王 勇，汪若塵，孟浩東，張步云

(1.江蘇大學 汽車工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.上海大學 上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海 200072；3.常州工學院 機械與車輛工程學院，江蘇 常州 213002)

慣容器的結(jié)構(gòu)實現(xiàn)形式主要有齒輪齒條式[8]、滾珠絲杠式[9]以及液力式[10-11]等，當慣容器的慣質(zhì)系數(shù)為定值且不能調(diào)節(jié)時，此慣容器為被動慣容器。Chen等[12]首次提出了“半主動慣容器”的概念，半主動慣容器的慣質(zhì)系數(shù)不是一個定值，在工作過程中能夠進行調(diào)節(jié)，半主動慣容隔振器可以通過在滾珠絲杠式慣容器中安裝可控慣性飛輪[13]或調(diào)節(jié)液力式慣容器中的管徑[14]來實現(xiàn)。作為一種新型的結(jié)構(gòu)裝置，半主動慣容器已經(jīng)運用于汽車懸架[15]與動力吸振器[16]中，研究表明采用半主動慣容器后，這些裝置具有更好的減振性能。

目前鮮有關(guān)于半主動慣容隔振器的研究，本文將半主動慣容器應用到隔振器中，根據(jù)慣容器的力學特性，提出相對加速度-相對速度控制策略來調(diào)節(jié)半主動慣容器的慣質(zhì)系數(shù)在最大與最小慣質(zhì)系數(shù)間切換，詳細分析此控制策略的有效性，其邏輯意義與半主動減振器中調(diào)節(jié)阻尼的相對速度-相對位移控制策略[17]類似。本文研究最基本的三元件并聯(lián)式與串聯(lián)式半主動慣容隔振器在基礎(chǔ)簡諧激勵下的動態(tài)特性，其中慣容、彈簧和阻尼的元件個數(shù)各為1個，分別為單自由度與1.5自由度系統(tǒng)，運用平均法求解半主動慣容隔振器的動態(tài)響應，定義動態(tài)位移峰值、絕對位移傳遞率峰值、隔振頻帶以及高頻帶的絕對位移傳遞率四個評價指標[18]來評價半主動慣容隔振器的隔振性能，并與被動慣容隔振器進行對比分析。

1 并聯(lián)式半主動慣容隔振器

并聯(lián)式半主動慣容隔振器如圖1所示，其中慣容器、彈簧與阻尼器處于并聯(lián)狀態(tài)。半主動慣容器的可控慣質(zhì)系數(shù)為b；彈簧剛度為k；阻尼器的阻尼系數(shù)為c；x為承載質(zhì)量m從靜態(tài)平衡位置開始時的位移；外界激勵為基礎(chǔ)簡諧激勵y=ymcos(ωt)。

并聯(lián)式半主動慣容隔振器在基礎(chǔ)簡諧激勵下的動力學方程為

圖1 并聯(lián)式半主動慣容隔振器Fig.1 Parallel-connection semi-active inerter-based vibration isolator

(1)

本文為簡化分析，考慮半主動慣容器在調(diào)節(jié)慣質(zhì)系數(shù)時是實時快速地調(diào)節(jié)，不考慮其調(diào)節(jié)響應時間，根據(jù)相對加速度-相對速度控制策略，半主動慣容器的可控慣質(zhì)系數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律如下

(2)

式中,bmax，bmin分別為可調(diào)節(jié)的最大與最小慣質(zhì)系數(shù)。

u″+δu″+2ζu′+u=Ω2ymcos(ΩT)

(3)

(4)

式(3)與式(4)表示對參數(shù)T求導。從式(3)與式(4)可看出，并聯(lián)式半主動慣容隔振器是單自由度分段系統(tǒng)，對于分段系統(tǒng)，采用平均法可以很方便地求得系統(tǒng)的動態(tài)響應[19]，因此運用平均法求解式(3)的近似解析解，假設(shè)系統(tǒng)相對位移u的解的形式為

u=umcosφu

(5a)

u′=-umΩsinφu

(5b)

式中,φu=ΩT+θu，分別將式(5a)與(5b)對參數(shù)T進行求導，可得

(6a)

(6b)

將式(6a)與式(5b)結(jié)合，式(6b)與式(3)結(jié)合，可得

(7a)

(7b)

F(um,θu)=(1-Ω2)umcosφu-δumΩ2cosφu-

2ζΩumsinφu-Ω2ymcos(φu-θu)

(7c)

由式(7a)與(7b)可得

(8)

根據(jù)平均法的思想，將式(8)在一個周期內(nèi)平均化可得近似解析解的振幅和相位的顯示表達式

(9)

