李俊龍 郭仁春 姜檬 王志淳

摘? ?要：首先，文章介紹了剛體最短旋轉(zhuǎn)的概念，剛體從一個(gè)方位旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)方位的過程中，可以有無限種方式，在這些方式中存在一種方式，繞某一軸旋轉(zhuǎn)一次就能到達(dá)指定方位，并且該角在﹣180°～180°之間，稱這樣的旋轉(zhuǎn)方式為最短旋轉(zhuǎn)。其次，給出最短旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即兩個(gè)方位角的四元數(shù)之比。在Unity 3D中，表示剛體方位的參數(shù)分別是歐拉角和四元數(shù)。文章采用具體實(shí)例驗(yàn)證最短旋轉(zhuǎn)與四元數(shù)的關(guān)系，給出了尋找最短旋轉(zhuǎn)的解決方案。

關(guān)鍵詞：Unity 3D;最短旋轉(zhuǎn);四元數(shù)

在Unity 3D中，實(shí)現(xiàn)物體旋轉(zhuǎn)有多種方式，如旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角和四元數(shù)等[1]。旋轉(zhuǎn)需要兩個(gè)基本參量軸和角，物體從一個(gè)方位旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)方位可以采用多次改變軸和角的方式，依次旋轉(zhuǎn)。其中，有一種旋轉(zhuǎn)方式是只繞一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一次就能達(dá)到指定方位，且旋轉(zhuǎn)角度在﹣180°～180°之間，稱這樣的旋轉(zhuǎn)方式為最短旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定義由于沒有其他文獻(xiàn)支持，因此本文為便于理解，采用最短旋轉(zhuǎn)的說法。

任意指定兩個(gè)方位，要找出其中的最短旋轉(zhuǎn)并不是一件容易的事。本文將給出最短旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)描述以及在Unity 3D中實(shí)現(xiàn)最短旋轉(zhuǎn)的方法。

1? ? 最短旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)描述

剛體的運(yùn)動(dòng)包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。描述剛體的空間位置，用三維空間坐標(biāo)點(diǎn)（x，y，z）表示，在Unity 3D中有3個(gè)基本坐標(biāo)系，分別是世界坐標(biāo)系、慣性坐標(biāo)系與本地坐標(biāo)系。相應(yīng)的，描述剛體的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，即方位，是本地坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系所形成的角度變化，采用歐拉角（α，β，γ）來描述。由于本文不涉及平移，因此為方便討論，將慣性坐標(biāo)系和世界坐標(biāo)系重合。

眾所周知，“兩點(diǎn)之間線段最短”，同樣兩個(gè)方位之間也存在類似的關(guān)系，即最短旋轉(zhuǎn)，兩點(diǎn)之間的距離用兩點(diǎn)位置之差來描述。相應(yīng)的，兩個(gè)方位之間的最短旋轉(zhuǎn)用兩個(gè)方位的四元數(shù)之比來描述。

如果方位a的四元數(shù)為q1，方位b的四元數(shù)為q2，剛體從方位a旋轉(zhuǎn)到方位b的最短旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)為q，則q=q2÷q1，一般寫成q= q2×q1-1

設(shè)四元數(shù)q的4個(gè)分量分別是（x，y，z，w），該四元數(shù)隱含了旋轉(zhuǎn)軸向量n和旋轉(zhuǎn)角θ，設(shè)軸向量n的3個(gè)分量為（nx，ny，nz）。一般將軸n和角θ寫成“軸角對(duì)”的形式，即（n， θ）=（ nx， ny， nz， θ）。四元數(shù)q=（x， y， z， w） 與軸角對(duì)（n， θ）=（ nx， ny， nz， θ）之間的關(guān)系為：

在Unity 3D中，改變歐拉角和改變四元數(shù)是兩種基本的旋轉(zhuǎn)方式，Unity 3D提供了Lerp和Slerp兩種插值函數(shù)，在兩個(gè)方位之間進(jìn)行采樣插值。對(duì)歐拉角的Lerp插值，很難實(shí)現(xiàn)最短旋轉(zhuǎn)，而四元數(shù)Slerp函數(shù)插值則非常容易實(shí)現(xiàn)最短旋轉(zhuǎn)，下面通過例子來進(jìn)行驗(yàn)證。

2? ? 在Unity3D中改變歐拉角實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)

在Unity 3D中，制作一個(gè)空物體，命名為a，該物體位于世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置，在其下面放置一個(gè)立方體Cube和一個(gè)小球Sphere，調(diào)整立方體和小球的大小和位置，如圖1所示，讓小球位于立方體的一個(gè)角點(diǎn)。

將該段代碼拖拽到物體x上，將場(chǎng)景中的物體a和b拖放到代碼的公共變量卡槽a和b上，代碼中的Vector3.Lerp是系統(tǒng)提供的插值函數(shù)，包括3個(gè)參數(shù)：起始向量a的歐拉角、結(jié)束向量b的歐拉角、插值t在0～1的取值，運(yùn)行結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看到，物體x上的小球畫出了一條奇怪的軌跡，說明用歐拉角插值不能實(shí)現(xiàn)最短旋轉(zhuǎn)。

3? ? 在Unity3D中改變四元數(shù)實(shí)現(xiàn)最短旋轉(zhuǎn)

代碼中q1和q2分別是a， b的四元數(shù)，Slerp是在兩個(gè)四元數(shù)之間進(jìn)行插值，再次運(yùn)行，結(jié)果如圖5所示。通過觀察可以看出，物體x繞某一固定軸一次旋轉(zhuǎn)到了指定位置，實(shí)現(xiàn)了最短旋轉(zhuǎn)。

在圖5中可以清楚地看出剛體繞軸n旋轉(zhuǎn)了θ角。這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程用語言可以描述為：一個(gè)剛體從初始方位為a，其歐拉角為（-20，-30，9），旋轉(zhuǎn)到末方位b，歐拉角為（15，80，60），找到軸角對(duì)（n， θ）實(shí)現(xiàn)最短旋轉(zhuǎn)。方位a和b的四元數(shù)q1，q2可以通過各自的歐拉角求出，計(jì)算公式可參考蘇超凡等[2]的研究，手工計(jì)算結(jié)果如下：

4? ? 結(jié)語

仿照最短距離，本文給出了最短旋轉(zhuǎn)的概念并給出了最短旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)描述，即兩個(gè)方位的四元數(shù)的比值。在Unity 3D中，通過修改四元數(shù)很容易實(shí)現(xiàn)最短旋轉(zhuǎn)，并能夠直觀地給出旋轉(zhuǎn)軸和角，對(duì)理解四元數(shù)在Unity 3D中的應(yīng)用具有重要作用。

[參考文獻(xiàn)]

[1]戈洪瑤，郭仁春.基于Unity 3D的歐拉角實(shí)現(xiàn)對(duì)物體旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用[J].湖北農(nóng)機(jī)化，2019（13）：119-121.

[2]蘇超凡，郭仁春.Unity 3D中歐拉角與四元數(shù)關(guān)系的研究[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)與應(yīng)用，2019（5）：890-895.