何宇翔，王 彤，張麗君

(1.南京航空航天大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016;2.中車唐山機車車輛有限公司，唐山 063000)

剛體慣性參數(shù)包括質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、慣性積，其識別方法主要包括落體法、三線擺法、基于三維數(shù)字模型的數(shù)值計算法及基于頻響函數(shù)的振動試驗?zāi)B(tài)分析法等[1-2]。

落體法主要用于測量小部件的慣性參數(shù)，且識別精度較差[3]，三線擺法具有較高的精度，但它的缺點是實驗設(shè)備復(fù)雜，安全性差[4]；三維數(shù)字模型法通過建立準(zhǔn)確的三維模型計算剛體慣性參數(shù)，但對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，建立準(zhǔn)確的三維模型的難度不言而喻[5-6]?；陬l響函數(shù)和振動試驗?zāi)B(tài)分析的剛體慣性參數(shù)辨識方法具有簡單、快速和精度高等優(yōu)點，可很大程度上避免上述問題的發(fā)生。振動試驗?zāi)B(tài)分析方法主要包括模態(tài)模型法(Modal Method,MM)、質(zhì)量線法(Inertia Restrain Method,IRM)和直接物理參數(shù)識別法(Direct Physical Parameter Identification Method,DPPIM)。

模態(tài)模型法(MM)基于剛體模態(tài)對剛體質(zhì)量矩陣具有正交性[7]，達(dá)到求解慣性參數(shù)的目的。剛體模態(tài)振型通過頻率響應(yīng)函數(shù)獲得，將其質(zhì)量歸一化后，結(jié)合響應(yīng)點坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣求得剛體質(zhì)量矩陣。常用的方法是Conti-Bretl法[8](C-B法)和Toivola-Nuutila法[9](T-N法)。C-B法要求求出所有6階剛體模態(tài)之后，建立剛體振型矩陣，T-N法只需要4階剛體振型，通過解方程組求得所有慣性參數(shù)。為了得到理想的剛體振型，必須人為地添加理想的彈簧約束。然而在實際測試中，理想的邊界條件幾乎無法做到。此外，實際實驗中很難準(zhǔn)確地獲得4階理想的剛體振型[10]。一次識別所有參數(shù)的精度很難保證。

DPPIM法基于頻率響應(yīng)函數(shù)，可一次性得到剛體全部10個慣性參數(shù)。研究顯示該法受噪聲和彈性模態(tài)影響很大[11]，且最終的求解結(jié)果是6×6階矩陣，使用最小二乘法可能會放大誤差[12]。質(zhì)量線法(IRM)它將質(zhì)量作為已知的參數(shù)，利用質(zhì)心與轉(zhuǎn)動慣量相互獨立的性質(zhì)，分步求解剩余的9個參數(shù)。質(zhì)量線法矩陣計算規(guī)模較小，最終得到的是一個3×1的質(zhì)心坐標(biāo)向量和一個6×1的慣性張量向量，是一些商業(yè)化軟件采用的方法。仿真和實驗結(jié)果表明，IRM在較大噪聲輸入時仍具有較高識別精度。然而，在實際應(yīng)用中，質(zhì)量參數(shù)往往未知，且對大型結(jié)構(gòu)稱重也很難實現(xiàn)。

由于DPPIM法和IRM法單獨使用都具有一定的局限性，本文提出了一種將兩種方法組合使用的改進(jìn)型慣性參數(shù)識別方法，即先利用直接參數(shù)識別法識別質(zhì)量，再使用質(zhì)量線法識別剩余9個參數(shù)。

1 慣性參數(shù)識別原理

1.1 直接參數(shù)識別法(DPPIM)

剛體的質(zhì)量矩陣可以表示為

(1)

剛體振動方程

(2)

剛度和阻尼很小時，相關(guān)的兩項可以忽略不計，振動方程變?yōu)?/p>

(3)

在坐標(biāo)系中，第i(i=1,2,…n,其中n為激勵點總個數(shù))個激勵點的坐標(biāo)是(xi,yi,zi)，該處的激勵力fi在原點O處產(chǎn)生的激振力是

(4)

(5)

由式(5)可知，含有n個激勵點和m個響應(yīng)點組合而成的加速度響應(yīng)矩陣如式(6)所示

(6)

(7)

由式(4)，n個激勵點在坐標(biāo)原點產(chǎn)生的激振力為

FO,6×n=[FO1…FOn]=

(8)

由式(3)，由n個激勵點和m個響應(yīng)點作用下的剛體振動方程為

(9)

將式(7)和式(8)代入式(9)，得

(10)

式(10)兩端同時右乘f-1，得

(11)

H是由實驗測得的激勵點和響應(yīng)點之間的加速度頻響函數(shù)，式(11)使用最小二乘法來計算矩陣M，因此激振力坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣W的秩不能小于6，即激勵點總個數(shù)n≥6。

由最小二乘方法，可以得剛體的質(zhì)量矩陣M

M=W(RTR)T(RTHHTR)-1(RTR)

