■湖北省巴東縣第三高級中學(xué) 廖慶偉

一、選擇題

1.設(shè)直線l與平面α平行,直線m在平面α內(nèi),那么( )。

A.直線l不平行于直線m

B.直線l與直線m異面

C.直線l與直線m沒有公共點(diǎn)

D.直線l與直線m不垂直

2.已知半徑為2 的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積之比為( )。

3.設(shè)l表示直線,α,β,γ表示不同的平面,則下列命題中正確的是( )。

A.若l∥α且α⊥β,則l⊥β

B.若γ∥α且γ∥β,則α∥β

C.若l∥α且l∥β,則α∥β

D.若γ⊥α且γ⊥β,則α∥β

4.如圖1所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱BB1的中點(diǎn),用過點(diǎn)A、E、C1的平面截去該正方體的下半部分,則剩余幾何體的正視圖(也稱主視圖)是圖2 中的( )。

圖1

圖2

5.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是( )。

6.已知三棱錐D-ABC的每個頂點(diǎn)都在球O的表面上,AB⊥AC,AB=6,AC=頂點(diǎn)D在平面ABC上的投影E為BC的中點(diǎn),且DE=5,則球O的表面積為( )。

A.16π B.17π

C.60π D.64π

圖3

7.如圖3所示,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF,則下列結(jié)論不正確的是( )。

A.CD∥平面PAF

B.DF⊥平面PAF

C.CF∥平面PAB

D.CF⊥平面PAD

8.如圖4 所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確是( )。

A.A,M,O三點(diǎn)共線

B.A,M,O,A1不共面

C.A,M,C,O不共面

D.B,B1,O,M共面

圖4

9.某四棱錐的三視圖如圖5 所示,則該四棱錐的最長棱的長度為( )。

圖5

10.如圖6,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點(diǎn),則下列說法錯誤的是( )。

圖6

A.MN與CC1垂直

B.MN與AC垂直

C.MN與BD平行

D.MN與A1B1平行

11.如圖7 所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直的平面有( )。

A.1對 B.2對

C.3對 D.5對

圖7

12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,在對角線A1D上取點(diǎn)M,在CD1上取點(diǎn)N,使得線段MN平行于對角面A1ACC1,則|MN|的最小值為( )。

二、填空題

13.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形,則這個圓柱的表面積與側(cè)面積之比為____。

14.設(shè)a,b為不重合的兩條直線,α,β為不重合的兩個平面,給出下列命題:

①若a∥α,b∥β,且α∥β,則a∥b;

②若a⊥α,且a⊥β,則α∥β;

③若α⊥β,則一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;

④若α⊥β,則一定存在直線l,使得l⊥α,l∥β。

其中為真命題的序號是____。

15.如圖8,點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動,則下列四個結(jié)論:

圖8

①三棱錐A-D1PC的體積不變;②A1P∥平面ACD1;

③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1。

其中正確結(jié)論的個數(shù)是_____。

16.以棱長為2的正方體的中心點(diǎn)O為球心,以為半徑的球面與正方體的表面相交得到若干個圓弧(或圓),則所得圓弧(或圓)的總長度的取值范圍是_____。

三、解答題

17.一個幾何體的三視圖如圖9 所示。已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個長為寬為1的矩形,俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形。求:

圖9

(1)該幾何體的體積V;

(2)該幾何體的表面積S。

18.如圖10所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°。已知PB=PD=2,PA= 6。

圖10

(1)證明:PC⊥BD;

(2)若E為PA的中點(diǎn),求三棱錐P-BCE的體積。

19.如圖11 所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上。

圖11

(1)求異面直線D1E與A1D所成的角;

(2)若二面角D1-EC-D的大小為45°,求點(diǎn)B到平面D1EC的距離。

20.如圖12所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn),BC=3,平面PAC垂直圓O所在的平面,直線PC與圓O所在的平面所成角為60°,PA⊥PC。

圖12

(1)證明:PA⊥平面PBC;

(2)求二面角P-AB-C的余弦值。

21.如圖13,已知四棱錐S-ABCD的 底 面ABCD是 菱形SA⊥底面ABCD,E是SC上 的 任 意一點(diǎn)。

圖13

(1)求證:平面EBD⊥平面SAC。

(2)設(shè)SA=AB=2,是否存在點(diǎn)E使平面BED與平面SAD所成的銳二面角的大小為30°? 如果存在,求出點(diǎn)E的位置;如果不存在,請說明理由。