胡晉賓 劉洪璐

【摘 要】 合情推理在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中的地位并沒(méi)有被淡化，而是以邏輯推理中的核心素養(yǎng)形式得到強(qiáng)化. 合情推理的教學(xué)可以超越歸納和類比的方法講解以及解題訓(xùn)練，基于主題思想理念中的核心素養(yǎng)和文化觀念立意，采用數(shù)學(xué)文化欣賞的方式開(kāi)展.

【關(guān)鍵詞】 主題思想;合情推理;文化觀念

1 開(kāi)課緣起

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀》中提出，“數(shù)學(xué)主題通常由數(shù)學(xué)教師根據(jù)教學(xué)需要來(lái)決定，它以重要的數(shù)學(xué)概念或核心數(shù)學(xué)知識(shí)為主線組織，或以數(shù)學(xué)思想方法為主線組織，或以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、基本能力為主線組織”[1]. 2018年11月30日是南師附中一年一度的教學(xué)公開(kāi)日，劉洪璐選擇了“合情推理”，以核心素養(yǎng)和文化觀念為主題立意，開(kāi)設(shè)了公開(kāi)課并進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)同步直播. 開(kāi)課之后，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材主編、江蘇省中小學(xué)教研室李善良教授進(jìn)行了點(diǎn)評(píng)，多位專家和同行給予了肯定和鼓勵(lì). 以下基于當(dāng)時(shí)的教學(xué)錄像，對(duì)該設(shè)計(jì)進(jìn)行梳理和反思.

2 簡(jiǎn)要流程

2.1 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境

【情境1】 師：前不久老師嗓子發(fā)炎，醫(yī)生開(kāi)了一款消炎藥，這是藥品說(shuō)明書(shū). （呈現(xiàn)某藥品說(shuō)明書(shū)）大多藥品說(shuō)明書(shū)上，都有采用動(dòng)物做實(shí)驗(yàn)的療效說(shuō)明. 請(qǐng)問(wèn)：人類藥品實(shí)驗(yàn)為什么多用老鼠和狗等動(dòng)物來(lái)做？

生1：因?yàn)槔鲜蠛腿嗽诮Y(jié)構(gòu)上有相似之處，都是哺乳動(dòng)物，所以我們可以推斷，在動(dòng)物身上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以類推到人類身上.

【情境2】 師：2018年11月27日凌晨3時(shí)54分，美國(guó)“洞察號(hào)”探測(cè)器已成功登陸火星，并傳回了首張照片. （呈現(xiàn)圖片等）這是時(shí)隔6年多，人類探測(cè)器再次登陸火星. 人類對(duì)于火星的探測(cè)從未停止，其中一個(gè)重要的話題就是，火星上是否有生命存在？對(duì)比表1，你的觀點(diǎn)呢？

生2：我推測(cè)火星上可能有生命存在.

師：這位小科學(xué)家，（出示）【問(wèn)題1】請(qǐng)問(wèn)你做出這樣的猜想的推理過(guò)程是怎樣的？

生2：因?yàn)榛鹦窃诮Y(jié)構(gòu)上具有很多和地球相似的特征，所以我由地球存在生命，推測(cè)出火星上有可能有生命存在.

師：【情境3】大家知道魯班發(fā)明鋸子的故事嗎？你能給大家講講這個(gè)故事并說(shuō)明魯班發(fā)明鋸子的思路嗎？（呈現(xiàn)魯班及發(fā)明鋸子的圖片等）

生3：（簡(jiǎn)述魯班發(fā)明鋸子的故事略）我覺(jué)得魯班發(fā)現(xiàn)小草是齒形的，可以劃傷人，從而從結(jié)構(gòu)上的相似性，即如果有一樣?xùn)|西也是齒形的邊緣，那么它們?cè)诠δ苌弦矐?yīng)該是相似的，即可以割斷東西.

