續(xù)云豐 鞏永麗

【摘要】為了讓高職院校的學(xué)生更好地學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)，提升課堂教學(xué)效果，本文從課堂教學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的角度出發(fā)，結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐認(rèn)知，提出了微積分教學(xué)的語(yǔ)言表述應(yīng)該“形象化”“生活化”和“詩(shī)情畫意化”的觀點(diǎn).同時(shí)，為了便于學(xué)生理解和記憶，進(jìn)一步提出了“用一個(gè)詞、一個(gè)短語(yǔ)、一句話來(lái)概括一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、一個(gè)小節(jié)、一個(gè)章節(jié)及一本書的內(nèi)容”的觀點(diǎn)，同時(shí)要不失時(shí)機(jī)推進(jìn)課堂思政，不遺余力地對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想道德教育，教書又育人.

【關(guān)鍵詞】大學(xué)數(shù)學(xué);微積分教學(xué);語(yǔ)言表達(dá);課程思政

【基金項(xiàng)目】浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院2018年度教學(xué)改革項(xiàng)目.

教育部統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示我國(guó)2017全年普通本?？普猩?61.5萬(wàn)人，其中高職?？?50.7萬(wàn)人，這部分高職專科新生，根據(jù)專業(yè)不同一般需要學(xué)習(xí)一個(gè)學(xué)期的微積分.針對(duì)這部分學(xué)生基礎(chǔ)較差，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣低的特征，開展微積分的有效教學(xué)是一個(gè)迫在眉睫的問(wèn)題[1][3].

一、高職專科院校微積分教學(xué)面臨的現(xiàn)狀

目前高職?？茖W(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，學(xué)習(xí)興趣不大，概括起來(lái)就是“兩不一沒(méi)”，即學(xué)生“聽不懂、學(xué)不會(huì)、沒(méi)興趣”.因此，這部分學(xué)校的微積分教學(xué)面臨很大難度.

數(shù)學(xué)作為極其抽象的學(xué)科，學(xué)習(xí)曲線陡峭，難度大.研究教學(xué)語(yǔ)言中的表達(dá)技巧，通過(guò)具體、形象、生動(dòng)傳神的語(yǔ)言文字，來(lái)傳遞微積分的知識(shí)、思想和技巧，來(lái)達(dá)到更好的傳授知識(shí)、教書育人的目的.本文通過(guò)具體的教學(xué)案例，從以下幾方面予以論述，同時(shí)案例中蘊(yùn)含了課程思政的思想[2].

二、微積分教學(xué)中使用形象化的比喻

語(yǔ)言作為表情達(dá)意的載體，承載著傳遞知識(shí)、點(diǎn)燃興趣的作用.

在微積分教學(xué)中，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題.其計(jì)算規(guī)則可以簡(jiǎn)單寫成（f（φ（x））′φ（x）=u（f（u））′u′=（f（φ（x））′φ′（x）.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，可以把這條規(guī)則比喻成剝開一個(gè)洋蔥：首先找到洋蔥的最外層（對(duì)應(yīng)復(fù)合函數(shù)的最外層），然后剝掉最外層（即外層求導(dǎo)），最后乘小洋蔥（也就是除最外層剩下的部分）的導(dǎo)數(shù);針對(duì)小洋蔥，重復(fù)上述步驟找最外層和小洋蔥，直到最后一層用公式求導(dǎo).如此比喻，學(xué)生就會(huì)明白，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵步驟是找到最外層，然后一層層求導(dǎo)，就是一層層剝洋蔥.這樣一來(lái)知識(shí)點(diǎn)就容易掌握了.

