楊 娟

（江蘇省海門市海南中學，江蘇海門 226100）

引 言

HPM 是“History and Pedagogy of Mathematics”的簡稱，意指數(shù)學歷史和教育的關系。HPM 的研究領域非常廣泛，包括數(shù)學史在數(shù)學文化中的作用，數(shù)學史與歷史發(fā)生教學、學生的學習障礙的關系，數(shù)學史對教師專業(yè)成長的影響等?；贖PM 視野，從數(shù)學史的視角設計、研發(fā)初中數(shù)學教學，有利于提升初中數(shù)學教學的整體績效。

一、HPM的理論基礎

基于HPM 視角設計初中數(shù)學教學，不但有心理學基礎，而且有教育學、歷史學、發(fā)生學的基礎。探析初中數(shù)學教學的HPM 基礎，主要基于以下兩個原理。

（一）歷史相似性原理

匈牙利著名數(shù)學家、數(shù)學教育家波利亞深刻地談道：“只有理解了人類如何獲得某些事實或概念知識，我們才能對人類孩子應該如何獲得這種知識作出更好判斷”。也正如荷蘭弗賴登塔爾所說：“歷史正是通過避免走盲目的道路，通過縮短大量彎曲小道，通過歷史自己重新組織的道路系統(tǒng)來修正自己。[1]”這些論斷得到了包括后來克萊因、龐加萊、卡托斯等世界級數(shù)學大師的鼎力支持。他們都一致認同，學生的認知過程與人類對數(shù)學知識的探索歷程有著嚴格的相似性，數(shù)學史可以讓數(shù)學教學獲得啟迪。

（二）建構(gòu)主義理論

建構(gòu)主義理論是學習的基本理論，該理論認為，學生的數(shù)學學習過程不是被動地吸納、接受知識的過程，而是主動建構(gòu)甚至創(chuàng)造知識的過程。在這個過程中，教師要重視學生個體與個體、個體與環(huán)境之間的積極互動。將歷史發(fā)生原理和建構(gòu)主義理論結(jié)合起來進行數(shù)學教學設計，為HPM 理論在數(shù)學教學中的運用提供有益支撐。作為教師，在初中數(shù)學教學中，應當把握相關的數(shù)學概念、原理、公式、定理等知識演變、發(fā)展的過程，讓學生厘清數(shù)學知識的來龍去脈，使其深刻把握相關的數(shù)學概念、定理公式等的知識演變、發(fā)展歷程。同時把握學生的具體學情，將數(shù)學史的啟迪和學生的能動建構(gòu)結(jié)合起來。

二、基于HPM理論的初中數(shù)學教學設計

中國科學院的李文林教授說：“數(shù)學史除了為歷史、為數(shù)學而歷史之外，還應該為教育而歷史，也就是要充分發(fā)揮數(shù)學史的教育功能。”華東師范大學張奠宙教授說：“數(shù)學史應當成為數(shù)學教育的有機組成部分”。法國數(shù)學家龐加萊說：“數(shù)學課程內(nèi)容應按照數(shù)學史內(nèi)容的發(fā)展順序展現(xiàn)給讀者”。以數(shù)學史為觸媒、為載體，不僅能讓學生認識到數(shù)學知識的“廬山面目”，而且能發(fā)展學生的數(shù)學思想，敞亮學生的數(shù)學視野，豐富學生的數(shù)學文化，提升學生的數(shù)學品格與精神[2]。

（一）鏈接式教學，讓“史”蕩漾眼前

所謂“鏈接式教學”，就是在數(shù)學知識的教學中，添加一些對該知識進行歷史探索、發(fā)展的鏈接。在初中數(shù)學教學中，許多看似規(guī)定性的知識，如果追問歷史本源，都有著“規(guī)定的意義”。比如，在教學《角和角的度量》時，教師可以讓學生了解，為什么一個周角等于360°這個數(shù)值，了解角度制源于巴比倫人的天文歷法。古代巴比倫人迷信天象，因此他們將數(shù)學與天文學聯(lián)通起來進行思考，他們用數(shù)學方法研究天文，將圓周分為360 度，每度60 分，每分60 秒，這就是今天度、分、秒的來歷。同時，又因為古代巴比倫人在研究中發(fā)現(xiàn)，360 這個數(shù)有22 個真因子，包括了除7 以外從2 到10 的所有數(shù)字，因而讓很多特殊角的度數(shù)都是整數(shù)。這樣的數(shù)學史鏈接，有助于學生感受、體驗數(shù)學知識，數(shù)學規(guī)定的合理性、必然性、科學性。

