王攀攀，鄧先明，徐瑞東，張建文

(中國礦業(yè)大學(xué) 電氣與動力工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

0 引 言

實驗教學(xué)是高等教育的重要組成部分，是高校人才培養(yǎng)的重要手段，在實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、提高教學(xué)質(zhì)量方面有著不可替代的作用[1]。傳統(tǒng)實驗教學(xué)存在許多不足，比如開放時間/空間的限制、設(shè)備數(shù)量的限制等，在一定程度上制約了實驗教學(xué)環(huán)節(jié)的質(zhì)量，以至很難滿足當(dāng)今的教學(xué)需求。為此，許多高校開始研究和建立虛擬仿真實驗平臺[2-4]，這無疑為教學(xué)條件的改善、教學(xué)方法的改革提供了有力支撐[5-6]。虛擬仿真實驗改變了傳統(tǒng)實驗教學(xué)的模式，相當(dāng)于將實驗儀器搬到計算機(jī)上，使學(xué)生能夠方便、安全的進(jìn)行實驗，提高了實驗教學(xué)的效果[7]。

在虛擬仿真實驗中，其核心基礎(chǔ)是各種各樣的仿真模型。異步電動機(jī)模型作為最常用的仿真模型，被廣泛應(yīng)用于《電機(jī)學(xué)》《電機(jī)原理及拖動基礎(chǔ)》《現(xiàn)代電機(jī)控制技術(shù)》《電力拖動自動控制系統(tǒng)》《電氣設(shè)備故障診斷技術(shù)》等課程的實驗中[8-10]。目前常用仿真軟件無法開展更貼近工業(yè)實際的故障狀態(tài)下的仿真實驗，制約了虛擬仿真實驗的應(yīng)用范圍。

匝間短路是異步電動機(jī)最常見的故障之一，約占全部故障的30%[11]，在實踐教學(xué)中電動機(jī)匝間短路故障和模型常被用于各種實驗。目前，電動機(jī)繞組故障建模主要采用多回路法[12-13]，該方法可以分析電動機(jī)定轉(zhuǎn)子繞組內(nèi)外部所有回路的電流，并可以計及定轉(zhuǎn)子繞組的布局、空間位置等因素的影響。但是對于本科教學(xué)該方法過于復(fù)雜、難以理解、且不易采用圖形化編程實現(xiàn)。鑒于此，本文從匝間短路故障的特點出發(fā)，利用故障與繞組電阻和電感的定量關(guān)系，推導(dǎo)出相應(yīng)的修正矩陣，設(shè)計出一種簡潔、易懂的匝間短路故障電機(jī)Simulink仿真模型，并應(yīng)用于實踐教學(xué)。

1 完好異步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型

為了便于分析和研究異步電動機(jī)的數(shù)學(xué)模型，常作如下假設(shè)：① 三相繞組對稱且空間上互差120°，所產(chǎn)生的磁動勢沿氣隙周圍按正弦規(guī)律分布；② 忽略空間諧波和齒槽效應(yīng)；③ 忽略磁飽和及鐵芯損耗；④ 各繞組自感和互感皆為線性；⑤ 不考慮溫度和頻率對電動機(jī)電阻的影響；⑥ 為了便于理解，無論異步電動機(jī)轉(zhuǎn)子是繞線式還是鼠籠式，都將其等效為繞線轉(zhuǎn)子，并折算到定子側(cè)，折算前后的每相匝數(shù)相等。

規(guī)定各繞組電壓、電流、磁鏈的方向符合電動機(jī)慣例和右手螺旋定則。

1.1 abc坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

基于上述假設(shè)和規(guī)定，靜止abc坐標(biāo)下的異步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型主要由電壓方程、磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動方程組成。

電壓方程

(1)

式中:[uasubsucs]T，[iasibsics]T和[λasλbsλcs]T分別為定子繞組在abc坐標(biāo)系下的三相電壓、電流和磁鏈；rs為定子繞組電阻；P為微分算子。

(2)

式(2)是轉(zhuǎn)子電壓方程，其中各變量與轉(zhuǎn)子繞組相對應(yīng)。

磁鏈方程

(3)

(4)

式(3)、(4)分別是定轉(zhuǎn)子磁鏈方程。式中:Lls和Llr分別為定子、轉(zhuǎn)子的漏感；Lss和Lrr分別為定轉(zhuǎn)子繞組的自感；Lsm和Lrm分別為定子三相間的互感和轉(zhuǎn)子三相間的互感；Lsr為定轉(zhuǎn)子之間的最大互感值；θr為定子a相繞組軸線與轉(zhuǎn)子a相繞組軸線間的夾角。由于磁鏈方程中定轉(zhuǎn)子間的互感矩陣是時變的，故異步電動機(jī)模型在靜止abc坐標(biāo)系中是一個時變微分方程。