(12)

1.2 質(zhì)量線法(IRM)

IRM將質(zhì)量作為已知參數(shù)，求出質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。由式(9)獲得的IRM法計算公式

(13)

由于質(zhì)心與轉(zhuǎn)動慣量和慣性積相互獨立，因此可分步識別。由式(14)識別質(zhì)心

(14)

由式(15)識別轉(zhuǎn)動慣量和慣性積

(15)

對由式(15)求得的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積應(yīng)用平行軸定理，將其轉(zhuǎn)化到對質(zhì)心所在坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積，再組成慣性張量矩陣，如式(16)所示，求解其特征值與特征向量即可得到主轉(zhuǎn)動慣量和3個慣性主軸關(guān)于固定坐標(biāo)系坐標(biāo)軸夾角的方向余弦。

(16)

2 直接參數(shù)識別法和質(zhì)量線法的對比仿真

分別應(yīng)用直接參數(shù)識別法、質(zhì)量線法和模態(tài)模型法對一個平板進(jìn)行仿真試驗。平板的幾何模型如圖1所示。

圖1 幾何模型Fig.1 Geometry model

如果慣性主軸太靠近坐標(biāo)軸，很小絕對誤差將導(dǎo)致較大的相對誤差。因此，將平板是沿(2,2,2)的方向移動。板的慣性參數(shù)的參考值如表1所示，第一階彈性模態(tài)振型如圖2所示。

表1 各參數(shù)的參考值(m=9.48 kg)Tab.1 Reference value of each parameter(m=9.48 kg)

圖2 第一階彈性模態(tài)振型Fig.2 The first elastic mode

2.1 響應(yīng)點位于頂角處

在剛體頂角節(jié)點 1、10、91、100上設(shè)置三方向響應(yīng)點，響應(yīng)點坐標(biāo)變換矩陣條件數(shù)為19.6。激勵點為節(jié)點1X+，10Y+，41Y+，91Z+，60Z+，100Z+。激勵點坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣條件數(shù)為24.7。彈簧分布位于頂角上節(jié)點1，10，41，50的Z方向，每個彈簧的剛度是20 kN/m。

圖3 響應(yīng)點在頂角處的頻響函數(shù)Fig.3 Frequency response functions of corner measurement points

仿真結(jié)果表明，質(zhì)量數(shù)值受彈性模態(tài)影響很大，并且隨著所選頻帶越來越趨近于彈性模態(tài)，質(zhì)量參數(shù)的誤差就越大。圖2給出了板的第一階彈性模態(tài)振型，在該階模態(tài)處Z方向振動幅值最大，Y方向和X方向幅值很小，而對于使用質(zhì)量線原理識別慣性參數(shù)而言，要設(shè)法避免彈性模態(tài)影響，那么對于振動幅值較小的X和Y方向的數(shù)據(jù)，正是所期望的。從識別結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，對于同一頻率而言，X方向?qū)?yīng)的質(zhì)量數(shù)值精度最高，在Y方向結(jié)果次之，Z方向結(jié)果完全錯誤。

圖4 使用DPPIM法識別不同方向上的質(zhì)量數(shù)值Fig.4 Using the DPPIM method to identify the quality values in different directions

分別使用直接參數(shù)識別法直接計算10個參數(shù)，和將X方向質(zhì)量值代入質(zhì)量線法，繼續(xù)計算其余9參數(shù)。兩組結(jié)果的誤差隨選擇頻帶的變化如圖5所示。

圖5 DPPIM法和IRM法識別剩余9個參數(shù)的誤差Fig.5 Identification error of the remaining 9 parameters by DPPIM method and IRM method

由圖5可以看出，直接參數(shù)識別法的識別精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于質(zhì)量線法，含有彈性模態(tài)影響時，有時甚至完全錯誤。

2.2 響應(yīng)點布置在彈性模態(tài)的節(jié)點處

圖6表示響應(yīng)點在彈性模態(tài)節(jié)點上頻響函數(shù)，圖7表示使用DPPIM法識別在不同方向上的質(zhì)量數(shù)值。

圖6 響應(yīng)點在彈性模態(tài)節(jié)點上頻響函數(shù)Fig.6 Frequency response functions of nodal points of the first mode

圖7 使用DPPIM法識別在不同方向上的質(zhì)量數(shù)值Fig.7 Mass values identified from diffreent directions by DPPIM method

圖8 DPPIM法和IRM法識別剩余9參數(shù)的誤差Fig.8 Identification error of the remaining 9 parameters by DPPIM method and IRM method

圖8為將響應(yīng)點布置在彈性模態(tài)節(jié)點處的識別誤差與所選頻帶的關(guān)系?？梢钥闯?，將響應(yīng)點布置在彈性模態(tài)的節(jié)點上可有效減小頻率響應(yīng)函數(shù)彈性模態(tài)的幅值，從而減小彈性模態(tài)的影響，識別精度顯著提高。

