■河南省羅山縣高級(jí)中學(xué) 楊 希

利用空間向量解決立體幾何問題在高考中主要有三類:異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角。從這三個(gè)角度出發(fā),我們來談?wù)務(wù)郫B問題、動(dòng)態(tài)問題、探索性問題如何與其交匯,形成創(chuàng)新熱點(diǎn)題型。

創(chuàng)新角度一、折疊背景下探究異面直線所成的角

(1)設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,若l1與l2所成的角為θ,則θ的范圍為且若a與b的夾角 為〈a,b〉,則〈a,b〉的范圍為[0,π],且

(2)利用向量法求異面直線所成的角的一般步驟為:

①選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系;

②求出兩直線的方向向量v1,v2;

(3)求異面直線所成角時(shí)的注意點(diǎn):

兩異面直線所成角的范圍是θ∈兩向量的夾角α的范圍是[0,π],當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí),就是該異面直線的夾角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí),其補(bǔ)角才是異面直線的夾角。

例1將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,當(dāng)以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí),則異面直線AD與BC所成的角為( )。

解析:不妨以△ABC為底面,則由題意當(dāng)以A,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大,即點(diǎn)D到底面△ABC的距離最大時(shí),平面ADC⊥平面ABC。

設(shè)O是AC的 中點(diǎn),連接BO,DO,則易知BO,CO,DO兩兩互相垂直。

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖1 所示的空間直角坐標(biāo)系。

圖1

令BO=CO=DO=1,則O(0,0,0),A(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),于 是

所以異面直線AD與BC所成的角為

答案:C。

創(chuàng)新角度點(diǎn)評(píng):通常情況下,我們都是在現(xiàn)成的空間幾何體內(nèi)求解異面直線所成的角,這就為我們尋找異面直線所成的角創(chuàng)造了現(xiàn)成的觀察平臺(tái)。 如果幾何圖形需要折疊,而折疊后所得到的是一個(gè)空間幾何體,這就需要我們用全新的眼光去定奪一個(gè) “新生事物”,判斷是否有暗礁與險(xiǎn)灘,我們需要小心為事。

創(chuàng)新角度二、動(dòng)態(tài)狀態(tài)下已知線面角求線段的長(zhǎng)度

(1)設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,則

①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影,直線的方向向量,將問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)。

②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線和平面所成的角。

(3)利用平面的法向量求線面角的兩個(gè)注意點(diǎn):

①求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角),取其余角即為所求。

②若求線面角的余弦值,要注意利用平方關(guān)系sin2θ+cos2θ=1 求出其值。不要誤認(rèn)為直線的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值就是所求。

例2如圖2所示,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥ 面ABCD,∠ABC=90°,△ABC≌ △ADC,O為AC的 中 點(diǎn),E是PC的中點(diǎn),AC=2AB=2。

圖2

(1)求證:平面DOE∥平面PAB;

首先是純文學(xué)陣地大面積失守。純文學(xué)原有陣地包括圖書、期刊、報(bào)紙副刊三大塊。出版社被推向市場(chǎng)后，經(jīng)濟(jì)效益成為更現(xiàn)實(shí)的問題，純文學(xué)圖書的出版日漸蕭條，單本書平均銷量持續(xù)下滑，達(dá)不到一定發(fā)行量的純文學(xué)作品基本無緣面世。受新媒體沖擊，報(bào)業(yè)立足生存嘗試各種改版，產(chǎn)生不了直接經(jīng)濟(jì)效益的文學(xué)副刊大多被文化娛樂版面替代，即便保留也是替補(bǔ)角色，上場(chǎng)機(jī)會(huì)極少。純文學(xué)陣地僅剩文學(xué)期刊，這塊陣地也大片丟失，“最后還在頑強(qiáng)堅(jiān)守的能夠刊載原創(chuàng)純文學(xué)作品的刊物也就幾十家了。在這幾十家中目前可以以發(fā)行量生存的不足十家，大多數(shù)是要依賴政府的公益撥款來維持生命的?！保?］

