“拉蓋爾-波利亞函數(shù)零點(diǎn)的重?cái)?shù)”(1999),卡登在“只具實(shí)根的傅里葉變換”(2004),基,金姆在“傅里葉積分的零點(diǎn)分布和近似行為”(2007)中有進(jìn)一步的研究.帕里斯(B.Paris)在“關(guān)于一類(lèi)傅里葉積分的近似性和零點(diǎn)”(2012)中通過(guò)使用萊特函數(shù)的近似理論得到它們的漸近展開(kāi),并考慮這些積分的實(shí)根和復(fù)根情況.這一方法不同于前人使用最速降線法.這些結(jié)果后被推廣到類(lèi)似結(jié)構(gòu)的p維傅里葉積分.

胡斯諾夫(H.Huseynov)在2009年證明了一個(gè)定理使得波利亞論文中的函數(shù)F(λ)只有實(shí)根,其中

這些結(jié)果波利亞通過(guò)使用拉蓋爾定理得到,而胡斯諾夫利用自己證明的定理完成[26].

很可能受對(duì)胡爾維茲遺稿研究的激勵(lì),波利亞研究延森的遺文,使他完成一篇關(guān)于黎曼Zeta函數(shù)積分表示的全面考察的論文“延森的代數(shù)函數(shù)理論研究”(1927).文章主要部分是“某個(gè)三角積分零點(diǎn)的實(shí)性”,在其中討論exp(?λz2)H(z)的零點(diǎn)問(wèn)題,其中函數(shù)H(z)的階小于2,λ為非負(fù)實(shí)數(shù).他特別研究

情況,Ψ(t)滿足下面性質(zhì):

(1)Ψ(t)是不恒等于0的非負(fù)實(shí)函數(shù);

(2)Ψ(t)任意階可導(dǎo);

(4)F(z)的階小于2.

黎曼ξ函數(shù)為該函數(shù)特例.波利亞指出當(dāng)t→±∞時(shí),Φ(t)近似于

波利亞在延森遺稿中發(fā)現(xiàn)一些關(guān)于F(z)零點(diǎn)分布的結(jié)果,并形式化.

(1)若 Ψ′(t)≤0,t≥0,則F(z)沒(méi)有實(shí)根;

(2)若F(z)在?k≤Im(z)≤k內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)根(k>0),則

(3)若F(z)只有實(shí)根,且F(z)=b0?b1z2/1!+b2z4/2!+···,則b0,b1,b2,···符號(hào)相同.

波利亞指出F(z)零點(diǎn)實(shí)性的必要條件為該族不等式構(gòu)成了黎曼猜想正確性的必要條件,因?yàn)槿魏我粋€(gè)失敗,則該猜想都不能證明.關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的第一個(gè)進(jìn)步由格勞斯瓦爾德(E.Grosswald)在1966年邁出.索達(dá)斯,諾夫柯,瓦爾加在“黎曼假設(shè)和圖蘭不等式”(1986)中繼續(xù)研究,把直接計(jì)算轉(zhuǎn)化為核Φ(t)的矩不等式,對(duì)充分大的n進(jìn)行證明.索達(dá)斯和瓦爾加在1988年對(duì)更一般核進(jìn)行研究.遺憾的是,該不等式對(duì)黎曼ξ函數(shù)不滿足.

波利亞在該文中研究了F(z)不具有形式 exp(αz)P(z)的情況,其中α為常數(shù),P(z)為代數(shù)多項(xiàng)式.令

則F(z)只有實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)x為實(shí)數(shù),n=1,2,···.波利亞探討

當(dāng)01時(shí),F(z)無(wú)實(shí)根.

伯爾(H.Bohr),蘭道在1914年證明ζ(s)的大部分復(fù)根位于1/2?δ<σ<1/2+δ,δ>0.受他們影響,哈代在1914年證明在ζ(s)的零點(diǎn)中,有無(wú)窮多個(gè)位于直線σ=1/2.蘭道在 1915年曾評(píng)價(jià)道:“對(duì)于數(shù)學(xué)最大的進(jìn)步最近一段時(shí)間屬于哈代關(guān)于黎曼ζ(s)零點(diǎn)的注記”.在胡爾維茲的數(shù)學(xué)遺稿中可以找到哈代證明的梗概.波利亞在該文中利用上述判斷準(zhǔn)則改進(jìn)了哈代的證明.蘭道在“數(shù)論講義”(1927)中也給出一個(gè)簡(jiǎn)單證明.哈代證明較簡(jiǎn)略,查迫靈(R.Chapling)在“哈代定理的哈代證明”(2014)中增補(bǔ)了哈代證明的細(xì)節(jié).桑格爾(U.K.Sangale)在“關(guān)于哈代定理的注記”(2016)中給出哈代關(guān)于黎曼ζ(s)的簡(jiǎn)單證明.