轉(zhuǎn)矩方程

Te=-npLss[(iasiar+ibsibr+icsicr)sinθr+

(iasibr+ibsicr+icsiar)sin(θr+2π/3)+

(iasicr+ibsiar+icsibr)sin(θr-2π/3)]

(5)

式中，np為極對數(shù)。式(5)表示了電量與機(jī)械量之間的關(guān)系，即電動機(jī)內(nèi)部通過氣隙的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。

運(yùn)動方程

(6)

式中:TL為負(fù)載阻力轉(zhuǎn)矩；J為旋轉(zhuǎn)機(jī)組的轉(zhuǎn)動慣量；ωr=dθr/dt為電動機(jī)轉(zhuǎn)子的電角速度。由運(yùn)動方程可知，當(dāng)負(fù)載不變時，可通過控制電磁轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)電動機(jī)的速度控制。

上述方程表明異步電動機(jī)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型是一組非常復(fù)雜的非線性方程，也是一個高階、非線性、強(qiáng)耦合的多變量系統(tǒng)。這給模型的分析、求解帶來了極大的困難，在實際應(yīng)用中必須加以簡化。

1.2 qd0坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

針對異步電動機(jī)模型的復(fù)雜性，目前常用的簡化方法是坐標(biāo)變換，其基本思路是將交流電動機(jī)的數(shù)學(xué)、物理模型等效變換成類似直流電動機(jī)的模型。下面將三相靜止abc坐標(biāo)系下的異步電動機(jī)模型變換到任意轉(zhuǎn)速坐標(biāo)系qd0中。轉(zhuǎn)換矩陣和其逆變換分別為:

(7)

(8)

式(7～8)中，θ為q軸與a軸的夾角。通過變換矩陣，將電機(jī)電壓、電流、磁鏈等變量轉(zhuǎn)換到qd0坐標(biāo)系，其相應(yīng)的電壓方程、磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程如下：

電壓方程

(9)

式中:[uqsudsu0s]T、[iqsidsi0s]T和[λqsλdsλ0s]T分別為定子繞組在qd0坐標(biāo)系下的三相電壓、電流和磁鏈，ω=dθ/dt為qd0坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)速。

(10)

式(10)為轉(zhuǎn)子電壓方程，其中各變量與轉(zhuǎn)子繞組相對應(yīng)。

磁鏈方程

(11)

(12)

轉(zhuǎn)矩方程

(13)

式(9～13)即為qd0坐標(biāo)系下的完好異步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型。在磁鏈方程中，電感矩陣系數(shù)為常數(shù)，并且許多項都等于0，表明了坐標(biāo)變換消除了電感系數(shù)的時變性，減少了多變量之間的耦合，因此簡化了電機(jī)數(shù)學(xué)模型。

2 匝間短路故障建模

匝間短路故障會導(dǎo)致故障相的有效線圈匝數(shù)減少，進(jìn)而使得三相定子繞組不再平衡。為了便于分析和推導(dǎo)，假設(shè)定子繞組為星型連接，且a相發(fā)生短路故障，具體如圖1所示。

圖1 定子a相繞組匝間短路故障示意圖

當(dāng)a相發(fā)生Nf匝短路故障時，不但使a相自身的電阻和電感值發(fā)生變化，同時還會引起定子相間互感和定轉(zhuǎn)子間的互感發(fā)生變化。在推導(dǎo)匝間短路故障之前先定義一個故障因子:

Fsa=1-Nf/Ns

(14)

式中,Ns為定子每相繞組線圈的總匝數(shù)。

根據(jù)故障因子的定義，在abc靜止坐標(biāo)系下，定子電阻矩陣變?yōu)椋?/p>

(15)

利用式(7)和式(8)，將故障定子繞組電阻矩陣變換到qd0坐標(biāo)系，則為：

(16)

匝間短路故障除了對定子電阻有影響，同時對定子繞組自感也有影響。根據(jù)故障因子的定義，F(xiàn)saNs為a相發(fā)生匝間短路故障后的有效繞組匝數(shù)。利用電機(jī)線圈匝數(shù)與電感值的關(guān)系可知，故障情況下定子自感矩陣在abc坐標(biāo)下為[14]：

(17)

其在qd0坐標(biāo)系下的表達(dá)式為：

(18)

式中:

Lss22=3(Lls+Lss)-3Lsm

同理，可得定轉(zhuǎn)子之間的互感矩陣為：

(19)

式(16)、(18)和(19)即為發(fā)生a相匝間短路后對完好電機(jī)參數(shù)的修正矩陣。而轉(zhuǎn)子電阻與轉(zhuǎn)子自感則保持不變，這是因為定子匝間短路故障并不會影響轉(zhuǎn)子自身的參數(shù)。