講到不定積分，換元法的一類換元和二類換元，一類換元就是找一個(gè)函數(shù)進(jìn)入微分，這是一個(gè)小積分，然后設(shè)函數(shù)為變量再來(lái)一個(gè)大積分，問(wèn)題解決.這恰似抗戰(zhàn)中的正面戰(zhàn)場(chǎng)采用陣地戰(zhàn)，就是大敵當(dāng)前，不跑也不逃，迎面而上，哪怕犧牲也要積分（打擊敵人）.二類換元是為了對(duì)付根號(hào)而生，采取變量當(dāng)函數(shù)容易問(wèn)題復(fù)雜化，在變化中尋找機(jī)會(huì)進(jìn)行突破.恰似我黨領(lǐng)導(dǎo)的抗日敵后戰(zhàn)場(chǎng)，多采用游擊戰(zhàn)，大敵當(dāng)前不一定打，而是在迂回后退中（相當(dāng)于二類換元的變量處理成函數(shù)）找準(zhǔn)機(jī)會(huì)狠狠打.如此比喻，學(xué)生對(duì)兩類換元的思路和具體做法自然了然于胸、熟記于心了.

再比如，求極值的兩個(gè)充分條件，第一充分和第二充分其區(qū)別何在？哪個(gè)功能更加強(qiáng)大，答案是第一充分條件，排序第一，是個(gè)功能強(qiáng)大的越野車，平路和坑坑洼洼的山路（在函數(shù)不可導(dǎo)沒(méi)有駐點(diǎn)時(shí)）都可以過(guò)去;第二充分相當(dāng)于普通車，平路可以通過(guò)但坑洼路就不能使用了.同時(shí)以函數(shù)y=|x|的極值求法說(shuō)明第一充分可用，第二充分不能使用.

三、微積分教學(xué)中使用生活化的語(yǔ)言

微積分教學(xué)中的無(wú)窮小比較分三種情況：高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小和等價(jià)無(wú)窮小.首先，解釋“高”字內(nèi)涵，比如，高級(jí)、高大、高明，本質(zhì)就是兩個(gè)東西進(jìn)行一番比試，冠軍就是那個(gè)稱為高的東西.于是學(xué)生秒懂，高階無(wú)窮小，首先需要兩個(gè)無(wú)窮小，它們進(jìn)行一場(chǎng)比賽，目標(biāo)是0，其中勝出的冠軍就是高階無(wú)窮小.比如，Δx→0，Δx2是Δx的高階無(wú)窮小，記為Δx2=o（Δx）.

而這恰似不同交通工具的競(jìng)賽.比如，毛驢和汽車比賽，毛驢輸了，于是汽車是毛驢的高階無(wú)窮小.如果兩個(gè)汽車比賽，可能性能不同品牌各異，但它們是同一個(gè)數(shù)量級(jí)的東西，比賽的結(jié)果是一個(gè)常數(shù)，恰似同階無(wú)窮小，意思是同一個(gè)級(jí)別的東西.同理，等價(jià)無(wú)窮小就是兩個(gè)交通工具開的一樣快慢，可以互相替代.最后引出三種無(wú)窮小比較的定義.這樣的生活化的比喻，學(xué)生都可以聽明白，車大家都坐過(guò)，是個(gè)熟悉的物件.因此，從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，用他們聽得懂的生活化語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)，往往可以取得意想不到的好結(jié)果.

四、微積分教學(xué)中的詩(shī)情畫意

數(shù)學(xué)不僅是工具，還是藝術(shù)，數(shù)學(xué)本身和美息息相關(guān).而追求美是人類最根本的追求之一.通過(guò)精心整理和引入，將中國(guó)古典的詩(shī)詞歌賦應(yīng)用到微積分教學(xué)的適當(dāng)場(chǎng)合，往往一鳴驚人，令人拍案叫絕.

比如，講到導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系，它們二者本質(zhì)相同，表達(dá)的側(cè)重點(diǎn)不同而已，一個(gè)偏重變化率，另外一個(gè)偏重變化量.這好比就是液態(tài)的水和固態(tài)的冰塊，化學(xué)成分一樣，物理狀態(tài)不同.此時(shí)，可以引用蘇軾的詩(shī)句“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”來(lái)予以說(shuō)明.