4 波利亞思想的影響

受波利亞 1918年和 1920年相關(guān)工作的影響,蒂奇馬什在 “某類(lèi)整函數(shù)的零點(diǎn)”(1926)中研究

的零點(diǎn)分布,其中f(t)為實(shí)可積函數(shù),或f(t)=f1(t)+if2(t),f1(t),f2(t)在相同區(qū)間內(nèi)是實(shí)可積函數(shù).他把∫化為

的形式進(jìn)行研究,并探討當(dāng)f(t)滿足由波利亞1918年論文中的條件時(shí),F(z)的零點(diǎn)分布情況.

謝卡洛夫(L.Tschakalo ff)受波利亞工作影響,在1927年致力于研究這樣一類(lèi)整函數(shù),記為類(lèi)(A),其零點(diǎn)在上半平面內(nèi)的代數(shù)多項(xiàng)式或這類(lèi)多項(xiàng)式的極限構(gòu)成的函數(shù),主要結(jié)果可看作是埃爾米特-比勒定理的推廣.他證明

有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)根,α∈R,σ≥1/2.設(shè)f(t)是在(-1,1)內(nèi)非負(fù)非遞減的有界實(shí)函數(shù),若α是實(shí)數(shù),則

有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根.若f(t)是波利亞意義下的一般情況,則Hα(z)的全部根是單重的;當(dāng)α?β不是π的倍數(shù)時(shí),則Hα(z)的每?jī)蓚€(gè)相鄰根之間存在唯一Hβ(z)的根.在此基礎(chǔ)上,他證得

只有實(shí)根.

設(shè)f(t)是在[?1,1]內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)函數(shù),若

至少有一個(gè)不等于0,則Hα(z)有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根,有有限多個(gè)非實(shí)根.Hα(z)有有限多個(gè)重根,且相鄰的實(shí)根之差在無(wú)窮處收斂于π[27].謝卡洛夫在1949年討論在p(z)是有任意復(fù)系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式情況下,

的非實(shí)根數(shù)問(wèn)題,特別指出,若p(z)是一個(gè)m次的實(shí)多項(xiàng)式,則至多有m個(gè)非實(shí)根[28].

受波利亞工作影響,奧布雷克夫 (N.Obrechko ff)在1941年得到奧布雷克夫h-定理[29].設(shè)f(t)在 (0,1)內(nèi)是正的非遞減函數(shù),實(shí)多項(xiàng)式h(z)的零點(diǎn)位于半平面 Rz≤1/2內(nèi),則只有實(shí)根.奧布雷克夫通過(guò)代數(shù)多項(xiàng)式零點(diǎn)結(jié)果獲得只有實(shí)根,其中λ>0,R(z)為只有實(shí)根的多項(xiàng)式,φ(t)和ψ(t)在 (0,λ)內(nèi)是非負(fù)函數(shù),φ(t)是非增的,ψ(t)是非減的,φ(0)≤ψ(0),f(t)=φ(t)+ψ(t),0≤t≤λ,f(t)=f(?t),?λ≤t≤0.

在研究具有相應(yīng)積分表示的復(fù)多項(xiàng)式類(lèi)零點(diǎn)分布中代數(shù)傳統(tǒng)出現(xiàn)于博約羅夫 (E.Bojoro ff)的 1949年論文中[30].令實(shí)函數(shù)f(t)和φ(t)滿足條件f(t)>0,φ(t)>0,t∈(0,a),a>0;f(t)是遞增的,φ(t)是遞減的,定義

只有實(shí)根.迪米夫在1960年推廣了博約羅夫的結(jié)果[31].令R(z)為具有實(shí)根的多項(xiàng)式,則

只有實(shí)根.若 |λ|≤1,則

只有實(shí)根.