將式(5a)代入到式(4)中，可得慣質(zhì)比δ在一個周期內(nèi)的變化規(guī)律

(10)

結(jié)合式(10)，對式(9)進行積分計算，可得

πΩ2ymsinθu]

(11a)

(11b)

(12a)

(12b)

依據(jù)x=u+y，可得系統(tǒng)絕對位移振幅和相位

x=xmcos(ΩT+γ)

(13a)

(13b)

(13c)

將式(12a)與式(12b)代入到式(13b)中，可得系統(tǒng)絕對位移的穩(wěn)態(tài)振幅

(14)

依據(jù)式(14)，可得并聯(lián)式半主動慣容隔振器的絕對位移傳遞率

(15a)

(15b)

隔振器的隔振性能用動態(tài)位移峰值，絕對位移傳遞率峰值，隔振頻帶以及高頻帶的絕對位移傳遞率四個性能評價指標來評價，其中本文中的高頻帶的絕對位移傳遞率取激勵頻率趨于無窮時的絕對位移傳遞率。動態(tài)位移峰值決定了隔振物體在振動過程中的最大位移，絕對位移傳遞率峰值決定了傳遞到隔振物體的最大傳遞率，在實際工程中這兩個數(shù)值不應太大；隔振頻帶表明在此頻帶內(nèi)，絕對位移傳遞率小于1，隔振器有隔振效果；高頻帶的絕對位移傳遞率反映了隔振器在高頻帶的隔振性能。分別將式(12a)，式(14)與式(15b)對激勵頻率進行求導，利用數(shù)值求解可確定相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值，以及其所對應的激勵頻率，后兩個性能評價指標如下

(16a)

(16b)

并聯(lián)式半主動慣容隔振器的隔振性能需與并聯(lián)式被動慣容隔振器及線性隔振器進行比較?；A(chǔ)簡諧激勵下并聯(lián)式被動慣容隔振器與線性被動隔振器的相對位移振幅、絕對位移振幅及絕對位移傳遞率為

并聯(lián)式被動慣容隔振器

(17a)

(17b)

(17c)

線性被動隔振器

(18a)

(18b)

(18c)

依據(jù)式(17)與式(18)，可確定四個性能評價指標

并聯(lián)式被動慣容隔振器

(19)

線性被動隔振器

(20)

當最小慣質(zhì)比δmin與最大慣質(zhì)比δmax取不同值時，并聯(lián)式半主動慣容隔振器相對位移、絕對位移與絕對位移傳遞率如圖2和圖3所示，并與并聯(lián)式被動慣容隔振器及線性被動隔振器進行對比分析，圖中的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值用圓圈表示。本文中系統(tǒng)阻尼比ζ=0.1，基礎(chǔ)簡諧激勵幅值ym=0.02m。當慣質(zhì)比δ增加時，并聯(lián)式被動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值都逐漸減小，隔振頻帶逐漸變寬，高頻帶的絕對位移傳遞率逐漸增大；與線性被動隔振器相比，其高頻帶的隔振性能較差。

從圖2與圖3中可看出，當δmax為定值而δmin變化時，隨著δmin的增加，并聯(lián)式半主動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值逐漸增大，隔振頻帶逐漸變寬，高頻帶的絕對位移傳遞率逐漸增大；當δmin為定值而δmax變化時，隨著δmax的增加，并聯(lián)式半主動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值逐漸減小，隔振頻帶逐漸變寬，高頻帶的絕對位移傳遞率逐漸增大；與并聯(lián)式被動慣容隔振器相比，其相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值較小，隔振頻帶與高頻帶的絕對位移傳遞率介于δ=δmin與δ=δmax之間。

(a)相對位移

(c)絕對位移傳遞率

(a)相對位移

(b)絕對位移

此時需驗證運用平均法求解解析解的精確性，并聯(lián)式半主動慣容隔振器相對位移解析解與數(shù)值解對比如圖4所示。數(shù)值解通過結(jié)合式(4)，并運用四階定步長的龍格庫塔法對式(3)進行數(shù)值積分得到，從圖中可看出，解析解與數(shù)值解比較一致，驗證了解析解的精確性與可靠性，表明運用平均法求解并聯(lián)式半主動慣容隔振器的動態(tài)響應是可行的。

(a)δmax=1 δmin=0

(b)δmax=1 δmin=0.1圖4 并聯(lián)式半主動慣容隔振器相對位移解析解與數(shù)值解對比Fig.4 Comparison between analytical results and numerical results of the relative displacement for the parallel-connection semi-active inerter-based vibration isolator

