山東省淄博市臨淄區(qū)教學(xué)研究室 劉 濤 楊靜霞

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是相對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的被動(dòng)式、孤立式、機(jī)械式的淺層學(xué)習(xí)而言的，指在淺層學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，由接受式學(xué)習(xí)向探究式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，由低階思維能力向高階思維能力發(fā)展，由簡(jiǎn)單直觀型知識(shí)結(jié)構(gòu)向拓展抽象型知識(shí)結(jié)構(gòu)延伸，實(shí)現(xiàn)原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的主動(dòng)建構(gòu)，逐漸完善個(gè)人數(shù)學(xué)知識(shí)體系，并有效遷移應(yīng)用到真實(shí)情境的過(guò)程

一、教學(xué)內(nèi)容分析

1.教材分析

縱觀我國(guó)現(xiàn)行各版本教材，對(duì)分式方程解的論述都稍顯簡(jiǎn)略.如山東教育出版社八年級(jí)上冊(cè)教材（2014年版）中只提到了“增根”，簡(jiǎn)略分析增根產(chǎn)生的原因，進(jìn)而指出得到增根后應(yīng)把它舍去（詳見(jiàn)教材第39頁(yè)和第40頁(yè)）；人民教育出版社八年級(jí)上冊(cè)教材（2013年版）論述較為詳盡，特別是對(duì)分式方程解的說(shuō)明，指出分式方程的解首先是去分母后整式方程的解，同時(shí)使分式方程分母的值不為0，但對(duì)“增根”只字未提（詳見(jiàn)教材第150頁(yè)和第151頁(yè)）.關(guān)于分式方程有增根、無(wú)解、有解的認(rèn)識(shí)及根據(jù)解的情況確定分式方程中字母系數(shù)的取值問(wèn)題，目前已有大量的文獻(xiàn)資料供參考.但在實(shí)際教學(xué)中，如果教師將結(jié)論、做法直接傳授給學(xué)生，學(xué)生就會(huì)被動(dòng)地接受知識(shí)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果事倍功半.

事實(shí)上，關(guān)于分式方程解的討論與分式方程的求解過(guò)程是緊密相連的.因此，設(shè)計(jì)基于求解過(guò)程的教學(xué)，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中充分探究，把握問(wèn)題的來(lái)龍去脈，才能促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)習(xí)效率.本節(jié)課的教學(xué)試圖通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分式方程求解過(guò)程的探究，借助問(wèn)題導(dǎo)向，順通思維，明確本質(zhì)，在不斷將學(xué)習(xí)推向深入的同時(shí)做到對(duì)分式方程解的融會(huì)貫通，并能舉一反三、靈活應(yīng)用.

2.目標(biāo)分析

深刻認(rèn)識(shí)分式方程的解的三種情況（有增根、無(wú)解、有解），并能根據(jù)解的具體情況確定方程中字母系數(shù)的取值；通過(guò)過(guò)程探究，溫故知新，提升利用所學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的能力；養(yǎng)成遵循法則、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

3.重、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：深刻認(rèn)識(shí)分式方程“有增根”“無(wú)解”“有解”之間的區(qū)別與聯(lián)系.

難點(diǎn)：根據(jù)解的情況確定含字母系數(shù)的分式方程中字母系數(shù)的取值.

二、課堂教學(xué)實(shí)施

1.回顧舊知，激活思維

師：在“分式與分式方程”這一章，我們是如何解分式方程的？主要做法是什么？

生：首先通過(guò)去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后解這個(gè)整式方程，從而得到未知數(shù)的值.

生：得出未知數(shù)的值以后還要進(jìn)行檢驗(yàn)，如果未知數(shù)的值使得原分式方程的分母為0，那么這樣的解是增根，如果每個(gè)解都是增根，則原分式方程無(wú)解.

設(shè)計(jì)意圖：比起整式方程，分式方程的求解過(guò)程變得相對(duì)復(fù)雜，特別是解后驗(yàn)根的環(huán)節(jié)必不可少，本課關(guān)于分式方程有增根、無(wú)解、有解的討論，即是建立在對(duì)求解過(guò)程深入剖析的基礎(chǔ)之上，即只有學(xué)生明確了分式方程求解的全過(guò)程，才能根據(jù)解的情況逐個(gè)尋找問(wèn)題解決的突破口.此舉既讓學(xué)生回顧了解分式方程的完整步驟，又為后面的問(wèn)題探究做足鋪墊.

