陳 燕 殷國富 陳永洪

1.四川大學空天科學與工程學院，成都，6100652.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044

0 引言

工業(yè)機器人、數(shù)控機床分度系統(tǒng)、太陽能追光系統(tǒng)、雷達系統(tǒng)等領域強調系統(tǒng)跟蹤的精確性和定位的準確性，要求傳動副的側隙可調至較小甚至零側隙，且在磨損后磨損量可補償。變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動屬于一次包絡環(huán)面蝸桿傳動，繼承了漸開面包絡環(huán)面蝸桿傳動(TI蝸桿傳動)的優(yōu)點，瞬時嚙合齒對多，承載能力高；蝸輪采用兩側螺旋角不等的鋼質變齒厚漸開線齒輪，輪齒齒厚沿其軸向逐漸變化，基于螺旋面的軸向移動與周向轉動等效原理，可通過軸向移動變齒厚漸開線齒輪來實現(xiàn)傳動副的側隙調整和磨損補償，滿足上述領域對精密傳動的要求。

國內(nèi)外學者對精密蝸桿傳動進行了大量的研究。王進戈等[1-3]提出了無側隙雙滾子包絡環(huán)面蝸桿傳動，研究了加工和裝配誤差對雙滾子包絡環(huán)面蝸桿嚙合性能的影響，并提出了一種通過改變砂輪半徑來減小制造誤差的方法。李陽等[4]提出了基于事物特性表的零件快速設計方法，對三維CAD平臺進行了二次開發(fā)，創(chuàng)建了無側隙雙滾子包絡環(huán)面蝸桿的快速設計和建模系統(tǒng)。BAIR等[5]研究了壓力角及齒形誤差對雙導程蝸桿傳動精度的影響規(guī)律。FALAH等[6]分析了傳動誤差對精密圓柱蝸桿傳動副齒間載荷和齒面應力分布的影響。KACALAK等[7]提出了剖分蝸輪傳動，將蝸輪沿中間平面剖分成兩部分，周向旋轉兩個半片蝸輪使其錯位，進而可實現(xiàn)傳動副齒側間隙調整和齒面磨損量補償。黃修良[8]發(fā)明了一種基于徑向調整原理的蝸輪蝸桿機構，通過調節(jié)螺桿和調節(jié)套的配合來實現(xiàn)傳動副齒間間隙的調整。于春建等[9]對某大型數(shù)控轉臺的蝸桿副嚙合側隙進行了優(yōu)化，用雙導程蝸桿代替原普通蝸桿，并與改修好的蝸輪相嚙合以恢復轉臺精度。董龍治[10]對新型消隙式OTT蝸桿傳動的消隙原理、建模方法、運動學和動力學特征進行了全面研究。張光輝等[11-13]提出了變齒厚平面齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動，研究了鋼制變齒厚平面蝸輪副的加工工藝、成形新方法，對其關鍵技術進行了理論分析和實驗驗證，并對某圓柱蝸桿傳動電梯曳引機進行了剖析，將側隙可調式變齒厚平面蝸輪包絡環(huán)面蝸桿副成功應用到曳引機上。根據(jù)側隙調整方式和磨損補償原理，上述精密蝸桿傳動可分為五類[14]，分別為基于中心距的徑向調整類、基于蝸桿的軸向移動類、基于蝸桿的周向旋轉類、基于蝸輪的軸向移動類、基于蝸輪的周向旋轉類，其中基于蝸輪的軸向移動類的精密蝸桿傳動具有多齒線嚙合、側隙可調整、磨損量可補償、制造精度高等優(yōu)點，并具有良好的精密重載性能。

筆者已提出了一種新型基于蝸輪軸向移動的精密重載蝸桿傳動副(即變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動[15])，由一變齒厚漸開線齒輪與其包絡而成的環(huán)面蝸桿嚙合組成傳動副，屬于基于蝸輪的軸向移動類的精密蝸桿傳動。本文針對這一新型傳動形式，建立傳動副數(shù)學模型，推導嚙合幾何學方程，研究主要設計參數(shù)對嚙合性能的影響，加工傳動副樣件，并通過傳動副對檢試驗考察接觸斑點以驗證分析方法。