(20)

(21)

由于在異步電動機(jī)中rs比XL要小得多，因此可將rs忽略，從而得到中心點電壓與相電壓的近似關(guān)系：

(22)

在實際匝間短路故障中，短路匝數(shù)通常較少，甚至只有1-2匝，因此故障因子Fsa往往接近于1。比如在本文后續(xù)實驗中，即使短路匝數(shù)多達(dá)10匝，F(xiàn)sa仍能達(dá)到0.938。根據(jù)式(22)可知，此時中性點電位偏移較小，不到相電壓的5%，如果仍采用式(9)作為模型的定子電壓方程，雖然會引起誤差，但是在工程上仍可以接受。但是對于特別嚴(yán)重的匝間短路故障，由于中性點電位偏移較大，式(9)將不再適用，必須重新構(gòu)建電壓方程。其他負(fù)載下的中性點電壓依據(jù)同樣思路也可得到類似結(jié)論，文獻(xiàn)[14]中的分析和實驗也恰好驗證了這一點。

本文主要考慮實際中較為普遍的、短路匝數(shù)較少的情況。在此種故障下，整個故障電動機(jī)的數(shù)學(xué)模型只需將前述修正矩陣分別代替電壓方程和磁鏈方程中的電阻矩陣和電感矩陣即可。

3 匝間短路故障電動機(jī)的Simulink實現(xiàn)

Simulink是Matlab下面一種圖形化仿真工具包，提供了交互式圖形化環(huán)境和可定制模塊庫，能夠?qū)討B(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和綜合分析。在Simulink中，無需大量編寫程序，而只需通過簡單、直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的仿真系統(tǒng)。同時Simulink具有非常高的開放性，可以通過框圖形式將模型表示出來，并可對仿真結(jié)果進(jìn)行可視化圖形顯示。因此，Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰、貼近實際、靈活高效等優(yōu)點，是學(xué)習(xí)、分析與設(shè)計電機(jī)模型強(qiáng)有力的工具。

在Simulink模型庫中已有完好異步電動機(jī)模塊，因此只需從模型庫中拖拽出相應(yīng)電動機(jī)模塊，設(shè)置相關(guān)參數(shù)，即可實現(xiàn)相關(guān)電路的仿真。但是對于故障電動機(jī)模型，則需要根據(jù)數(shù)學(xué)模型重新搭建。圖2是采用Simulink軟件編程實現(xiàn)的定子匝間短路故障電動機(jī)模型，可分為3個部分，6個模塊：abc轉(zhuǎn)qd0模塊、qd0轉(zhuǎn)abc模塊、qd0各軸變量計算模塊、轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速計算模塊。

圖2 匝間短路故障電機(jī)Simulink模型

由于采用的是qd0坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)模型，因此首先需要利用坐標(biāo)變換矩陣式(7)將輸入電壓轉(zhuǎn)換到靜止qd0坐標(biāo)系，具體如圖3所示。與其對應(yīng)的逆變換由于結(jié)構(gòu)相似，不再贅述。

圖3 abc轉(zhuǎn)qd0模塊

圖4 q軸變量計算模塊

第3部分是轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速模塊，如圖5所示，先利用轉(zhuǎn)矩方程式(13)計算出電磁轉(zhuǎn)矩，然后利用運(yùn)動方程式(6)求解出轉(zhuǎn)速。

圖5 轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速計算模塊

4 模型驗證及教學(xué)應(yīng)用

4.1 匝間短路故障電動機(jī)模型驗證

為了驗證所建模型的有效性，選擇一臺型號為Y90S-4的異步電動機(jī)進(jìn)行實驗驗證。該電機(jī)功率為1.1 kW，定子槽數(shù)為24，每槽導(dǎo)體數(shù)為81。

首先對完好實驗電機(jī)進(jìn)行堵轉(zhuǎn)和空載實驗，獲取模型中需要的電阻、電感參數(shù)；然后，將定子a相繞組金屬性短接10匝，并使其工作在額定負(fù)載下。采集電動機(jī)三相定子電流，其波形如圖6所示。

圖6 實際電動機(jī)三相電流

從圖6可以看出，a相繞組因為存在匝間短路故障，因此其電流幅值明顯要大于其他兩相，這也是匝間短路故障最明顯的一個特征[15]。

利用實際電動機(jī)參數(shù)對模型進(jìn)行設(shè)置，并利用式(14)計算出匝間短路故障的嚴(yán)重因子。在Simulink中對匝間短路故障電機(jī)模型進(jìn)行仿真分析，其3相電流如圖7所示。

圖7 仿真模型三相電流

對比圖6和圖7，實際電動機(jī)的電流與模型仿真電流不但在幅值上很接近，同時在故障特征上的表現(xiàn)也幾乎完全一樣，這充分說明了所建電機(jī)模型的準(zhǔn)確性和可行性。