2.問(wèn)題探究，激疑答惑

問(wèn)題1：使分式的分母為0的根一定是分式方程的增根嗎？

例：你能確定下面分式方程的增根嗎？你是如何確定的？

生：我認(rèn)為第一個(gè)方程的增根為“x=3”，第二個(gè)方程的增根為“x=1”或“x=-1”.

師：你是如何這么快就得到答案的？

生：通過(guò)令分式方程的分母等于0，便可快速得出.

師：請(qǐng)大家通過(guò)解分式方程得出答案.

生：通過(guò)實(shí)際解方程，我們求得兩個(gè)方程的增根分別為“x=3”，“x=1”.

師：第二個(gè)分式方程的增根與有些同學(xué)的猜想不一樣，為何只有“x=1”這一個(gè)增根，而未出現(xiàn)“x=-1”這個(gè)增根？請(qǐng)大家思考，分式方程的增根應(yīng)具備怎樣的特點(diǎn)？

生：在第二個(gè)分式方程中，雖然“x=1”和“x=-1”都使分式方程的分母為0，但僅僅具備這一點(diǎn)是不夠的，在實(shí)際的求解中，通過(guò)解分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程“x+1=2x”，只能得到“x=1”.

生：作為分式方程的增根，它要滿足兩個(gè)條件，既是分式方程去分母后轉(zhuǎn)化成的整式方程的解，又使得分式方程分母的值為0.

設(shè)計(jì)意圖：許多學(xué)生對(duì)增根存在著錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，認(rèn)為增根就是使得分式方程分母的值等于0的未知數(shù)的取值，通過(guò)“反襯對(duì)比”讓學(xué)生意識(shí)到增根來(lái)源于分式方程的求解過(guò)程之中，使分式方程分母的值等于0只是增根的一個(gè)特征.同時(shí)，通過(guò)對(duì)增根的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到探究求解過(guò)程對(duì)問(wèn)題解決的重要性，進(jìn)而培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

問(wèn)題2：分式方程有增根等同于無(wú)解嗎？

例：解下面兩個(gè)分式方程，從解的情況來(lái)看，你有何發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生先獨(dú)立求解，然后小組內(nèi)交流看法.

生1：從解的情況來(lái)看，相同點(diǎn)是這兩個(gè)分式方程都無(wú)解，解方程（1）得到“0x=13”，顯然是無(wú)解的，解方程（2）得“x=-2”是增根，原方程也無(wú)解.

生2：不同的地方在于，雖然兩個(gè)方程都無(wú)解，但第一個(gè)方程無(wú)增根，第二個(gè)方程有增根.

師：說(shuō)得非常好！通過(guò)剛才的探究，你能說(shuō)說(shuō)分式方程的增根與無(wú)解之間有何關(guān)系嗎？

生3：對(duì)分式方程來(lái)講，增根導(dǎo)致了無(wú)解，但無(wú)解并不一定意味著有增根.

設(shè)計(jì)意圖：這是對(duì)無(wú)解進(jìn)行初步探究，主要圍繞無(wú)解與增根之間的關(guān)系展開(kāi)，讓學(xué)生明白分式方程無(wú)解并非只有有增根這一種情況，對(duì)思維的發(fā)散起到至關(guān)重要的作用.

師：結(jié)合剛才的探究啟發(fā)，我們?cè)賮?lái)解決下面的問(wèn)題.

問(wèn)題3：知道分式方程無(wú)解，你能確定字母系數(shù)的值嗎？

例：（1）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的取值為_(kāi)________.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生容易將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，分別得到：

①x=m+1；

②（1-m）x=2.

但在進(jìn)一步求解m的值時(shí)，有的學(xué)生依然將無(wú)解等同于方程只有增根這一種情況，即令x的值分別為4，2，從而得出m的值分別為3，0.

師：除了根據(jù)方程產(chǎn)生增根這種情況求解m的值，你還有別的想法嗎？

生：本問(wèn)題的方程（2）中，m的取值還可能為1，即當(dāng)m=1時(shí)，原分式方程也無(wú)解.

師：很好！那么問(wèn)題（1）中m的值是否存在多解？（1）與（2）的區(qū)別在哪里？

生：我們將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，發(fā)現(xiàn)①式中無(wú)論m如何取值，都能得到相應(yīng)x的值，而②式中則不然，當(dāng)m=1時(shí)，這個(gè)整式方程無(wú)解.