2 串聯(lián)式半主動慣容隔振器

串聯(lián)式半主動慣容隔振器如圖5所示，其中慣容器與阻尼器先串聯(lián)再與彈簧并聯(lián)。

圖5 串聯(lián)式半主動慣容隔振器Fig.5 Series-connection semi-active inerter-based vibration isolator

串聯(lián)式半主動慣容隔振器為1.5自由度分段系統(tǒng)，其在基礎(chǔ)簡諧激勵下的動力學方程為

(21a)

(21b)

令u=x-y，v=xb-y，與并聯(lián)式半主動慣容隔振器類似，式(21)可化簡為

u″+δu″-δv″+u=Ω2ymcos(ΩT)

(22a)

-δu″+δv″+2ζv′=0

(22b)

為方便運用平均法求解系統(tǒng)的動態(tài)響應，將式(22a)與式(22b)分別化簡為只包含u″與v″的動力學方程，如下

u″+2ζv′+u=Ω2ymcos(ΩT)

(23a)

(23b)

系統(tǒng)相對位移u的解的形式如式(5)所示，相對位移v的解的形式為

v=vmcosφv

(24a)

v′=-vmΩsinφv

(24b)

式中,φv=ΩT+θv，分別將式(24a)與(24b)對參數(shù)T進行求導，可得

(25a)

(25b)

將式(25a)與式(24b)結(jié)合，可得

(26)

將式(5)，式(6)，式(24)，式(25)代入式(23)中，可得

(27a)

F1(um,θu,vm,θv)=um(1-Ω2)cosφu-

2ζΩvmsinφucos(θu-θv)+2ζΩvmcosφusin(θu-θv)-

Ω2ymcosφucosθu-Ω2ymsinφusinθu

(27b)

(27c)

F2(um,θu,vm,θv)=-vmΩ2cosφv+

umcosφvcos(θv-θu)+umsinφvsin(θv-θu)-

(27d)

由式(27a)與(7a)，式(27c)與式(26)可得

(28)

運用式(10)，將式(28)在一個周期內(nèi)平均化可得近似解析解的振幅和相位的顯示表達式

πΩ2ymsinθu]

(29a)

πΩ2ymcosθu]

(29b)

πumsin(θv-θu)-πΩ2ymsinθv+

(29c)

(29d)

-2ζΩvmcos(θu-θv)=Ω2ymsinθu

(30a)

um(1-Ω2)+2ζΩvmsin(θu-θv)=Ω2ymcosθu

(30b)

(30c)

-πvmΩ2+πumcos(θv-θu)+

(30d)

運用非線性代數(shù)方程組求解方法求解此四元非線性方程組，可得串聯(lián)式半主動慣容隔振器相對位移的穩(wěn)態(tài)振幅和相位，絕對位移與絕對位移傳遞率可通過式(13b)與式(15a)求得。串聯(lián)式半主動慣容隔振器的四個評價指標確定過程如下。

(1)相對位移峰值ump

將式(30)對激勵頻率求導，可得

(31a)

(31b)

2πΩymsinθv

(31c)

2πΩymcosθv

(31d)

(2)絕對位移峰值xmp，絕對位移傳遞率峰值Tap

運用式(13b)，對于絕對位移峰值xmp，有

(32)

結(jié)合式(31)，式(32)與相位θu及θv的三角函數(shù)公式，求解此非線性方程組，可確定絕對位移峰值xmp，絕對位移傳遞率峰值Tap=xap/ym。

(3)隔振頻帶

運用式(15a)，在隔振頻率Ωi處，有

(33)

結(jié)合式(30)與式(33)，求解此非線性方程組，可確定隔振頻帶。

(4)高頻帶的絕對位移傳遞率Talim

對于串聯(lián)式半主動慣容隔振器，有

(34)

基礎(chǔ)簡諧激勵下串聯(lián)式被動慣容隔振器的相對位移振幅、絕對位移振幅及絕對位移傳遞率為

(35a)

(35b)

(35c)

(35d)

與并聯(lián)式被動慣容隔振器不同，串聯(lián)式被動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值難以用一個解析表達式來表示，但仍可以先通過將式(35)對激勵頻率進行求導再運用數(shù)值法求解得到，所以這里不再詳細論述其求解過程，后兩個性能評價指標如下

(36a)

(36b)

當慣質(zhì)比δ取不同值時，串聯(lián)式被動慣容隔振器相對位移峰值、絕對位移峰值、絕對位移傳遞率峰值與隔振頻帶如圖6所示，并與線性被動隔振器進行對比分析。當慣質(zhì)比δ增加時，串聯(lián)式被動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值逐漸減小，隔振頻帶先變寬后變窄。與線性被動隔振器相比，串聯(lián)式被動慣容隔振器的隔振頻帶較寬，高頻帶的絕對位移傳遞率都趨于0，當慣質(zhì)比δ取值較大時，其相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值較小，反之較大。