1 傳動副數(shù)學模型

1.1 變齒厚漸開線齒輪齒面

變齒厚漸開線齒輪的標架設置如圖1所示，其中{σ1}(o1x1y1z1)為變齒厚漸開線齒輪固連標架，其底矢為(i1,j1,k1)；βR、βL分別為變齒厚漸開線齒輪右齒面和左齒面的分度圓螺旋角，且βL>βR；rb為齒輪基圓半徑，E為左齒面漸開線齒廓線起始點，δ為o1E與x1軸的夾角，A為漸開線上任意一點M的法線與基圓的切點；取∠Eo1A為參變數(shù)u，θ為點M繞z1軸轉過的角度；設M點轉過θ角到達M′處，A′為M′點的法線與基圓的切點，有∠Ao1A′=θ。由于變齒厚漸開線齒輪的兩側齒面螺旋角不相等，其齒面具有不對稱性，因此應分別對兩側齒面進行獨立分析。

(a)變齒厚漸開線齒輪

(b)左右螺旋角 (c)齒面端截形圖1 漸開線齒輪標架設置Fig.1 Coordinates system setting of involute gear

變齒厚漸開線齒輪左右齒面為非對稱關系，兩側齒面數(shù)學模型不一致，但幾何學原理相同，因此,僅以左齒面為例來推導系列方程，右齒面的推導方法與左齒面的推導方法相同。變齒厚漸開線齒輪的左齒面方程為

(1)

1.2 包絡過程標架設置

以變齒厚漸開線齒輪齒面為母面，包絡形成環(huán)面蝸桿齒面，其包絡展成過程如圖2所示，其中{σm}(omxmymzm)、{σn}(onxnynzn)為空間固定標架，其底矢分別為(im,jm,km)和(in,jn,kn)；{σ1}、{σ2}為運動標架，{σ2}的底矢為(i2,j2,k2)；變齒厚漸開線齒輪與標架{σ1}固連，并繞z1軸以角速度ω1轉動，包絡環(huán)面蝸桿與標架{σ2}固連，并繞z2軸以角速度ω2轉動；φ1、φ2分別為變齒厚漸開線齒輪和包絡環(huán)面蝸桿某瞬時的轉動位移，且有φ2/φ1=ω2/ω1=Z1/Z2=i21，其中Z1為變齒厚漸開線齒輪齒數(shù)，Z2為包絡環(huán)面蝸桿頭數(shù)，i21為傳動比；a為傳動副中心距。

圖2 包絡過程的標架設置Fig.2 Coordinates system setting of enveloping

1.3 傳動副的嚙合關系

依據(jù)齒輪嚙合原理[16]，通過坐標變換及底矢轉換，可得運動標架{σ1}下的左齒面嚙合點處的相對速度矢量：

(2)

利用坐標變換，可得運動標架{σ1}下的相對角速度矢量：

(3)

兩共軛齒面能夠連續(xù)地滑動接觸(即不脫離也不干涉[16])，結合式(1)和式(2)，可得漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿左側齒面的嚙合函數(shù)：

(4)

結合式(1)和式(4)，可得變齒厚漸開線齒輪左齒面的接觸線方程：

(5)

將式(5)變換到坐標系{σ2}中，可得包絡環(huán)面蝸桿左齒面方程：

(6)

結合式(1)和式(4)，并轉換到變齒厚漸開線齒輪的固連坐標系下，可得左齒面包絡過程中在標架{σ1}下的二類界限曲線方程：

(7)

根據(jù)齒輪嚙合原理[16]，可得變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動副左側齒面的一類界限函數(shù)：

(8)

DL=ELGL-(FL)2

式中，EL、FL、GL為環(huán)面左齒面的第一類基本量。

在坐標系{σ1}中，左齒面嚙合點在接觸線上的法矢可表示為

(9)

結合式(4)、式(8)、式(9)，可得變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動左齒面的法向誘導法曲率：

(10)

變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動左齒面的潤滑角可表示為

(11)

利用坐標變換，整理可得運動標架{σ1}下的左齒面嚙合點處的速度和矢量:

(12)

根據(jù)相對卷吸速度的定義，并結合式(9)、式(12)，可得變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿左齒面嚙合點處相對卷吸速度：

(13)