師：根據(jù)前面的分析，你能總結(jié)出由含字母系數(shù)的分式方程無(wú)解，應(yīng)如何來(lái)確定字母系數(shù)的取值嗎？

生：可以從兩個(gè)方面，一是從分式方程產(chǎn)生增根這個(gè)角度，二是從分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程無(wú)解這個(gè)角度.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}3是問(wèn)題2的順承與延拓，僅僅借助問(wèn)題2，學(xué)生對(duì)分式方程無(wú)解的認(rèn)識(shí)并不到位，通過(guò)將分式方程求解過(guò)程中轉(zhuǎn)化得來(lái)的整式方程擺在一個(gè)至關(guān)重要的位置，凸顯了對(duì)求解過(guò)程進(jìn)行深層剖析的思維路線.同時(shí)，本例中兩個(gè)轉(zhuǎn)化后的整式方程特點(diǎn)不一，形成鮮明對(duì)比，為進(jìn)一步探究思考指明了方向.通過(guò)此環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)分式方程無(wú)解有了較為全面的認(rèn)識(shí)，并能用來(lái)確定字母系數(shù)的取值.

師：基于對(duì)無(wú)解的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)該如何認(rèn)識(shí)分式方程有解呢？請(qǐng)以問(wèn)題3中的兩個(gè)分式方程有解為例，確定m的取值.

生：?jiǎn)栴}3中的分式方程有解時(shí)，我們得到（1）中m的取值范圍是“m≠3”，（2）中m的取值范圍是“m≠1”或“m≠0”.

師：還有補(bǔ)充或問(wèn)題嗎？

生：我認(rèn)為（2）中m的取值范圍應(yīng)該是“m≠1”且“m≠0”.

師：區(qū)別在哪里？

生：“或”意味著只要滿足一個(gè)取值要求即可，而“且”則是兩個(gè)取值要求必須同時(shí)滿足.

師：對(duì)！大家今后考慮問(wèn)題一定要全面，用語(yǔ)一定要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn).

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)分式方程來(lái)講，有解是無(wú)解的逆向思維，因此完全可以放手給學(xué)生，讓其獨(dú)立完成對(duì)有解的探究學(xué)習(xí).當(dāng)分式方程有解時(shí)，分式方程無(wú)增根且分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程本身有解，這時(shí)，得到的m的取值應(yīng)該是一個(gè)范圍而不再是確定的數(shù)值，學(xué)生可以從前后取值情況獲得體驗(yàn).同時(shí)，規(guī)范了“或”“且”這兩個(gè)邏輯用語(yǔ)的使用，利于學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)這一思維習(xí)慣的養(yǎng)成.

3.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練，辨析本質(zhì)

問(wèn)題4：你能由分式方程解的情況，得到字母系數(shù)的取值嗎？

例：已知關(guān)于x的方程，則a取何值時(shí)，

（1）分式方程有增根？

（2）分式方程無(wú)解？

（3）分式方程有解？

設(shè)計(jì)意圖：圍繞一個(gè)分式方程，對(duì)有增根、無(wú)解、有解三種情況“并聯(lián)”討論，有利于在概念的比較辨析中鞏固所學(xué)知識(shí)，滲透分類討論思想，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

4.當(dāng)堂總結(jié)，反思提高

（1）經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)分式方程有增根、無(wú)解、有解，你有了哪些新的認(rèn)識(shí)？如何根據(jù)分式方程解的情況，確定分式方程中某些字母的取值？

（2）對(duì)分式方程有增根、無(wú)解、有解的討論離不開(kāi)對(duì)求解過(guò)程的剖析，這對(duì)你今后的學(xué)習(xí)有何啟發(fā)？

設(shè)計(jì)意圖：一是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建本課的結(jié)構(gòu)框架，形成全面、系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與思維體系；二是啟發(fā)學(xué)生回顧通過(guò)不斷深究求解過(guò)程從而解決疑難問(wèn)題的做法，遷移了學(xué)習(xí)方法.

5.布置作業(yè)，拓展訓(xùn)練

設(shè)計(jì)意圖：兩道作業(yè)題，既有對(duì)本課所學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步鞏固，又有一定的拓展推廣.第（1）題要求學(xué)生先猜想增根，進(jìn)而求出具體的m的值，存在多解的情況.第（2）題中“解為正數(shù)”即分式方程是有解的，而且解為正數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為不等式，從而解決問(wèn)題.

