趙萬良，楊 浩，王 偉，李紹良，成宇翔，宋麗君

(1.南京理工大學，南京 210094；2上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；3.上海慣性工程技術(shù)研究中心，上海 201109；4.西安建筑科技大學，西安 710055)

0 引言

半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyroscope， HRG)是一種高精度、高可靠性、長壽命的慣導級固體陀螺儀，通常由熔融石英諧振子、檢測基座和激勵罩三部分組成。它是利用半球諧振子的振動駐波(振動頻率通常為4000～8000Hz)進動效應來感測陀螺載體旋轉(zhuǎn)的一種振動陀螺，目前已在航天、航海、戰(zhàn)術(shù)等領(lǐng)域獲得了廣泛的應用[1-4]。根據(jù)測量角速度或者角度，半球諧振陀螺可分為力平衡和全角兩種工作模式。全角模式是一種新型半球諧振陀螺工作模式，在該工作模式下，諧振子上的振動駐波像傅科擺一樣自由進動，駐波的進動角θ與陀螺載體的轉(zhuǎn)動角φ呈嚴格的比例關(guān)系

θ=kφ

其中,k表示進動因子。

工作在全角模式下的半球諧振陀螺有以下技術(shù)特點：首先能夠直接對轉(zhuǎn)動角度進行測量，可有效減小由角速度隨機游走帶來的測量誤差積累；其次由于無需力平衡作用抵消角速度引起的進動，理論上具有無限的檢測帶寬和動態(tài)范圍；另外由于進動因子僅取決于諧振子結(jié)構(gòu)，因此具有極高的標度因子穩(wěn)定度和線性度。

但為了使諧振子的振動駐波自由進動，要求諧振子的激勵方式不能綁定駐波方位，這使得全角模式下半球諧振陀螺的控制更加復雜。本文針對全角模式下半球諧振陀螺的控制理論、控制系統(tǒng)以及測量結(jié)果進行了介紹。

1 半球諧振陀螺全角模式控制理論

1.1 參數(shù)激勵下的動力學方程

為實現(xiàn)全角模式半球諧振陀螺的速率積分功能，使諧振子駐波能夠自由進動，由于傳統(tǒng)力平衡模式的位置激勵會使駐波綁定，不再適用于全角模式，因而須對諧振子采用參數(shù)激勵方式。為便于計算，采用環(huán)形模型進行介紹。設(shè)參數(shù)激勵電壓為V=V0cosωt，則參數(shù)激勵條件下，環(huán)形模型諧振子的二階動力學方程為

(1)

w(φ,t)=x(t)cos2φ+y(t)sin2φ

(2)

將式(2)代入方程式(1)中，并使用布勃諾夫-加廖爾金法，得到方程組為

(3)

其中，Ω為載體平臺轉(zhuǎn)動速度，k為諧振子進動因子，對于環(huán)形模型k=0.4，ω0為陀螺諧振子固有振動頻率，x和y為2個相互正交的信號軸向上的振動信號。在半球諧振陀螺中，x和y的幾何放置位置相差45°。方程式(3)的解可以寫為[5-8]

(4)

得出慢變量P、A、Q、B的演化方程為

(5)

1.2 參數(shù)激勵下的穩(wěn)定邊界條件

為使諧振子能夠存在有限的穩(wěn)定振動，要求

(6)

即

(7)

式(7)即確定了參數(shù)激勵下諧振子的穩(wěn)定邊界條件。

如圖1所示，在雙曲線內(nèi)的區(qū)域Ⅰ上，諧振子振動理想條件下將無限增長；在雙曲線外的區(qū)域Ⅱ上，諧振子振動將逐漸衰減；當且僅當激勵參數(shù)在穩(wěn)定邊界上時，諧振子的振動能夠穩(wěn)定。為使激勵電壓達到最小值，此時激勵參數(shù)應滿足以下條件

(8)

即對應的激勵頻率和激勵電壓分別為

(9)

圖1 參數(shù)激勵的諧振子振動穩(wěn)定邊界Fig.1 Parameter excited harmonic oscillator vibration stability boundary

2 控制理論分析與仿真

2.1 駐波進動分析

在式(9)的激勵條件下，方程式(5)化為

(10)

諧振子的振動可以寫成如下形式

w(φ,t)=x(t)cos2φ+y(t)sin2φ=(Acosωt+Psinωt)cos2φ+(Bcosωt+Qsinωt)sin2φ

若?表示駐波方位，則駐波方位角的變化為

利用方程式(10)，得到

(11)

或?qū)κ?11)進行積分后，有

(12)

可以看出，當有角速度輸入時，駐波方位的轉(zhuǎn)角與陀螺殼體的轉(zhuǎn)角成比例，此時半球諧振陀螺將工作在全角模式下，諧振子駐波自由進動，實現(xiàn)了對殼體轉(zhuǎn)角的直接敏感。

若存在阻尼不均勻性時，進動方程式(9)變?yōu)閇9]

(13)

式中，ξ4為阻尼不均勻性的幅值，φ4為阻尼不均勻的方位。

2.2 控制效果分析

對上述理論進行仿真分析，當未進行參數(shù)激勵與正交控制時，半球陀螺儀的x路與y路的信號輸出仿真結(jié)果如圖2(a)所示，此時諧振子的總能量在衰減，且正交分量隨著時間出現(xiàn)振蕩，此時陀螺儀將引入較大的零位漂移和測量誤差。在按照式(9)進行參數(shù)激勵后，進行正交控制，仿真結(jié)果如圖2(b)所示，可以看出，諧振子總能量逐漸趨于穩(wěn)定，正交分量的增長被抑制。