2 主要設計參數(shù)對嚙合性能的影響

2.1 螺旋角對嚙合性能的影響

通過改變螺旋角β的數(shù)值來計算4組算例，如表1所示。其他幾何參數(shù)在4組算例中均相同，具體如下：中心距a=93.8 mm，齒輪齒數(shù)Z1=62, 蝸桿頭數(shù)Z2=1，法向模數(shù)mt=2.5 mm, 壓力角α=20°,基圓半徑rb=72.83 mm, 齒形角δ=2.36°,蝸桿有效長度l=48 mm, 齒輪寬度b=30mm,旋向為右旋。

表1 幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters

由圖3可以看出，隨著螺旋角的增大，齒面接觸線分布更加均勻，但同時嚙合的齒數(shù)逐漸減少，實際嚙合區(qū)域也逐漸減小，整體來看，右齒面嚙合區(qū)域大于左齒面嚙合區(qū)域，故在變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動副中，適中的螺旋角會獲得優(yōu)異的接觸線分布和接觸區(qū)域。

(a)βL=2°,βR=1°(b)βL=4°,βR=3°

(c)βL=6°,βR=5°(d)βL=8°,βR=7°圖3 齒面接觸線與接觸區(qū)域隨螺旋角的變化情況Fig.3 Contact lines and areas with different helix angles

為研究螺旋角對法向誘導法曲率、潤滑角及相對卷吸速度的影響，在每條接觸線上取5個點，其中3個點分別是每條接觸線與齒頂圓、分度圓、齒根圓的交點，另外2個點分別是接觸線和齒頂圓與分度圓中間值、齒根圓與分度圓中間值的交點，如圖4所示，后述內(nèi)容均遵從該取點規(guī)則。

圖4 取點示意圖Fig.4 Schematic diagram of points taken

基于變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動副的共軛齒面誘導法曲率計算數(shù)學模型和潤滑角計算數(shù)學模型，利用MATLAB軟件求解非線性方程，得到傳動副嚙合齒面間的法向誘導法曲率、潤滑角及相對卷吸速度隨螺旋角的變化情況，分別見圖5～圖7。分析結果表明：嚙合齒面出口的法向誘導法曲率值小于入口處的法向誘導法曲率值，隨著螺旋角的增大，法向誘導法曲率略有減??；齒頂圓附近的潤滑角比齒根圓附近的潤滑角大，潤滑角在出口處更接近90°，隨著螺旋角的增大，潤滑角減??；隨著螺旋角的增大，相對卷吸速度增大，大的相對卷吸速度有利于形成動壓油膜，即大螺旋角有利于形成動壓油膜。

2.2 傳動比對嚙合性能的影響

由于環(huán)面蝸桿頭數(shù)、變齒厚漸開線齒輪齒數(shù)的改變都會引起傳動比的變化，且蝸桿頭數(shù)變化會引起傳動比的急劇變化，因此，考慮在蝸桿頭數(shù)不變且中心距一定情況下，分析變齒厚漸開線齒輪齒數(shù)變化引起傳動比變動對嚙合性能的影響，螺旋角以表1中算例C的取值為基準，其余幾何參數(shù)與前文相同。在蝸桿頭數(shù)和中心距不變的情況下，當變齒厚漸開線齒輪齒數(shù)發(fā)生變化時，分度圓直徑將發(fā)生變化，從而導致蝸桿喉部中徑也將發(fā)生變化，對應的變化參數(shù)如表2所示。

表2 各算例變化的幾何參數(shù)Tab.2 Geometric parameters of various examples

在變化過程中，蝸桿喉部中徑應滿足如下強度和剛度條件[11]：

d2≥0.5a0.875+2hf

(14)

式中，hf為齒根高。

(a)i21=61 (b)i21=62

(c)i21=63 (d)i21=65圖8 齒面接觸線與接觸區(qū)域隨傳動比的變化情況Fig.8 Contact lines and areas with different transmission ratios

變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動副的齒面接觸線及接觸區(qū)域隨傳動比的變化情況如圖8所示。分析結果表明：隨著傳動比的增大，接觸線分布相對更加均勻，分布范圍增大，同時嚙合的齒數(shù)增多，實際嚙合區(qū)域增大，同時中間非嚙合區(qū)域減小。但在蝸桿頭數(shù)一定的情況下，隨著傳動比的增大，蝸桿喉部中徑減小，蝸桿的強度和剛度可能不滿足式(14)的要求，故在變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動副中，在蝸桿喉部中徑許用值范圍內(nèi)，變齒厚漸開線齒輪齒數(shù)或傳動比應選較大值，即較大的傳動比會獲得優(yōu)異的接觸線分布和接觸區(qū)域。

