朱佳俊, 李吉有，張躍輝

(上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240)

0 引 言

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科本科教學(xué)的重要基礎(chǔ)課程之一，課程的基本內(nèi)容是利用矩陣作為工具來(lái)研究向量空間及其線性變換[1]。線性代數(shù)具有高度的抽象性與廣泛的應(yīng)用性，是人類(lèi)思維高度發(fā)展的象征。在當(dāng)代社會(huì)的科技發(fā)展和工程實(shí)踐中，線性代數(shù)被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、通信、密碼、圖像、建筑等多個(gè)領(lǐng)域[2-5]，是不可替代的數(shù)學(xué)工具，并且它也是學(xué)習(xí)其他代數(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)。因而，讓廣大學(xué)生理解并掌握線性代數(shù)的理論與思想方法具有重要意義。

當(dāng)前世界范圍內(nèi)新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革正在加速進(jìn)行,數(shù)學(xué)學(xué)科作為新工科發(fā)展的基礎(chǔ)和支撐，在培養(yǎng)學(xué)生深厚的數(shù)學(xué)功底的同時(shí)，也應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生們實(shí)踐能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生不僅僅會(huì)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，還能將所學(xué)得的數(shù)學(xué)知識(shí)快速地應(yīng)用于工程實(shí)踐中。

以“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的模式將線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，在教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的能力。通過(guò)在課堂教學(xué)、習(xí)題課教學(xué)、課后作業(yè)等環(huán)節(jié)結(jié)合編程進(jìn)行實(shí)踐教學(xué)，在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容掌握的同時(shí)提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在課程結(jié)束后通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷來(lái)對(duì)教學(xué)過(guò)程和效果進(jìn)行反饋、分析，從而不斷促進(jìn)線性代數(shù)課程的教學(xué)改革。

1 線性代數(shù)教學(xué)中的問(wèn)題

1.1 存在的問(wèn)題

學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程時(shí)，遇到的最大困難是對(duì)抽象的概念難以理解掌握[1]，這也是教好這門(mén)課程所面臨的一個(gè)重要挑戰(zhàn)。如何讓學(xué)生弄懂線性變換的作用，了解什么是向量空間，理解矩陣乘法為什么要這樣定義，這是授課教師需要仔細(xì)思考的問(wèn)題。

目前，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)這門(mén)課程時(shí)，經(jīng)常會(huì)問(wèn)學(xué)習(xí)線性代數(shù)有什么用？這個(gè)問(wèn)題雖然功利，但是僅僅用培養(yǎng)邏輯思維能力和培養(yǎng)欣賞數(shù)學(xué)之美的能力作為答案，學(xué)生自然不甚滿意。這時(shí)候適當(dāng)?shù)膶?shí)際案例能夠更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

線性代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容較多，其中大部分內(nèi)容又是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，教師必須花費(fèi)足夠的課時(shí)才能使學(xué)生理解、掌握這些內(nèi)容。如何在有限的課時(shí)里講好這門(mén)課就成了一個(gè)難題。習(xí)題課在課程的教學(xué)中實(shí)際上扮演著重要角色，它能解答同學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的疑難困惑，幫助同學(xué)們拾遺補(bǔ)缺，鞏固學(xué)生們對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度，提升同學(xué)們對(duì)課程的學(xué)習(xí)效果。但是傳統(tǒng)的習(xí)題課大多停留在助教抄寫(xiě)習(xí)題解答的階段，對(duì)學(xué)生的實(shí)質(zhì)幫助并不大。通過(guò)對(duì)習(xí)題課進(jìn)行改革，在習(xí)題課中添加編程實(shí)踐的環(huán)節(jié)，諸如求逆矩陣，特征值，標(biāo)準(zhǔn)型等的程序算法的實(shí)現(xiàn)步驟，不僅能夠加深同學(xué)們對(duì)其中計(jì)算過(guò)程的理解，還能夠大幅度提高同學(xué)們對(duì)線性代數(shù)理論的學(xué)習(xí)興趣。

1.2 研究現(xiàn)狀

為了提高線性代數(shù)課程的教學(xué)效果，很多學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了不斷的嘗試和研究。文獻(xiàn)[6-9]中研究了Matlab軟件在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[10-11]中從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式和考核環(huán)節(jié)對(duì)線性代數(shù)教學(xué)改革進(jìn)行了探索；鄧勇等[12]探討了“數(shù)學(xué)證明”對(duì)學(xué)習(xí)理解的促進(jìn)作用；王利東等[13]探討了從應(yīng)用實(shí)例出發(fā)的課程教學(xué)模式；郝志峰[14]探討了在課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式；朱琳等[15]對(duì)國(guó)外的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐成果進(jìn)行了總結(jié)分析；師欽賢[16]研究了在課程中開(kāi)展“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式”的教學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教學(xué)環(huán)節(jié)