2.3 噪聲對精度的影響

在頻響函數(shù)中添加40%噪聲(20%白噪聲和20%有色噪聲)，頻響函數(shù)幅值如圖9所示。重復(fù)計算50次，誤差平均值、誤差方差、誤差最大值和最小值如表2和表3所示。

圖9 40%噪聲的頻響函數(shù)Fig.9 Frequency response functions with 40% noise

表2 DPPIM法各參數(shù)最大誤差(50次)
Tab.2The maximum error of each parameter inDPPIM method(50 times)

參數(shù)質(zhì)量質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量慣性積誤差平均0.4%8.2%9.8%17%誤差方差12109121369誤差最大值7.8%44%44%84%誤差最小值-6.6%-11%-7.1%-18%

表3 IRM法各參數(shù)最大誤差(50次)Tab.3 The maximum error of each parameter in IRM method(50 times)

仿真結(jié)果表明：與直接參數(shù)識別法相比，質(zhì)量線法具有更高的可靠性，在較大噪聲輸入的情況下，直接參數(shù)識別法精度迅速下降，而質(zhì)量線法依然保持了很高的精度。

3 實驗驗證

以某型列車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架為實驗對象，在環(huán)境噪聲影響較大的工廠廠區(qū)內(nèi)驗證本文的結(jié)論。構(gòu)架結(jié)構(gòu)如圖10所示。

由于感興趣的頻響函數(shù)頻率很低，因此需要選擇較軟的力錘錘頭[13]。實驗所選力錘型號為PCB 086C20，實測靈敏度為0.118 mV/N，三軸加速度傳感器型號為PCB U356A08，數(shù)據(jù)采集設(shè)備為OROS-OR35，模態(tài)分析軟件為N-Modal。進(jìn)行本改進(jìn)方法測試之前需要先測試出彈性模態(tài)頻率與振型，然后降低采樣頻率，使分析頻率僅稍高于第一階彈性模態(tài)頻率，并提高頻率分辨率，以進(jìn)行本改進(jìn)方法實驗。測點分布、第一階彈性振型和測試自由度布置分別如圖11～圖13所示。

圖10 構(gòu)架全貌Fig.10 The frame of a bogie

圖11 測試彈性模態(tài)所布置的測點Fig.11 Measurement points in the elastic modal test

圖12 第一階彈性模態(tài)振型Fig.12 First elastic mode

圖13 測試幾何模型及測試自由度Fig.13 The geometry model and the test degree of freedoms

測點分布原則是反映剛體的幾何輪廓，均勻分布，且測點要避開對稱軸或轉(zhuǎn)動節(jié)線，激振力方向不能全部平行，也不能通過質(zhì)心，否則坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣條件數(shù)會變大，最小二乘法的結(jié)果將變得不穩(wěn)定[14-15]。實驗中，采樣頻率是128 Hz，頻率分辨率為0.062 5 Hz，共800條譜線，八次錘擊平均。部分相干函數(shù)和頻響函數(shù)幅值如圖14所示。

圖14 部分測點的相干函數(shù)和頻響函數(shù)Fig.14 The coherence and frequency response functions of some measurement points

選擇一段譜線相對平直頻帶，使用直接參數(shù)識別法，求出X方向?qū)?yīng)質(zhì)量(X方向彈性模態(tài)幅值最小)在1 077～1 145 kg內(nèi)波動，由稱重法得到結(jié)構(gòu)質(zhì)量為1 097 kg，誤差為-2%～4%，將識別得到的質(zhì)量數(shù)值(1 077 kg和1 145 kg)代入質(zhì)量線法中繼續(xù)計算，得到剩余全部參數(shù)，如表4和表5所示。

表4 改進(jìn)方法慣性參數(shù)識別結(jié)果(m=1 077 kg)Tab.4 Inertia parameter identification results of the improved method(m=1 077 kg)

表5 改進(jìn)方法慣性參數(shù)識別結(jié)果(m=1 145 kg)Tab.5 Inertia parameter identification results of the improved method(m=1 045 kg)

慣性主軸的方向是幾乎平行于坐標(biāo)軸，與實際結(jié)構(gòu)的對稱性一致。與廠家給出的慣性參數(shù)參考值(表6)相比，質(zhì)量誤差不超過±5%，主轉(zhuǎn)動慣量誤差不超過10%，質(zhì)心誤差不超過±1%，符合工程實踐要求。

表6 廠家提供的慣性參數(shù)參考值(m=1 097 kg)Tab.6 Reference value of inertial parameters provided by the manufacturer(m=1 097 kg)

4 結(jié) 論

結(jié)合仿真結(jié)果和實際實驗情況，提出一種先通過直接參數(shù)識別法識別質(zhì)量，再使用質(zhì)量線法識別其他參數(shù)的改進(jìn)方法。其具有精度高，可操作性強，不依賴其他條件或操作的優(yōu)點，通過仿真和實際實驗驗證了本改進(jìn)方法的適用性，具有一定的工程實踐意義。