鏈接式教學有助于豐富學生的數(shù)學史知識，主要包括數(shù)學知識的產(chǎn)生背景、趣聞逸事等。在初中數(shù)學教學中，可以運用鏈接數(shù)學史的知識點很多，如負數(shù)的概念、勾股定理、函數(shù)的知識，等等。通過鏈接式教學，可以豐富學生的數(shù)學感知，讓“史”蕩漾于學生的眼前。

（二）再現(xiàn)式教學，讓“史”始終在場

如果說“鏈接式教學”主要是對數(shù)學史知識的簡單介紹，那么，“再現(xiàn)式教學”則是選取數(shù)學知識展示過程中的關鍵節(jié)點、片段。因此，再現(xiàn)式教學實質(zhì)上是教學中的一種“切片展示”，選取的是能體現(xiàn)數(shù)學思想方法、能解決數(shù)學重難點知識的一些歷史。再現(xiàn)式教學能促進學生的數(shù)學理解。在數(shù)學與歷史之間架設一座橋梁，用以發(fā)展學生的數(shù)學思維，催生學生的數(shù)學想象，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

比如，“無理數(shù)”這個概念，顧名思義，許多學生認為無理數(shù)就是沒有道理的數(shù)，事實并非如此。在教學中，筆者借助課件再現(xiàn)了希帕斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的歷史，讓學生認識到了無理數(shù)是“不可通約量”，它既不是整數(shù)，也不是分數(shù)。古希臘畢達哥拉斯學派相信“萬物皆數(shù)”，這里的“數(shù)”是指兩個量的比。因此，根據(jù)拉丁文，有理數(shù)又被翻譯成“比數(shù)”，而“無理數(shù)”又被翻譯成“非比數(shù)”。在這里，“理”就兼具了“比率”“合理”的意思。有了數(shù)學歷史的再現(xiàn)，學生就能深刻地理解數(shù)學概念了。當然，再現(xiàn)式教學并不是數(shù)學歷史的簡單復制，而是一種能反映數(shù)學發(fā)現(xiàn)條件、意義和認識過程的片段展示。通過數(shù)學史的再現(xiàn)，學生能感受到數(shù)學知識發(fā)生的動人歷程，更能感受到數(shù)學家為數(shù)學真理而奮斗甚至獻身的崇高精神。

（三）融入式教學，讓“史”游弋其中

在HPM 視野下，將數(shù)學歷史融入數(shù)學教學的最高境界，就是在數(shù)學知識的學習中滲透數(shù)學歷史，讓學生獲得數(shù)學歷史的某種感悟。教師不提任何數(shù)學歷史的知識，但學生卻在真實地經(jīng)歷著對歷史相似性的數(shù)學探究。為此，教師可以創(chuàng)設情境，引領學生重蹈人類探究的步伐。

比如，“負數(shù)”對初一新生而言是一個全新的概念。如何引入負數(shù)，讓學生體驗負數(shù)產(chǎn)生的必要性呢？筆者在教學中首先創(chuàng)設了這樣的情境：4 個蘋果平均分給4 個孩子，每個孩子分得幾個蘋果？3 個蘋果平均分給4 個孩子，每個孩子分得多少蘋果？讓學生體驗分數(shù)的誕生，為其學習負數(shù)奠定基礎。其次，筆者變換情境，用這樣的問題激發(fā)學生的數(shù)學思考：小張今天掙了100 元錢，各項支出總和為80 元，小張今天的凈收入是多少元？小張今天掙了100 元錢，各項支出為230 元，小張今天的凈收入是多少元？從而使學生產(chǎn)生認知沖突，讓學生感受到原來的數(shù)已經(jīng)不夠用了。這時，筆者啟發(fā)學生按照分數(shù)的數(shù)系擴大，猜想一種新的數(shù)，從而激發(fā)學生對負數(shù)學習的心理需求。教師不露痕跡地融入了數(shù)學史，讓學生體驗到負數(shù)的誕生歷程以及負數(shù)的意義：引入負數(shù)后，任意兩個數(shù)都可以相加或者相減。在初中數(shù)學教學中采用“融入式”教學，更能凸顯學生的創(chuàng)造意義。

結(jié) 語

基于HPM 的教學視野，鏈接數(shù)學歷史，再現(xiàn)數(shù)學歷史，重構(gòu)數(shù)學歷史，能讓初中數(shù)學教學煥發(fā)出生命的活力。在這個過程中，學生自然能觸摸到數(shù)學知識豐贍的思想、文化和精神意蘊，形成豐碩、曼妙的學研旅程。如此，數(shù)學史方能照亮學生的數(shù)學學習現(xiàn)實，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。