在教學(xué)過(guò)程中，同學(xué)們?cè)诶斫饩€性代數(shù)的概念時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到困難。主要的障礙來(lái)自于這些概念過(guò)于抽象的特性，而將抽象的概念講明白、講透徹就是對(duì)老師們教學(xué)能力的要求。

回顧人們認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)人們通常是通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)完成對(duì)抽象概念理解的。比如認(rèn)識(shí)樹(shù)這個(gè)概念，當(dāng)然會(huì)有科學(xué)上的定義，但是在實(shí)際生活中，通過(guò)某一棵或者幾棵真實(shí)的樹(shù)的實(shí)例來(lái)學(xué)習(xí)往往會(huì)有更好的學(xué)習(xí)效果。在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)上也概莫如是。

線性變換是線性代數(shù)中的一個(gè)基本而重要的教學(xué)內(nèi)容，其數(shù)學(xué)的定義十分明確：設(shè)U與V是兩個(gè)線性空間，U到V的一個(gè)映射σ如果滿足可加性條件與齊次性條件，則稱(chēng)σ是U到V的線性變換[17]。抽象的定義確實(shí)具有很強(qiáng)的概括性，但是學(xué)生看到這樣的定義很難產(chǎn)生直觀的理解。這時(shí)候結(jié)合編程的展示，通過(guò)一些具體的實(shí)例就可以讓學(xué)生更快地明白什么是線性變換，它有什么作用，進(jìn)而快速掌握這一概念。

圖1 線性變換的作用演示

通過(guò)具體的實(shí)例演示，先讓學(xué)生有了感性的認(rèn)識(shí)，再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的抽象概念，幫助他們理解、掌握抽象的概念，從而取得更好的教學(xué)效果。

大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中希望知道高度抽象的線性代數(shù)理論到底有什么用。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，可以對(duì)部分教學(xué)內(nèi)容采用“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”式來(lái)進(jìn)行。例如在對(duì)矩陣分解這一核心內(nèi)容進(jìn)行講解時(shí)，其中的奇異值分解(SVD)就有著“數(shù)據(jù)壓縮”這一重要的應(yīng)用。

奇異值分解是將任意的m×n階矩陣A分解成為兩個(gè)酉矩陣與對(duì)角陣的乘積，即A=UDV*。其中U是m階酉矩陣，V是n階酉矩陣，D是m×n階對(duì)角陣，D=diag(σ1，σ2，…,σr,0,…,0)m×n，而σ1，σ2，…,σr,0,…,0(共n個(gè))則稱(chēng)為A的奇異值。

(1)

假定取前100個(gè)較大的奇異值，即r=100，則此時(shí)需要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)為100+100×2 560+100×1 920=448 100個(gè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)壓縮率為9.12%。

這是奇異值分解的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但是通過(guò)這樣以“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)方式，以編程為展示手段，既能很好地達(dá)到相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)又能激發(fā)起學(xué)生們學(xué)習(xí)的興趣，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題的能力，拓寬他們的視野，突破知識(shí)的局限。

2.2 習(xí)題課環(huán)節(jié)

在線性代數(shù)的教學(xué)中，習(xí)題課也起著查漏補(bǔ)缺，鞏固學(xué)習(xí)效果，拓寬學(xué)生視野的作用，它是課程教學(xué)的有益補(bǔ)充。但是傳統(tǒng)的習(xí)題課大多停留在助教抄寫(xiě)習(xí)題解答的階段，對(duì)學(xué)生的實(shí)質(zhì)幫助并不大。通過(guò)對(duì)習(xí)題課的改革，來(lái)探求提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果的途徑。

如今，實(shí)際生活中各種計(jì)算問(wèn)題已經(jīng)基本由計(jì)算機(jī)來(lái)具體實(shí)現(xiàn)了，其高效的計(jì)算能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)人們的手工計(jì)算。但是學(xué)生在學(xué)習(xí)課程時(shí)，仍然必須把具體的計(jì)算方式熟練掌握，這不僅是課程的要求，同時(shí)也是計(jì)算能力的鍛煉，因而必要的練習(xí)不能減少或省略。于是考慮利用習(xí)題課的機(jī)會(huì)來(lái)使學(xué)生熟悉、掌握具體的實(shí)踐應(yīng)用。