傳動副嚙合齒面間的誘導法曲率、潤滑角及相對卷吸速度隨傳動比的變化情況分別見圖9～圖11。分析結果表明：嚙合齒面出口的法向誘導法曲率值小于入口處的法向誘導法曲率值，隨著傳動比的增大，法向誘導法曲率減小；齒頂圓附近的潤滑角比齒根圓附近的潤滑角大，潤滑角在出口處更接近90°，隨著傳動比的增大，潤滑角增大；隨著傳動比的增大，相對卷吸速度略有增大，大的相對卷吸速度有利于形成動壓油膜，即大傳動比有利于形成動壓油膜。

2.3 法向模數(shù)對嚙合性能的影響

螺旋角以表1中算例C的取值為基準，其余幾何參數(shù)與前文一致，通過改變法向模數(shù)的大小來研究其對嚙合性能的影響。在保持中心距和變齒厚漸開線齒輪齒數(shù)一定的情況下，隨著模數(shù)的增大，變齒厚漸開線齒輪分度圓直徑增大，且環(huán)面蝸桿喉部中徑減小，環(huán)面蝸桿喉部中徑應滿足式(14)的要求。

傳動副的齒面接觸線及接觸區(qū)域隨法向模數(shù)的變化情況如圖12所示。分析結果表明：隨著法向模數(shù)的增大，接觸線分布相對更加均勻，分布范圍明顯增大，同時嚙合的齒數(shù)增多，實際嚙合區(qū)域明顯增大，同時中間非嚙合區(qū)域明顯減小。但在中心距和變齒厚漸開線齒輪齒數(shù)一定的情況下，隨著法向模數(shù)的增大，變齒厚漸開線齒輪分度圓直徑增大，環(huán)面蝸桿喉部中徑逐漸減小，環(huán)面蝸桿的強度和剛度可能不滿足式(14)的要求，故在變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動副中，在蝸桿喉部中徑許用值范圍內(nèi)，法向模數(shù)應選較大值，即較大的法向模數(shù)會獲得優(yōu)異的接觸線分布和接觸區(qū)域。

傳動副嚙合齒面間的法向誘導法曲率、潤滑角及相對卷吸速度隨法向模數(shù)的變化情況分別見圖13～圖15。分析結果表明：嚙合齒面出口的法向誘導法曲率值小于入口處出口的法向誘導法曲率值，隨著法向模數(shù)的增大，法向誘導法曲率減??；齒頂圓附近的潤滑角比齒根圓附近的潤滑角大，潤滑角在出口處更接近90°，隨著法向模數(shù)的增大，潤滑角明顯增大；隨著法向模數(shù)的增大，相對卷吸速度增大，有利于形成動壓油膜，即較大的法向模數(shù)有利于形成動壓油膜。

(a)mt=2.00 mm (b)mt=2.25 mm (c)mt=2.50 mm (d)mt=2.75 mm圖12 齒面接觸線與接觸區(qū)域隨法向模數(shù)的變化情況Fig.12 Contact lines and areas with different normal moduli

(a)mt=2.00 mm (a)mt=2.00 mm (a)mt=2.00 mm

(b)mt=2.25 mm (b)mt=2.25 mm (b)mt=2.25 mm

(c)mt=2.50 mm (c)mt=2.50 mm (c)mt=2.50 mm

(d)mt=2.75 mm (d)mt=2.75 mm (d)mt=2.75 mm

圖13 法向模數(shù)對法向誘導法曲率的影響圖14 法向模數(shù)對潤滑角的影響圖15 法向模數(shù)對相對卷吸速度的影響

Fig.13 Influence of normal moduluson normal induced curvatureFig.14 Influence of normal moduluson lubrication angleFig.15 Influence of normal moduluson relative entrainment speed