當最小慣質(zhì)比δmin與最大慣質(zhì)比δmax取不同值時，串聯(lián)式半主動慣容隔振器相對位移、絕對位移與絕對位移傳遞率如圖7及圖8所示。當δmax為定值而δmin變化時，隨著δmin的增加，串聯(lián)式半主動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值先減小后增大，隔振頻帶逐漸變窄；當δmin為定值而δmax變化時，隨著δmax的增加，串聯(lián)式半主動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值逐漸減小，隔振頻帶逐漸變窄；與串聯(lián)式被動慣容隔振器相比，其隔振頻帶介于δ=δmin與δ=δmax之間，高頻帶的絕對位移傳遞率都趨于0，當最小慣質(zhì)比δmin與最大慣質(zhì)比δmax取值較大時，相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值較小，反之較大。

(a)相對位移峰值

(b)絕對位移峰值

(c)絕對位移傳遞率峰值

(d)隔振頻帶圖6 δ取不同值時，串聯(lián)式被動慣容隔振器四個性能評價指標Fig.6 Four performance indexes of the series-connection passive inerter-based vibration isolator with different δ

(a)相對位移

(b)絕對位移

(c)絕對位移傳遞率

(a)相對位移

(b)絕對位移

(c)絕對位移傳遞率

串聯(lián)式半主動慣容隔振器相對位移解析解與數(shù)值解對比如圖9所示，數(shù)值解通過結(jié)合式(4)，并運用四階定步長的龍格庫塔法對式(23)進行數(shù)值積分得到。從圖中可看出，對于相對位移u，在峰值頻帶附近，解析解相較數(shù)值解誤差較大，而在其他頻帶內(nèi)，解析解與數(shù)值解誤差較??；對于相對位移v，在整個頻帶內(nèi)，解析解與數(shù)值解比較一致，驗證了解析解的精確性與可靠性，表明運用平均法求解串聯(lián)式半主動慣容隔振器的動態(tài)響應是可行的。

圖9 串聯(lián)式半主動慣容隔振器相對位移解析解與數(shù)值解對比(δmin=0.5，δmax=5)Fig.9 Comparison between analytical results and numerical results of the relative displacement for the series-connection semi-active inerter-based vibration isolator(δmin=0.5，δmax=5)

3 兩種半主動慣容隔振器隔振性能對比分析

并聯(lián)式與串聯(lián)式半主動慣容隔振器隔振性能對比如圖10所示，對比結(jié)果與相應的被動慣容隔振器比較結(jié)果類似。與串聯(lián)式半主動慣容隔振器相比，并聯(lián)式半主動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值較小，隔振頻帶較寬，但高頻帶的絕對位移傳遞率較大。

(a)相對位移

(b)絕對位移

(c)絕對位移傳遞率圖10 兩種半主動慣容隔振器隔振性能對比(δmin=0.5)Fig.10 Comparison of the isolation performance of the two semi-active inerter-based vibration isolators(δmin=0.5)

4 結(jié) 論

本文將半主動慣容器應用于隔振器中，提出了相對加速度-相對速度控制策略，研究了并聯(lián)式與串聯(lián)式半主動慣容隔振器在基礎(chǔ)簡諧激勵下的動態(tài)特性，結(jié)果表明：

(1)運用平均法可以方便地求解半主動慣容隔振器的動態(tài)響應，且解析解與數(shù)值解比較一致，驗證了解析解的精確性與可靠性。

(2)采用相對加速度-相對速度控制的并聯(lián)式半主動慣容隔振器，相較并聯(lián)式被動慣容隔振器，其相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值較小，隔振頻帶與高頻帶的絕對位移傳遞率介于δ=δmin與δ=δmax之間。

(3)采用相對加速度-相對速度控制的串聯(lián)式半主動慣容隔振器，相較串聯(lián)式被動慣容隔振器，其隔振頻帶介于δ=δmin與δ=δmax之間，高頻帶的絕對位移傳遞率都趨于0，當最小慣質(zhì)比δmin與最大慣質(zhì)比δmax取值較大時，相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值較小。

(4)相較串聯(lián)式半主動慣容隔振器，并聯(lián)式半主動慣容隔振器的相對位移峰值、絕對位移峰值與絕對位移傳遞率峰值較小，隔振頻帶較寬，但高頻帶的絕對位移傳遞率較大。