2.2 引出類比推理

師：像這樣的由兩類對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，這樣的推理通常稱為類比推理. 其實(shí)，這樣的推理在數(shù)學(xué)中也很常見(jiàn)，比如：類比平面向量，學(xué)習(xí)空間向量;類比等差數(shù)列，學(xué)習(xí)等比數(shù)列;類比平面幾何，學(xué)習(xí)立體幾何;等等. 所以，著名數(shù)學(xué)家G·波利亞曾說(shuō)：“類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問(wèn)題往往依賴于平面幾何中的類比問(wèn)題. ”（配圖和名言）既然如此，我們來(lái)看下題.

【問(wèn)題2】 如下圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得c2=a2+b2. 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中相關(guān)的猜想.

勾股定理的空間猜想生4：（上黑板簡(jiǎn)述猜想過(guò)程和證明思路）從平面中的三角形，我想類推到空間中四面體的相關(guān)性質(zhì)，而且是直角三角形，所以就類推到3個(gè)側(cè)面兩兩垂直的四面體P-DEF中的相關(guān)性質(zhì). 在平面上是邊和邊之間的關(guān)系，類比到空間中就想到面積之間的關(guān)系，從而有以下的猜想：設(shè)∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°. S1，S2，S3和S分別表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面積，S2=S21+S22+S23. （該生給出了大致證明，過(guò)程省略）

師：這個(gè)猜想是否成立，需要嚴(yán)謹(jǐn)論證. 因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系，課后自行完善. 教師出示【問(wèn)題3】你能再舉幾個(gè)數(shù)學(xué)中，類比推理的例子嗎？

生：學(xué)生們討論踴躍，有的根據(jù)平面三角形面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系S=12（a+b+c）r，其中，a，b，c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，類比到空間中得到四面體的體積為13（S1+S2+S3+S4）r，（S1，S2，S3，S4為4個(gè)面面積，r為內(nèi)切球半徑）有的類比平面上圓的性質(zhì)得到空間中球的性質(zhì)，等等.

師（追問(wèn)）：剛才大家列舉的都是幾何方向的類比，有沒(méi)有代數(shù)方向的類比？（學(xué)生討論略）實(shí)數(shù)運(yùn)算中加法和乘法是一對(duì)非常典型的可類比對(duì)象，我們類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，可以列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)：①在結(jié)果方面，兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過(guò)加法運(yùn)算或乘法運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍然是一個(gè)實(shí)數(shù);②在運(yùn)算律方面，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律;③在逆運(yùn)算方面，加法和乘法都有逆運(yùn)算，分別是減法和除法;④在單位元方面，加法和乘法都有單位元，分別是0和1. （表2）法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦提出數(shù)學(xué)中“群”的概念，用來(lái)表示具有封閉性、有單位元、有可逆元和滿足結(jié)合律這樣4條運(yùn)算性質(zhì)的集合. “群”的概念，是數(shù)學(xué)中非常重要的概念和內(nèi)容. 此外，我們有《對(duì)稱與群（選修34）》教材. （呈現(xiàn)伽羅瓦圖片及《對(duì)稱與群（選修34）》書(shū)影）

師：【問(wèn)題4】類比推理的結(jié)論一定是正確的嗎？（學(xué)生認(rèn)為不一定，但是舉例有困難，某生說(shuō)將三角形3條高交于一點(diǎn)類比到空間四面體中去，但是沒(méi)有說(shuō)清，留作課后思考作業(yè)）

師：歷史上，斐波那契就曾經(jīng)想類比圓的周長(zhǎng)公式“得到”橢圓的周長(zhǎng)公式. （呈現(xiàn)斐波那契和阿基米德圖像，以及菲爾茲獎(jiǎng)等相關(guān)信息）提及此事，先要追溯一下古希臘數(shù)學(xué)之神阿基米德，數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)獎(jiǎng)?wù)碌恼婢褪前⒒椎碌念^像. 阿基米德在《論劈錐曲面體與球體》中提出了橢圓的面積公式是S=πab（a，b是橢圓長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng)）. 于是斐波那契根據(jù)圓及其外切正方形周長(zhǎng)和面積滿足關(guān)系C圓C方=S圓S方=π4，類比到橢圓上，猜想如果橢圓及其外切矩形的周長(zhǎng)之比也能滿足關(guān)系C橢C矩=S橢S矩=π4，就可以得到C橢=π（a+b）. 遺憾的是，這個(gè)類比的結(jié)論是錯(cuò)誤的. 根據(jù)微積分知識(shí)，可以寫出橢圓周長(zhǎng)的定積分公式，但由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以橢圓周長(zhǎng)沒(méi)有簡(jiǎn)潔的初等公式（雖然有近似公式，但是不精確）.

