浙江省寧波市鎮(zhèn)海蛟川書(shū)院 劉繼華

一、試題呈現(xiàn)

（2019年臺(tái)州）如圖1，直線l1∥l2∥l3，A、B、C分別為l1、l2、l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、BC、AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D.設(shè)直線l1、l2之間的距離為m，直線l2、l3之間的距離為n，若∠ABC=90°，BD=4，且，則m+n的最大值為_(kāi)__________.

圖1

圖2

二、解法展示

1.構(gòu)造相似，利用函數(shù)求最值

解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作PQ⊥l2交l1于點(diǎn)P，交l3于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥l1交l2于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)F.

設(shè)AP=x，則EB=FQ=x.又BD=4，則DE=4-x.

2.利用斜大于直求最值

解法2：如圖3，延長(zhǎng)AB交l3于點(diǎn)E，作△BCE的中線BO.

圖3

圖4

3.構(gòu)造輔助圓求最值

解法3：如圖4，延長(zhǎng)AB交l3于點(diǎn)E，構(gòu)造過(guò)C、B、E三點(diǎn)的⊙O.由∠CBE=90°，得OE為直徑.

同解法2可得CE=10，則點(diǎn)B在半徑為5的半圓CBE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B到l3距離的最大值即為n的最大值，當(dāng)⊙O與l2相切時(shí)，nmax=5.

4.數(shù)形結(jié)合，以數(shù)解形

解法4：如圖5，以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

由∠ABC=90°，得kAB·kBC=-1，則=-1，則pq=6a2①.

由BD=4，得點(diǎn)D（-4，0）.

由kAD=kCD，得，則3p+2q=-20 ②.

圖5

圖6

三、試題變式

1.條件與結(jié)論互換變式

變式1：如圖6，其他條件與原試題相同，若∠ABC=90°，m=2，n=3，則BD的最小值為_(kāi)__________.

思路點(diǎn)撥：如圖7，延長(zhǎng)AB交l3于點(diǎn)E，構(gòu)造過(guò)C、B、E三點(diǎn)的⊙O.

圖7

2.改變條件變式

表1

現(xiàn)以①和②為例：

變式2：如圖8，將“A、B、C分別為l1、l2、l3上的動(dòng)點(diǎn)”變?yōu)椤癆，B，C分別為l2，l3，l1上的動(dòng)點(diǎn)”，“BD=4”變?yōu)椤癆D=4”，其他條件、問(wèn)題與原試題相同.

圖8

圖9

思路點(diǎn)撥：如圖9，當(dāng)⊙O與l3相切時(shí)

變式3：如圖10，將“∠ABC=90°”變?yōu)椤啊螦BC=60°”，其他條件與問(wèn)題和原試題相同.

思路點(diǎn)撥：方法1：如圖11，延長(zhǎng)AB交l3于點(diǎn)E，構(gòu)造過(guò)C、B、E三點(diǎn)的⊙O，連接OC、OE，作OH⊥l3交⊙O于點(diǎn)G.

圖11

由l2∥l3，得

易得CE=10.

因?yàn)椤螦BC=60°，所以∠CBE=120°，∠COE=120°，∠OCE=∠OEC=30°，CH=HE=5，OH=則CO=，點(diǎn)B在半徑為的弧CBE上運(yùn)動(dòng).

點(diǎn)B到l3距離的最大值，即為n的最大值.

當(dāng)⊙O與l2相切時(shí)，點(diǎn)B與G重合，則，故

方法2：事實(shí)上，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)⊙O與l2相切時(shí)，△CBE為等腰三角形，，此時(shí)n=

3.結(jié)論一般化

如圖10，其他條件與原試題相同，若∠ABC=θ，BD=a，且=t，則m+n的最大值為_(kāi)__________.

思路點(diǎn)撥：由變式3的方法2，可得

四、探究反思

1.試題解讀，實(shí)現(xiàn)整體把控

本題以平行線、直角三角形為背景，考查了平行線的性質(zhì)、特殊三角形的性質(zhì)與判定、相似、圓的基本性質(zhì)等核心知識(shí).以往以此圖為背景的中考試題，如2013年廣東深圳數(shù)學(xué)中考第13題、2013年海南省中考第14題，圖形是固定的，一般利用特殊三角形、相似三角形、平行線等相關(guān)知識(shí)即可解決，但這道題巧妙融入運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，涉及的思想方法更加豐富，滲透了函數(shù)思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等重要思想方法，使不同能力的學(xué)生對(duì)試題感悟及解法達(dá)到不同水平，“使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.

2.解法反思，積累解題經(jīng)驗(yàn)

有些學(xué)生疑惑為什么別人能想出多種解法，我卻一種也想不出.波利亞解題表的精髓就是聯(lián)想，教師要充分發(fā)揮解題表的輻射功能.這道題的突破口就是∠ABC=90°，這個(gè)條件使人聯(lián)想到的方法是直角三角形、相似、圓、勾股定理，k1·k2=-1等.

解法1是常規(guī)解法，圖形中有直角這一關(guān)鍵條件，學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累基礎(chǔ)上，比較容易聯(lián)想到一線三直角，所以輔助線的產(chǎn)生水到渠成，接下來(lái)是將邊表示出來(lái)，當(dāng)遇到長(zhǎng)度未知的線段時(shí)，自然想到用字母表示相關(guān)線段長(zhǎng)度，發(fā)展了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，通過(guò)相似建立起了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)思想自然而然產(chǎn)生.

圖12

圖13

解法2與解法3思維要求比較高.直接求最值的困難使學(xué)生萌發(fā)轉(zhuǎn)化的思想，直角這一特殊條件，容易使人聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造輔助圓，將m+n的最大值轉(zhuǎn)化為先求n的最大值.

在各類解法中，解法2、解法3解法簡(jiǎn)潔，值得思考的是，在后續(xù)變式中，采用了解法3，構(gòu)造輔助圓，因?yàn)檫@一解法更能觸類旁通，體現(xiàn)實(shí)質(zhì).例如，當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，利用解法2斜大于直，如圖12，作△BCE的中線BM，BM的長(zhǎng)度是個(gè)變量，此種方法看似不適用了，這是因?yàn)檫@種添輔助線的方法沒(méi)有理解問(wèn)題本質(zhì)，若要用解法2，需要構(gòu)造過(guò)C、B、E三點(diǎn)的輔助圓⊙O，連接BO，作ON⊥l2于點(diǎn)N，當(dāng)ON=BO時(shí)，OH為定值，HN最大.

解法4是解析法，是高中方法，適合一小部分初中優(yōu)秀學(xué)生，僅供參考.如果教師在平時(shí)教學(xué)中拋磚引玉，必然會(huì)激發(fā)這部分學(xué)生的探究欲望.

3.變式教學(xué)，提升思維品質(zhì)

每道中考題都是經(jīng)過(guò)專家精心命制的，如果能細(xì)細(xì)品味，潛心探究，一定會(huì)有意猶未盡之感.作為一線教師，在平時(shí)教學(xué)中，應(yīng)該挖掘每道題的潛在價(jià)值，變式教學(xué)是一種很好的途徑.以這道中考題為例，通過(guò)條件和結(jié)論互換、改變條件、結(jié)論一般化等方式進(jìn)行變式，使學(xué)生從多角度、多渠道思考問(wèn)題，感受條件與條件、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，更深刻地理解問(wèn)題本質(zhì)，提升學(xué)生的思維能力.通過(guò)變式，使學(xué)生進(jìn)一步感悟不同的解法，并逐步內(nèi)化成為屬于他們的自然解法，提升解題能力.