伊利夫(L.Ilie ff)在“某類(lèi)多項(xiàng)式和整函數(shù)的零點(diǎn)”(1940)中給出一個(gè)波利亞關(guān)于

的零點(diǎn)實(shí)性的初等證明.他證得

等只有實(shí)根,推廣了波利亞的結(jié)果.在“一類(lèi)整函數(shù)零點(diǎn)的分布”(1948)中,伊利夫給出了產(chǎn)生一類(lèi)整函數(shù)類(lèi)的方法,該整函數(shù)定義為只具實(shí)根的有限的余弦變換.這篇文章中的結(jié)果在“只具實(shí)根的整函數(shù)”[32](1949)中發(fā)表.令函數(shù)ψ(t)在(0,1)內(nèi)正可積,

在(0,1)內(nèi)非負(fù)增加可積,

在1955年,伊利夫?qū)φ道锶~變換零點(diǎn)分布進(jìn)一步研究,得到更為一般的結(jié)果[33].令p(z)為實(shí)偶多項(xiàng)式,或?qū)嵟颊瘮?shù)使 (1)p(a)=0,a>0;(2)p′(iz)在類(lèi) LP中.A(a)表示滿足條件(1)和條件(2)的實(shí)偶函數(shù)p(z)的集合,z∈C.若p(z)∈A(a),p(0)>0,λ>?1,則只有實(shí)根.波利亞的只有實(shí)根,是實(shí)偶函數(shù) 1?z2q在 A(1)中的結(jié)果,q為正整數(shù),λ>?1.若p′(iz)只有實(shí)根,正整數(shù)n>p(0),則存在一個(gè)唯一的正實(shí)數(shù)列an,使則只有實(shí)根,n充分大.令f(z)為非常值實(shí)偶函數(shù),使f′(iz)在類(lèi)LP中,若f(t)≥0,t∈(0,∞),則只有實(shí)根,推廣了波利亞的有關(guān)結(jié)果.雷尼(A.Rényi)在1950年推廣了伊利夫的研究結(jié)果.令n和m表示非負(fù)整數(shù),實(shí)函數(shù)f(t)∈Cn(0,1),滿足條件:

(1)f(k)(1)=0,k=1,2,3,···,n?1;

(2)g(t)=t?mf(n)(t)是(0,1)內(nèi)非負(fù)非遞減的可積函數(shù);

(3)若n+m為奇數(shù),f(2k+1)(0)=0,1≤2k+1

只有實(shí)根.若n+m為偶數(shù),f(2k)(0)=0,2≤2k

只有實(shí)根.設(shè)p(x)為非常值實(shí)代數(shù)多項(xiàng)式,0作為p(x)根的重?cái)?shù)為k,1的重?cái)?shù)為q.若k≤q,則存在正數(shù)a0使得只有實(shí)根.若k>q,對(duì)每個(gè)a,上述函數(shù)不只有實(shí)根.托多里諾夫(S.Todorinov)在1957年基于埃爾米特-比勒定理證得[34].

布魯因通過(guò)利用轉(zhuǎn)移因子代替微分因子法,利用余弦變換建立了一個(gè)多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)非實(shí)根分布的延森定理的一個(gè)類(lèi)似定理.當(dāng)由更一般的超越整函數(shù)代替余弦函數(shù)時(shí),是否有類(lèi)似定理.這個(gè)問(wèn)題在格雷文(T.Graven),索達(dá)斯在1994年提出,但未解決.該問(wèn)題其實(shí)在阿蒂亞(M.F.Atiyah),博特(R.Bott),嘉定(L.Garding)“具有常系數(shù)的雙曲微分算子的缺項(xiàng)Ι”(1970)中已見(jiàn)端倪.之后,格雷文,索達(dá)斯,史密斯(W.Smith)在“整函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和波利亞-威曼猜想”(1987)中也有所論及.

在該文中,布魯因提出如下問(wèn)題:設(shè)F(t)為一個(gè)定義在實(shí)軸上的復(fù)值可積函數(shù),F(t)=O(exp(?|t|b))(|t|→∞),對(duì)某常數(shù)b>2,F(?t)=F?(t),ε>0,除有限個(gè)F(t)的傅里葉變換零點(diǎn)外都位于Im(z)≤ε內(nèi).在這些假設(shè)下,對(duì)λ>0,exp(λt2)F(t)的傅里葉變換是否只有有限個(gè)復(fù)根.基,金姆在2003年對(duì)該問(wèn)題給出肯定回答[35].