三、教后反思與啟示

1.剖析求解過(guò)程，讓疑難問(wèn)題的解答變得有章可循

以本課為例，在對(duì)分式方程進(jìn)行求解時(shí)，有的學(xué)生僅僅注意到增根使得分式方程分母的值為0，卻忽視了其同時(shí)必須是分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程的解；在對(duì)分式方程無(wú)解進(jìn)行討論時(shí)，有些學(xué)生僅僅注意到有增根這種情況，卻忽視了分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程本身也可能存在無(wú)解的情況.究其原因，學(xué)生對(duì)分式方程的求解過(guò)程分類討論不全面，不能完全站在客觀、理性的角度去分析問(wèn)題.如果把整個(gè)求解過(guò)程比作一根長(zhǎng)繩，對(duì)其解的情況的討論就好比順藤摸瓜式地去探尋繩子上每一個(gè)節(jié)點(diǎn).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，按部就班地對(duì)求解過(guò)程進(jìn)行細(xì)致剖析，可以快捷地找到問(wèn)題的癥結(jié)所在，為一些疑難問(wèn)題的解決提供了可以遵循的思維路線，使得學(xué)生的思維有了著陸點(diǎn)，從而大大地提升了解題的效率.

2.強(qiáng)化過(guò)程教學(xué)，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效手段

深度是需要有過(guò)程保證的，無(wú)法想象一個(gè)簡(jiǎn)略的學(xué)習(xí)過(guò)程會(huì)是深度學(xué)習(xí)，因此在設(shè)計(jì)深度學(xué)習(xí)的時(shí)候，要充分豐富知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，以讓學(xué)生的思維有足夠的空間.以分式方程的求解為例，有的學(xué)生能比較熟練地求得方程的解，但根據(jù)解的情況討論字母系數(shù)的取值時(shí)不知如何下手.學(xué)生在解方程時(shí)確實(shí)是一步步按照規(guī)范要求去做，卻為何仍然不能舉一反三，做到靈活應(yīng)用？究其原因，教師教的往往只是解分式方程的“一般套路”，學(xué)生學(xué)到的也只是一個(gè)固定模式，對(duì)求解過(guò)程中的每一步鮮有深入的考究.以問(wèn)題3的（2）為例，在解分式方程的第一步去分母時(shí)就要考慮“x-2”的值可能等于0的問(wèn)題，這便是增根的由來(lái)；同時(shí)，在將整式方程“（1-m）x=2”化為“”時(shí)首先要考慮“1-m”的值可能等于0的問(wèn)題，這便是整式方程無(wú)解產(chǎn)生的地方，同時(shí)導(dǎo)致分式方程無(wú)解.實(shí)踐證明，設(shè)計(jì)基于過(guò)程體驗(yàn)與探究的教學(xué)，注重問(wèn)題導(dǎo)向，強(qiáng)化遷移意識(shí)，通過(guò)豐富的變式實(shí)例，有效地促進(jìn)了學(xué)生深度學(xué)習(xí).

3.通過(guò)教學(xué)重心下移，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)過(guò)程的由空到實(shí)

分式方程解的有關(guān)問(wèn)題，廣泛存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)之中，然而如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，進(jìn)而最大限度地解決學(xué)生學(xué)習(xí)的困難卻是一個(gè)不小的挑戰(zhàn).為了使更多的學(xué)生有所收獲，就要讓教學(xué)重心下移，把思考的任務(wù)下放給學(xué)生，充分給予學(xué)生思考的空間與展示自我的機(jī)會(huì)，拋開(kāi)問(wèn)題本身的繁雜抽象，從充實(shí)強(qiáng)化具體的過(guò)程教學(xué)入手，促使學(xué)生在不斷豐富的過(guò)程中勇敢探究，學(xué)習(xí)過(guò)程便實(shí)現(xiàn)了由空到實(shí)的目的.本節(jié)課在探究對(duì)增根的認(rèn)識(shí)時(shí)，先讓學(xué)生從大膽猜想開(kāi)始，在初步建立認(rèn)知沖突后進(jìn)行實(shí)際求解驗(yàn)證，最后對(duì)主要結(jié)論進(jìn)行總結(jié)升華，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了教學(xué)過(guò)程的豐實(shí)與學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.