第三，毋庸諱言，日常教學(xué)中我們確實(shí)關(guān)注更多的是演繹推理. 考慮到此次授課學(xué)生的基礎(chǔ)比較好（年級(jí)中程度最好班級(jí)），對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵不是吃不吃得飽的問(wèn)題而是吃不吃得好的問(wèn)題，學(xué)會(huì)怎樣提出與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比分析與解決問(wèn)題更為關(guān)鍵. 對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野、培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣比具體學(xué)習(xí)知識(shí)、解決問(wèn)題，即便不是更為重要也是同等重要. 具體結(jié)合本次公開(kāi)課，我們以合情推理為載體和紐帶，借助問(wèn)題串這一思維線索形式，串聯(lián)起既往數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)故事，進(jìn)行了數(shù)學(xué)文化的欣賞嘗試.

3.2 關(guān)于教學(xué)主線的立意定位

本節(jié)課中，我們選擇核心素養(yǎng)和文化觀念作為兩個(gè)主題思想進(jìn)行設(shè)計(jì)突破.

第一，在核心素養(yǎng)路徑方面，具體體現(xiàn)在：用類比的觀點(diǎn)來(lái)審視，既往空間向量、等比數(shù)列和立體幾何的學(xué)習(xí)，分別是通過(guò)平面向量、等差數(shù)列和平面幾何類比得到;實(shí)數(shù)的加法和乘法可以作類比，并提煉出“群”的概念;斐波那契數(shù)列遞推公式，可以通過(guò)歸納輕松得到;哥德巴赫猜想乃至費(fèi)馬大定理等著名數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可從歸納中得到驗(yàn)證. 等等. “三會(huì)”的巧妙運(yùn)用：用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看待新藥試制、鋸子發(fā)明、火星猜想，用推理的思維來(lái)解讀一葉知秋等諺語(yǔ)，用生活中的素材比如吃藥等作為課程資源，用學(xué)科交叉的情境來(lái)闡述合情推理. 等等. 上述設(shè)計(jì)體現(xiàn)的設(shè)想是：數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部是有前后聯(lián)系的，數(shù)學(xué)知識(shí)和生活以及其他學(xué)科是互動(dòng)的，數(shù)學(xué)思維就在身邊并且無(wú)處不在，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要關(guān)注知識(shí)技能而且要關(guān)注能力素養(yǎng).

第二，在文化觀念路徑方面，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是知識(shí)的學(xué)習(xí)、能力的提高，而且有思維的養(yǎng)成和文化的熏陶. “數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)”[2].本節(jié)課中，我們采用了許多數(shù)學(xué)史的經(jīng)典內(nèi)容，巧妙穿插在教學(xué)過(guò)程中，有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)文化欣賞.設(shè)計(jì)傳遞的觀念是：人事有代謝，往來(lái)成古今;數(shù)學(xué)是由人來(lái)發(fā)展和完善的，不是與人無(wú)關(guān)的、不食人間煙火的;數(shù)學(xué)的發(fā)展不是一帆風(fēng)順的，而是可誤曲折的;演繹推理只是數(shù)學(xué)的一個(gè)側(cè)面，合情推理在創(chuàng)造發(fā)明中功不可沒(méi);數(shù)學(xué)是生動(dòng)有趣的、富有人情的，而不是高高在上的、枯燥乏味的.

參考文獻(xiàn)

[1] 史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀＼[M＼]，北京：高等教育出版社，2018：253.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）＼[M＼]. 北京：人民教育出版社，2018：10.

作者簡(jiǎn)介 胡晉賓（1975—），男，正編審職稱（正高），博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的教學(xué)及研究等工作.

劉洪璐（1979—），女，中教高級(jí)職稱，碩士，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與研究等. 南京市優(yōu)秀青年教師，2010年第五屆全國(guó)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示活動(dòng)一等獎(jiǎng)獲得者.