2.4 壓力角對嚙合性能的影響

螺旋角以表1中算例C的取值為基準，其余幾何參數(shù)與前文一致，通過改變壓力角的大小來研究其對嚙合性能的影響。變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動副的齒面接觸線及接觸區(qū)域隨壓力角的變化情況如圖16所示。分析結果表明：壓力角較小(α=15°)時，靠近齒根部分沒有接觸線，隨著壓力角的增大，接觸線分布相對更加均勻，分布范圍增大，同時嚙合的齒數(shù)增多，實際嚙合區(qū)域增大，同時中間非嚙合區(qū)域減小，故在變齒厚漸開線齒輪包絡環(huán)面蝸桿傳動副中，壓力角應選較大值，即較大的壓力角會獲得優(yōu)異的接觸線分布和接觸區(qū)域。

傳動副嚙合齒面間的法向誘導法曲率、潤滑角及相對卷吸速度隨壓力角的變化情況見圖17～圖19。分析結果表明：嚙合齒面出口的法向誘導法曲率值小于入口處的法向誘導法曲率值，隨著壓力角的增大，法向誘導法曲率減??；齒頂圓附近的潤滑角比齒根圓附近的潤滑角大，潤滑角在出口處更接近90°，隨著壓力角的增大，潤滑角略微增大；隨著壓力角的增大，相對卷吸速度增大，有利于形成動壓油膜，即大壓力角有利于形成動壓油膜。

(a)α=15.0° (b)α=17.5° (c)α=20.0° (d)α=22.5°圖16 齒面接觸線與接觸區(qū)域隨壓力角的變化情況Fig.16 Contact lines and areas with different pressure angles

(a)α=15.0° (a)α=15.0° (a)α=15.0°

(b)α=17.5° (b)α=17.5° (b)α=17.5°

(c)α=20.0° (c)α=20.0° (c)α=20.0°

(d)α=22.5° (d)α=22.5° (d)α=22.5°

圖17 壓力角對法向誘導法曲率的影響圖18 壓力角對潤滑角的影響圖19 壓力角對相對卷吸速度的影響

Fig.17 Influence of pressure angleon normal induced curvatureFig.18 Influence of pressure angleon lubrication angleFig.19 Influence of pressure angleon relative entrainment speed

3 實驗

綜合考慮各參數(shù)對嚙合性能的影響，在德馬吉DMU60 mono BLOCK五軸聯(lián)動立式加工中心上進行環(huán)面蝸桿的銑削加工，如圖20a所示；變齒厚漸開線齒輪則采用先滾齒再磨齒的加工方法，在Y3180滾齒機按照螺旋角β=5.5°進行滾齒加工，然后使用陸聯(lián)LUREN LFG-3540臥式齒輪成形磨床，分別以螺旋角β=6°、β=5°對變齒厚漸開線齒輪左右齒面進行成形磨齒加工，如圖20b所示。

(a)環(huán)面蝸桿加工(b)變齒厚漸開線齒輪加工圖20 樣件加工Fig.20 Sample processing

在成都成量工具集團有限公司的SNY3單面嚙合齒輪綜合檢測儀上進行傳動副對檢試驗，傳動副接觸斑點如圖21所示，接觸區(qū)域分布與圖3c中的理論分析結果一致。由蝸輪齒面接觸斑點可以看出，傳動副右側齒面接觸區(qū)域更大，斑點分布更好。

圖21 傳動副接觸斑點Fpg.21 Contact spot of the transmission pair

4 結論

(1)適當?shù)穆菪?、較大的傳動比、較大的法向模數(shù)、較大的壓力角會獲得優(yōu)異的接觸線分布和接觸區(qū)域，但要綜合考慮傳動比和法向模數(shù)對蝸桿喉部中徑的影響。

(2)隨著螺旋角的增大，誘導法曲率略有減小，潤滑角減小，相對卷吸速度增大；隨著傳動比的增大，法向誘導法曲率減小，潤滑角增大，相對卷吸速度略有增大；隨著法向模數(shù)的增大，法向誘導法曲率減小，潤滑角明顯增大，相對卷吸速度增大；隨著壓力角的增大，法向誘導法曲率減小，潤滑角略微增大，相對卷吸速度增大。

(3)兩側的螺旋角的不同導致兩側齒面的嚙合質量不同，且右側齒面的嚙合質量優(yōu)于左側的嚙合質量。

(4)傳動副樣件接觸斑點與其理論分析結果一致，右側齒面接觸斑點分布更好。