圖2(c)所示為轉(zhuǎn)速為300(°)/s時，振型方位角的進動仿真結(jié)果，表明參數(shù)激勵條件下，有角速度輸入時，諧振子的振型方位角處于自由進動狀態(tài)，且振型方位角與外界輸入角速度為嚴格線性關(guān)系，因而陀螺儀工作在全角模式。圖2(d)所示為存在有Q值不均勻性時，陀螺儀的角度解算誤差仿真結(jié)果?？梢钥闯觯馑阏`差隨著振型方位呈周期性變化，變化周期為90°。

(a) 無能量補償及正交控制時，X路與Y路信號幅值輸出

(b) 有能量補償及正交控制時，X路與Y路信號幅值輸出

(c) 300(°)/s轉(zhuǎn)速下振型進動

(d) 300(°)/s轉(zhuǎn)速下Q值不均勻引入的解算誤差

3 半球諧振陀螺全角模式控制方案

為生成所需要的控制信號，利用參考信號對檢測信號X、Y通過乘法相干解調(diào)后，分別得到振型參數(shù)Cx、Cy、Sx、Sy，利用Cx、Cy、Sx、Sy進行組合運算，得到所需要的控制判斷量，分別為[10]

(14)

則E表征當前諧振子振動的總能量，該值與設(shè)定幅值E0的差值形成能量控制誤差信號，用于對幅度的控制；Q表征陀螺振動模態(tài)正交誤差量的大小，用于對正交誤差的控制；L用于實現(xiàn)對諧振子頻率的跟蹤；S、R表征振型方位，且振型方位角為

(15)

形成控制量以后，將控制量與判斷量進行比較，并按照式(9)進行驅(qū)動合成和調(diào)制，進而生成控制電壓，作用到半球諧振陀螺的控制電極上，實現(xiàn)對半球諧振陀螺的參數(shù)激勵控制，如圖3所示。

圖3 基于參數(shù)激勵的全角模式控制方案[11]Fig.3 Whole-angle mode control scheme based on parameter excitation

4 實驗

4.1 實驗裝置

利用第3節(jié)所述算法設(shè)計硬件系統(tǒng)并加以實現(xiàn)。全角模式半球諧振陀螺系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)由信號檢測硬件接口、驅(qū)動輸出硬件接口、基于FPGA的數(shù)字硬件系統(tǒng)以及輔助外圍電路組成。其中信號檢測硬件接口和驅(qū)動輸出硬件接口兩部分屬于模擬電路系統(tǒng)，用于實現(xiàn)系統(tǒng)與陀螺表頭之間的信號交互；基于FPGA的數(shù)字硬件系統(tǒng)為數(shù)字電路系統(tǒng)，用于實現(xiàn)陀螺工作流程的控制、數(shù)字信號處理與控制算法實現(xiàn)以及外設(shè)通信接口功能；輔助配套電路包括電源模塊、通信芯片、保護隔離器件等。硬件系統(tǒng)的實物圖如圖4所示。

圖4 全角模式半球諧振陀螺硬件電路系統(tǒng)Fig.4 Whole-angle mode hemispherical resonator gyro hardware circuit system

FPGA是全角模式半球諧振陀螺信號處理與控制算法的載體與核心。本課題選用Xilinx公司ARTIX系列第7代FPGA產(chǎn)品xc7a35t，在該器件的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了陀螺系統(tǒng)的信號運算、控制與信號交互。FPGA數(shù)字系統(tǒng)的功能組成結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。

4.2 實驗結(jié)果及分析

圖6所示為全角模式半球諧振陀螺實驗結(jié)果。圖6(a)表明能量逐漸收斂到3.2×105bit，表明在參數(shù)激勵作用下，控制系統(tǒng)實現(xiàn)了對諧振子振動能量的控制。在能量達到穩(wěn)定后，使轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速為300(°)/s，陀螺儀的振型方位變化如圖6(b)所示，由于三角函數(shù)求解時，角度輸出隨時間呈鋸齒變化。對測量的振型方位角進行線性化，并對轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后的數(shù)據(jù)進行線性擬合，得到圖6(c)，表明在大動態(tài)角速度輸入下，陀螺儀在0°～360°范圍內(nèi)實現(xiàn)了對旋轉(zhuǎn)角度的實時敏感，擬合后的結(jié)果為

θ=-0.275φ+182.1

(16)

擬合線性相關(guān)系數(shù)大于0.9999。因此該陀螺的進動因子為0.275，與基于環(huán)形模型的理論進動因子0.4相比誤差較大，與基于半球殼模型的理論進動因子0.277基本一致[12-13]，線性度優(yōu)于10-4。圖6(d)所示為不同振型方位下的轉(zhuǎn)動角度解算誤差量，解算誤差量隨著方位角做周期性變化，變化周期為90°，由仿真結(jié)果可知，該誤差是由阻尼不均勻引起的。

(a) 能量收斂過程

(b) 轉(zhuǎn)速300(°)/s振型方位變化情況

(c) 實際轉(zhuǎn)動角度與振型方位角的關(guān)系

(d) 不同振型方位角下的解算誤差

5 結(jié)論

本文研究了全角模式半球諧振陀螺，介紹了全角模式半球諧振陀螺的基本理論，并利用參數(shù)激勵的方法實現(xiàn)了半球諧振陀螺全角模式的測量功能。測試結(jié)果表明，測量角速度可達300(°)/s，線性度優(yōu)于10-4，后續(xù)將需著力于漂移抑制以及控制系統(tǒng)性能的提升。