現(xiàn)有的很多軟件已經(jīng)能夠直接進(jìn)行矩陣的各種變換以及求解，往往只需要一兩個(gè)命令就能實(shí)現(xiàn)，但是這些命令具體是怎么實(shí)現(xiàn)的，學(xué)生并不了解。通過(guò)在習(xí)題課上講解與學(xué)生自身實(shí)踐相結(jié)合，以諸如求轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣、矩陣乘積、特征值、特征向量以及各種矩陣分解等問(wèn)題為實(shí)例，具體實(shí)現(xiàn)這些函數(shù)的功能。學(xué)生可以驗(yàn)證其在解答課后練習(xí)時(shí)用到的具體計(jì)算步驟在函數(shù)算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程中的作用。并且在具體調(diào)試過(guò)程中，也能讓學(xué)生注意到容易被忽略的條件，例如在求逆矩陣時(shí)需要先判斷行列式是否為零等。表1展示了線性代數(shù)課程內(nèi)容與編程相結(jié)合的練習(xí)題，考慮到問(wèn)題的難易程度，分為獨(dú)立完成題和分組完成題。

表1 習(xí)題課練習(xí)題

在學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使其擺脫數(shù)學(xué)就是在紙上不停演算證明的枯燥感，讓他們能熟練掌握解決實(shí)際工程問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具，并且進(jìn)一步鞏固他們對(duì)于具體算法的掌握能力。

3 教學(xué)效果分析

通過(guò)對(duì)所教授的學(xué)生以問(wèn)卷形式的方式進(jìn)行調(diào)研，了解具體教學(xué)成效。參與對(duì)象為本校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院大一學(xué)生，分為兩個(gè)教學(xué)班，共計(jì)100人。

3.1 教學(xué)環(huán)節(jié)調(diào)研

針對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)，就學(xué)生每周課前預(yù)習(xí)時(shí)間、完成作業(yè)時(shí)間、課后復(fù)習(xí)時(shí)間、上課內(nèi)容理解比例這些問(wèn)題作了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2。

由表2可以看出學(xué)生們課前預(yù)習(xí)的習(xí)慣并不好，他們?cè)谕瓿勺鳂I(yè)和課后復(fù)習(xí)上花費(fèi)的時(shí)間較多，在上課內(nèi)容的理解上同學(xué)們反饋一般，這與他們之前的預(yù)習(xí)時(shí)間少有較大關(guān)聯(lián)，而這也直接導(dǎo)致了他們課后需要花費(fèi)更多的時(shí)間來(lái)加深對(duì)課程內(nèi)容的理解和掌握。

3.2 習(xí)題課環(huán)節(jié)調(diào)研

針對(duì)習(xí)題課環(huán)節(jié)，就習(xí)題課對(duì)課程的幫助、學(xué)生對(duì)編程習(xí)題指導(dǎo)的需求、編程語(yǔ)言的選擇這些問(wèn)題作了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表3。

表2 教學(xué)環(huán)節(jié)調(diào)查統(tǒng)計(jì)表

表3 習(xí)題課環(huán)節(jié)調(diào)查統(tǒng)計(jì)表

注：編程語(yǔ)言選擇上有多選情況

由表3可見(jiàn)，同學(xué)們普遍還是認(rèn)為新形式的習(xí)題課對(duì)課程內(nèi)容有助益，但在實(shí)際上課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有較多同學(xué)沒(méi)有編程基礎(chǔ)，在實(shí)際操作中面臨困難，故而他們對(duì)編程習(xí)題的指導(dǎo)需求強(qiáng)烈。而在編程的語(yǔ)言上Matlab和C語(yǔ)言是比較普遍的選擇。

3.3 課程總體效果

針對(duì)課程的總體教學(xué)效果，調(diào)研了學(xué)生們的感興趣比例，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 課程興趣程度調(diào)查統(tǒng)計(jì)表

由表4可以看出本課程還是能激發(fā)大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的，作為基礎(chǔ)性的課程其教學(xué)的目標(biāo)除了給學(xué)生打下扎實(shí)的基礎(chǔ)外，激發(fā)起學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)他們欣賞數(shù)學(xué)之美，也是衡量一門(mén)數(shù)學(xué)課程是否合格的標(biāo)準(zhǔn)之一。

4 結(jié) 語(yǔ)

線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科本科教學(xué)的重要基礎(chǔ)課程之一，其在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面有著重要的作用。通過(guò)在教學(xué)環(huán)節(jié)引入編程的實(shí)踐應(yīng)用，從學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知、知識(shí)的獲取的過(guò)程入手，對(duì)教學(xué)進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，輔以相應(yīng)的習(xí)題課環(huán)節(jié)，加深了學(xué)生對(duì)抽象概念的理解和對(duì)具體計(jì)算過(guò)程的掌握，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)培養(yǎng)他們將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的能力。寓教于樂(lè)，寓學(xué)于用，以期為培養(yǎng)出具有扎實(shí)數(shù)學(xué)功底，而又能解決實(shí)踐問(wèn)題的復(fù)合型人才奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。