波利亞第一個(gè)考慮了在 [0,1]上實(shí)黎曼可積函數(shù)的傅里葉變換零點(diǎn)實(shí)性與多項(xiàng)式零點(diǎn)分布之關(guān)系.借此他成功證明U(z),V(z)只有實(shí)根.在 “一類(lèi)整函數(shù)零點(diǎn)分布”(1961)中,魯塞夫研究了多項(xiàng)式零點(diǎn)的漸近性和U(z),V(z)零點(diǎn)分布之關(guān)系,推廣伊利夫定理,其結(jié)果在 K.Do?cev 1962的文章中得到加強(qiáng)[36].Do?cev引入函數(shù)類(lèi)Lα(λ),α,λ>0,即在[0,1]上復(fù)值黎曼可積函數(shù)f(t)具有性質(zhì),對(duì)任意δ>0,當(dāng)n充分大時(shí),多項(xiàng)式∑f(k/n)zk,n=1,2,3,···的全部零點(diǎn)位于圓|z|<1+(λ+δ)n?α內(nèi).若f(t)∈L1(λ),則的零點(diǎn)位于Im(z)≥?λ內(nèi).若f(t)∈L(λ),α>1,則的零點(diǎn)位于 Im(z)≥0內(nèi).卡薩多瓦在“一類(lèi)指數(shù)類(lèi)型的整函數(shù)零點(diǎn)分布”(1975)中指出,若令f(t)在[0,1]上是實(shí)勒貝格可積函數(shù),若

則U(z)的零點(diǎn)位于平行于實(shí)軸的線條上;若

則V(z)的零點(diǎn)位于平行于實(shí)軸的線條上.他在1976年進(jìn)一步完善Do?cev有關(guān)結(jié)果.當(dāng)α=1時(shí),研究的零點(diǎn)分布情況.

魯塞夫在1973年通過(guò)運(yùn)用博約羅夫在1955年的論文中引入的函數(shù)類(lèi)F及伯恩斯坦多項(xiàng)式理論證明

只有實(shí)根,其中F(t)∈B∩F,F(1)0是有界的實(shí)函數(shù),f(t)∈ε是實(shí)黎曼可積函數(shù).B表示由

的函數(shù)F(t)構(gòu)成的集合,F表示由

一個(gè)給定的代數(shù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)在單位圓內(nèi)的算法出現(xiàn)在舒爾“只具負(fù)實(shí)根的代數(shù)方程”(1921)中,并在科斯托瓦 (M.Kostova)“類(lèi)ε函數(shù) II”(1973)和 “舒爾定理的應(yīng)用”(1973)中應(yīng)用.他在 “類(lèi)ε函數(shù) II”中指出,若f(t)∈ε,則只有實(shí)根.在“舒爾定理的應(yīng)用”中,他提供了給定一個(gè)類(lèi)ε函數(shù)產(chǎn)生同類(lèi)函數(shù)序列的方法.

確定一個(gè)傅里葉變換是否只有實(shí)根的起源問(wèn)題,除數(shù)論中的黎曼猜想外,另一個(gè)與數(shù)學(xué)物理中的李-楊定理和量子域理論有關(guān).紐曼作為數(shù)學(xué)物理方面的專家較早涉及該問(wèn)題.他在1976年引入他指出,若b≤?1/8,則b(z)只有實(shí)根[38].這些結(jié)果來(lái)自于某些量子域理論問(wèn)題研究,但出于教學(xué)方法考慮,以黎曼猜想背景呈現(xiàn).受其影響,舒馬赫(D.Schumayer),胡爾欽森 (D.A.W.Hulchinson)在2011年也從物理角度論述此問(wèn)題.在該文中出現(xiàn)了現(xiàn)今稱為的布魯金-紐曼常數(shù).該常數(shù)由索達(dá)斯,諾夫柯,瓦爾加在1988年引入.黎曼假設(shè)等于說(shuō)該常數(shù)小于等于0.奧德林克(A.M.Odlyzko),基等進(jìn)一步加強(qiáng)紐曼結(jié)果.