除了容易檢測的電流信號，仿真模型還可以產(chǎn)生其它不容易檢測的物理量，比如定轉(zhuǎn)子磁鏈、電磁轉(zhuǎn)矩等。圖8即為故障電動機(jī)剛啟動5 s的電磁轉(zhuǎn)矩波形。從圖中可以看出，故障電動機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩，與完好電動機(jī)相比，其波動幅度大幅增加，且幅值波動的頻率為2倍電源頻率，這些都是匝間短路故障的特征[16]。

圖8 仿真電磁轉(zhuǎn)矩

基于仿真實驗的優(yōu)勢，故障電動機(jī)模型的建立一方面可以擴(kuò)展傳統(tǒng)課程的實驗教學(xué)內(nèi)容，比如在《電機(jī)學(xué)》和《電機(jī)原理及拖動基礎(chǔ)》等課程中開展一些更接近實際情況的故障電動機(jī)實驗；另一方面，也可以為一些新設(shè)課程，比如《電氣設(shè)備故障診斷技術(shù)》，開發(fā)一些具有一定理論深度的實驗，為后續(xù)研究生教育作鋪墊。

4.2 教學(xué)應(yīng)用

本節(jié)以《電機(jī)原理及拖動基礎(chǔ)》和《電氣設(shè)備故障診斷技術(shù)》課程的綜合實訓(xùn)為例，設(shè)計基于所提故障電機(jī)模型的“虛實結(jié)合”教學(xué)流程，具體如圖9所示。

圖9 “虛實結(jié)合”的實踐教學(xué)流程

步驟1完好電動機(jī)實物實驗。3人一組開展實際完好電機(jī)空載、滿載和堵轉(zhuǎn)實驗，獲取電動機(jī)參數(shù)，體驗實際電機(jī)的各種運(yùn)行狀態(tài)。

步驟2匝間短路故障電動機(jī)實物實驗(僅有1套實驗臺，因此該實驗為演示性實驗)。教師拆裝電動機(jī)，將a相定子繞組的10匝線圈進(jìn)行金屬性短路，并作空載、滿載和堵轉(zhuǎn)實驗。加深學(xué)生對電動機(jī)結(jié)構(gòu)、匝間短路故障的感性認(rèn)識，讓學(xué)生認(rèn)識到電機(jī)故障前后運(yùn)行狀態(tài)的差異，以及噪聲、振動等方面的不同。

步驟3建立實驗電動機(jī)仿真模型。每位學(xué)生在計算機(jī)上利用實驗所得電動機(jī)參數(shù)，建立實驗電動機(jī)的仿真模型。體驗實際電動機(jī)與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系。

步驟4仿真分析電動機(jī)電磁關(guān)系。加深理解電動機(jī)工作原理、等效電路等理論知識，體驗電動機(jī)故障前后電磁關(guān)系的變化。

步驟5仿真分析電動機(jī)工作特性。加深理解電動機(jī)功率、轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、電流等各個量間的關(guān)系，體驗匝間短路故障對電機(jī)性能的影響。

步驟6匝間短路故障機(jī)理分析。從定子電流、氣隙磁鏈、電磁轉(zhuǎn)矩，逐步到轉(zhuǎn)子電流進(jìn)行分析；深刻理解匝間短路故障對定子電流、氣隙磁鏈、電磁轉(zhuǎn)矩等物理量的影響。

從步驟3～步驟6，可以在實驗室中開展，也可以在課外其他地方進(jìn)行，克服了實踐教學(xué)在時間、空間上的限制。上述實施過程不但能充分利用原有實驗平臺，同時還擴(kuò)展了實驗內(nèi)容和實驗深度，并且能夠讓每位學(xué)生都參與到實驗中來，避免了許多學(xué)生對實驗參與度不高的問題，大大提高了教學(xué)效果。

5 結(jié) 語

針對虛擬仿真實驗的需求，設(shè)計了一種基于Simulink的匝間短路故障電動機(jī)模型，并將其應(yīng)用于“虛實結(jié)合”的綜合實訓(xùn)教學(xué)。通過與實際故障電動機(jī)對比驗證，結(jié)果表明：該模型不但能夠準(zhǔn)確仿真匝間短路故障下電動機(jī)的各個物理量，同時具有結(jié)構(gòu)簡單、容易理解、方便實現(xiàn)等優(yōu)點。故障模型的開發(fā)與應(yīng)用擴(kuò)展了實驗教學(xué)的內(nèi)容和深度，并降低了實驗成本，同時也提高了學(xué)生的參與度與教學(xué)效果。此外，該模型雖是采用Simulink軟件實現(xiàn)的，但是其設(shè)計思路可為其它仿真軟件的電動機(jī)建模提供參考。