在講到定積分的定義時(shí)，是先計(jì)算一個(gè)小矩形的面積，然后將無(wú)窮個(gè)小矩形累加在一起.一個(gè)小矩形微不足道，面積近似為零，但千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)至無(wú)窮個(gè)小矩形累加起來(lái)就非常可觀了，體現(xiàn)了哲學(xué)的“量變引起質(zhì)變”思想.此時(shí)可以適時(shí)引用韓愈的詩(shī)“天街小雨潤(rùn)如酥，草色遙看近卻無(wú)”，其中第二句“草色遙看近卻無(wú)”來(lái)描述這種一個(gè)矩形和無(wú)窮個(gè)矩形的關(guān)系最為恰當(dāng)：一個(gè)小矩形就像一棵小草，看不到忽略了;但千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)小草，每個(gè)貢獻(xiàn)一點(diǎn)綠色，遠(yuǎn)看就是一片綠色了.還可以借題發(fā)揮，以西方圍堵中國(guó)采用的策略說(shuō)明定積分的思想，就是五美分黨做的事情，網(wǎng)絡(luò)上肆意用一些似是而非、偷梁換柱、模棱兩可的所謂的內(nèi)部消息、揭秘等等吸引眼球的字眼，抹黑我們的英雄人物，抹黑我們的歷史等.單看這一個(gè)帖子，似乎問(wèn)題也不大，就像一個(gè)小矩形面積近似為零（對(duì)應(yīng)微分）;但他們天天造謠抹黑，一個(gè)接一個(gè)、晝夜不息，累計(jì)起來(lái)所產(chǎn)生的破壞效果就很可觀了（對(duì)應(yīng)積分）.這充分說(shuō)明西方黔驢技窮，不能正面對(duì)抗，就用下三爛的套路，但是也不能掉以輕心，因?yàn)榧僭捳f(shuō)多了雖然未必變成真話，但可能會(huì)蒙蔽一些人，讓人思想動(dòng)搖.因此，年輕的大學(xué)生要學(xué)會(huì)識(shí)別這些伎倆，學(xué)好本領(lǐng)，站穩(wěn)立場(chǎng)，更好地為國(guó)家進(jìn)步而奮斗.

又如，講到一類換元和二類換元，一個(gè)是直接方式，一個(gè)是迂回方式，前面說(shuō)過(guò)這相當(dāng)于陣地戰(zhàn)和游擊戰(zhàn)的區(qū)別.此時(shí)可以吟詩(shī)一首，杜甫的“劍外忽傳收薊北，初聞涕淚滿衣裳.卻看妻子愁何在，漫卷詩(shī)書喜欲狂.白日放歌須縱酒，青春做伴好還鄉(xiāng).即從巴峽穿巫峽，便下襄陽(yáng)向洛陽(yáng)”.直抒胸臆，體現(xiàn)了一種狂喜之情，即直接又直白！而二類換元就對(duì)應(yīng)馬致遠(yuǎn)的《天凈沙·秋思》：“枯藤老樹昏鴉，小橋流水人家，古道西風(fēng)瘦馬.夕陽(yáng)西下，斷腸人在天涯.”體現(xiàn)了詩(shī)人的苦悶不開心，是通過(guò)寫景物迂回表達(dá)這個(gè)意思的.最后，為了讓學(xué)生記住二類換元是為了對(duì)處理根號(hào)類積分，改了一句詩(shī)“但使二類換元在，不教‘根號(hào)度陰山”，來(lái)體現(xiàn)二類換元的這個(gè)特性.

五、一詞一短語(yǔ)一句話概括

數(shù)學(xué)美的特征在于對(duì)稱美、在于簡(jiǎn)潔.正所謂大道至簡(jiǎn)，用最精練的語(yǔ)言，用“一個(gè)詞語(yǔ)，一句話”來(lái)描述一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、一個(gè)定理、一個(gè)章節(jié)乃至一本書，是一個(gè)優(yōu)秀的微積分教師的一項(xiàng)核心競(jìng)爭(zhēng)力.