(2)若直線ED與平面PBC所成角的正弦值為求PA的長(zhǎng)度。

解析:(1)因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),且∠ABC=90°,所以

同理,DO=1。

又因?yàn)锳B=AD=1,所以四邊形ABOD是菱形,所以DO∥AB。

又因 為O為AC的 中 點(diǎn),E是PC的 中點(diǎn),所以O(shè)E∥PA。

又因?yàn)镺D∩OE=O,PA∩AB=A,OD,OE?平面ODE,PA,AB?平面PAB,所以平面DOE∥平面PAB。

(2)設(shè)PA=t(t＞0),因?yàn)锳B⊥BC,PA⊥面ABCD,所以以B為原點(diǎn),BA為x軸,BC為y軸,過點(diǎn)B平行于AP的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖3所示。

圖3

故B(0,0,0),

設(shè)面PBC的法向量為n=(x,y,z),則取x=t,得n=(t,0,-1)。

設(shè)直線ED與平面PBC所成的角為θ,則

創(chuàng)新角度點(diǎn)評(píng):我們平時(shí)所見的絕大多數(shù)求解線面角問題,都是直接求直線的方向向量與平面的法向量,然后套用公式確定直線與平面所成的角。如果已知直線與平面所成的角(或角的三角函數(shù)值)去求解某條線段的長(zhǎng),那么線面角所在的幾何體就是一個(gè) “動(dòng)態(tài)”的,是需要我們?nèi)ァ罢{(diào)整”的,這里的“動(dòng)態(tài)”與 “調(diào)整”指的就是可以去尋找方程,確定所求線段長(zhǎng)度。

創(chuàng)新角度三、二面角與探索性問題

(1)利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法:

①找法向量:分別求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量,然后通過兩個(gè)半平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小。

②找與棱垂直的方向向量:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小。

(2)利用法向量求二面角時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn):

①對(duì)于某些平面的法向量要注意是隱含在已知條件中,不用單獨(dú)求。

②注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,可結(jié)合圖形進(jìn)行,以防結(jié)論錯(cuò)誤。

(3)利用空間向量解決探索性問題的這類題型,其考查形式主要是已知二面角的大小逆向探索求解 “點(diǎn)”的存在問題。若所探求的 “點(diǎn)”存在,則一般情況下是存在于線段的等分點(diǎn),如二等分點(diǎn)、三等分點(diǎn)等。

例3如圖4 所示,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1上的動(dòng)點(diǎn),F是AB的中點(diǎn),AC=1,BC=2,AA1=4。

圖4

(1)當(dāng)E是棱CC1的中點(diǎn)時(shí),求證:CF∥平面AEB。1

(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A-EB1-B的余弦值是若存在,求EC的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由。

解析:(1)取AB1的中點(diǎn)G,連接EG,FG。

因?yàn)镕,G分別是棱AB,AB1的中點(diǎn),所以

又BB1∥CC1,且BB1=CC1,EC=,所以

所以FG∥EC,且FG=EC。

所以四邊形FGEC是平行四邊形,所以CF∥EG。

因?yàn)镃F?平面AEB1,EG?平面AEB1,所以CF∥平面AEB1。

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),射線CA,CB,CC1為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立如圖5 所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4)。

圖5

設(shè)E(0,0,m)(0≤m≤4),平面AEB1的法向量n1=(x,y,z)。

令z=2,則n1=(2m,m-4,2)。

連接BE,因?yàn)镃A⊥平面C1CBB1,所以=(1,0,0)是平面EBB1的一個(gè)法向量。

所以在棱CC1上存在點(diǎn)E,符合題意,此時(shí)EC=1。

創(chuàng)新角度點(diǎn)評(píng):探索性問題一直以來就是一個(gè)熱點(diǎn)問題,而把探索性問題與二面角相結(jié)合就更是高考的熱點(diǎn)考查角度。一定要明確這類問題的解答思路,比如,該題的探索解決途徑體現(xiàn)在將點(diǎn)E的是否存在轉(zhuǎn)換為法向量n1=(2m,m-4,2)是否存在,而法向量n1=(2m,m-4,2)是否存在又體現(xiàn)于其中的m是否有解。