波利亞,斯?jié)晒旁?“分析學(xué)中的問(wèn)題和定理”(1978)中指出若f(t)在 [0,1]上為正的可積遞增函數(shù),則的零點(diǎn)為實(shí)的.沃克在 “某些三角積分的零點(diǎn)”(1988)中指出,當(dāng)弱化可積性條件時(shí),結(jié)論仍有效,如的根為實(shí)的,b>0,0

索達(dá)斯,瓦爾加在1990年研究

的零點(diǎn),Φ(t)為雅可比theta函數(shù).當(dāng)00.11時(shí),HR(x)是否具有一些非實(shí)根未知?基,金姆在“關(guān)于傅里葉變換的零點(diǎn)的紐曼結(jié)果的一般化”(2004)中再次研究,并以乘積序列術(shù)語(yǔ)闡述.

卡登在“卷積運(yùn)算和整函數(shù)零點(diǎn)”(2000)中令G(z)是階小于2的具有實(shí)根的實(shí)整函數(shù),存在分布函數(shù)F(z)使卷積

只有實(shí)根.他在 “卷積運(yùn)算和整函數(shù)的零點(diǎn)”(2002),“卷積運(yùn)算和具有單重零點(diǎn)的整函數(shù)”(2002)等文章中把某些分布函數(shù)μ(t)進(jìn)行分類(lèi),使只有實(shí)根.他在 “只有實(shí)根的指數(shù)函數(shù)的和”(2004)中運(yùn)用波利亞的輔助定理和證明過(guò)程,得到只有實(shí)根.他在 2005年特征化某些μ(t),使傅里葉變換只有實(shí)根[42].卡登的工作得益于皮利斯(I.Pinelis)在1994年論證的概率問(wèn)題.亞當(dāng)斯(R.Adams),卡登在2007年證明埃爾米特-比勒類(lèi)整函數(shù)的乘積和只有實(shí)根,推廣了卡登結(jié)果[43].應(yīng)用這些結(jié)果構(gòu)造只有實(shí)根的指數(shù)函數(shù)和的函數(shù).

賽勒斯基(A.M.Sedletskii)在2009年在波利亞1918年論文及其2000年論文的基礎(chǔ)上,在附加條件不是很大,且f(+0)>0下,討論了U(z),V(z)小數(shù)目零點(diǎn)分布.對(duì)米塔格-萊弗勒函數(shù)的小數(shù)目零點(diǎn)分布也進(jìn)行了討論.

索達(dá)斯在“正定核的傅里葉變換和黎曼ξ函數(shù)”(2014)中開(kāi)篇指出,直到現(xiàn)在也無(wú)已知的充要條件使一個(gè)好的核K(t)滿足傅里葉變換只有實(shí)根.索達(dá)斯在該文中考察整函數(shù)可表示為某些可接受核的傅里葉變換的零點(diǎn)分布,主要結(jié)果揭示正定核的博赫納-卡欣奇-馬賽厄斯理論和廣義實(shí)拉蓋爾不等式之間的緊密聯(lián)系,雅可比theta函數(shù)的凹凸性在整個(gè)工作中起著重要作用.

在最近的研究中,寇百雅士 (H.Kobayashi)在 “與黎曼ζ(s)函數(shù)關(guān)聯(lián)的ξ(s)和(t)的結(jié)果”(2016)中,采用對(duì)核S(t)進(jìn)行分解的方法研究的零點(diǎn)分布.波爾森(G.Polson)更是提出了利用整函數(shù)的阿達(dá)瑪因子法,研究核Φ(t)滿足何種性質(zhì)以充分保證傅里葉變換只有實(shí)根的問(wèn)題[44].

5 結(jié)語(yǔ)

使某一函數(shù)K(t)的傅里葉變換是一個(gè)只有實(shí)根的整函數(shù)問(wèn)題是一個(gè)未決問(wèn)題.索達(dá)斯,楊在“有限傅里葉變換和黎曼ξ函數(shù)的零點(diǎn)”(2005)中指出“無(wú)已知的充要條件使一個(gè)好的核K(t)的傅里葉變換只有實(shí)根.正是這個(gè)基本問(wèn)題激發(fā)了處理實(shí)整函數(shù)由傅里葉變換表示的零點(diǎn)分布的一些結(jié)果和問(wèn)題”.