比如，導(dǎo)數(shù)=微商=瞬時(shí)變化率=增量比之極限，這是導(dǎo)數(shù)的定義.函數(shù)的有界性用“有界無(wú)界看值域，無(wú)窮出現(xiàn)為無(wú)界”來(lái)概括.“一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)性極值，二階導(dǎo)數(shù)凹凸性拐點(diǎn)”來(lái)概括函數(shù)單調(diào)性極值和凹凸性拐點(diǎn)的內(nèi)容.

“極值點(diǎn)x0=該點(diǎn)x0左右f′（x）變號(hào)=去哪找？f′（x）=0或f′（x）不存在的地方”和“拐點(diǎn)x0=該點(diǎn)x0左右f″（x）變號(hào)=哪找？f″（x）=0或f′（x）不存在的地方”，這兩條規(guī)則比較記憶效果頗佳.

在分部積分中，采用口訣“反對(duì)不要碰，三指動(dòng)一動(dòng)”來(lái)總結(jié)，學(xué)生易懂易記.

再如，“一切積分問(wèn)題都是找原函數(shù);一切微積分問(wèn)題都是求導(dǎo)問(wèn)題”“微分不過(guò)是減法，積分不過(guò)是加法，微積分相當(dāng)于加減法”等形象描述了微積分課程的特征.

二階線性非齊次微分方程，其特解形式由f（x）的形式確定，分為“指多和指三多”兩種情況，指多就是指數(shù)乘多項(xiàng)式;根據(jù)f（x）寫出一個(gè)待檢驗(yàn)的特征根，遵循“不是（特征根）不升（冪）”的四字原則.如此等等，可以讓學(xué)生非常容易記住一些重要的知識(shí)點(diǎn)和解題技巧.

六、小 結(jié)

微積分的教學(xué)，需要根據(jù)聽課對(duì)象的基礎(chǔ)水平來(lái)確定合適的方式，即所謂的因材施教，因地制宜.高職學(xué)生大多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，學(xué)習(xí)習(xí)慣差，畏數(shù)學(xué)如虎.因此，本文提出一種在教學(xué)語(yǔ)言表達(dá)方面可以采取的有效措施，用來(lái)化解教學(xué)中的這種學(xué)生聽不懂的矛盾[4][5].用“形象化”的教學(xué)語(yǔ)言利于學(xué)生理解知識(shí);“生活化”的教學(xué)語(yǔ)言拉近與學(xué)生的距離，產(chǎn)生共鳴;“詩(shī)情畫意化”的教學(xué)語(yǔ)言，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)美化、詩(shī)化，陶冶情操，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中得到美的享受、藝術(shù)的熏陶.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)作為訓(xùn)練抽象思維的學(xué)科，如果太具體、太形象化，也不利于學(xué)生提升綜合素質(zhì).這個(gè)問(wèn)題是教學(xué)中“學(xué)院派”和“實(shí)戰(zhàn)派”的根本分歧點(diǎn).但考慮到高職學(xué)生的學(xué)情，本文認(rèn)為采用上述教學(xué)方法是合適的，也是必要的.浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院的教學(xué)實(shí)踐表明，95%以上的學(xué)生喜愛這種教學(xué)表達(dá)方式，因?yàn)楹糜洃?、易理解、易掌握，并且學(xué)生的期末考試通過(guò)率也相應(yīng)提高，教學(xué)效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)講授法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]關(guān)章才.高職微積分教學(xué)的改進(jìn)及優(yōu)化路徑探索[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（5）：28.

[2]李中，肖勁森.在微積分教學(xué)中滲透思想政治教育的策略探索[J].產(chǎn)業(yè)與科技論壇，201（1）：137-138.

[3]蔡敏.微積分教學(xué)專業(yè)化探索[J].課程教育研究，2017（51）：38.

[4]楊晶.微積分教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法的探究[J].高教學(xué)刊，2016（17）：49.

[5]鐘敏玲.大學(xué)數(shù)學(xué)微積分教學(xué)的改革策略研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（23）：3-4.