“數(shù)與代數(shù)”作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程教學(xué)的四大內(nèi)容之一，不僅有數(shù)的概念的學(xué)習(xí)，還包含了代數(shù)思維的學(xué)習(xí)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確提出“理解符號[<]，=，[>]的含義”，“能結(jié)合生活實際，解決與常見的量有關(guān)的簡單問題”，“在具體運算和解決問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系”，“了解等式的性質(zhì)，會用等式的性質(zhì)解決簡單的方程”。代數(shù)思維主要體現(xiàn)在符號、簡單的量的關(guān)系、等式與方程的過程與結(jié)構(gòu)之中。代數(shù)思維的形成是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折點。因此，在算術(shù)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中要做好數(shù)的學(xué)習(xí)與代數(shù)學(xué)習(xí)的銜接，這樣有利于學(xué)生在知識體系中對代數(shù)有更恰當(dāng)?shù)睦斫?，為代?shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

在現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，無論哪個版本的教材，都安排了豐富的代數(shù)學(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生由算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維，從而實現(xiàn)由小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無縫銜接。

一、代數(shù)思維的內(nèi)涵解析

（一）代數(shù)思維的內(nèi)涵

代數(shù)是由算術(shù)演變而來的一種以解方程的原理為中心的、系統(tǒng)的、更普遍的解決各種數(shù)量關(guān)系的方法，是對各種數(shù)量問題的解法進行總結(jié)并提煉的結(jié)果。[1]但代數(shù)思維與算術(shù)思維有著本質(zhì)上的不同。算術(shù)思維是從條件出發(fā)，利用具體的數(shù)量計算記錄解答中的思考過程，等式兩邊是不對稱的，表現(xiàn)為：左邊表明的是具體的計算，右邊則是計算所得出的結(jié)果。這個過程是程序性的。而代數(shù)思維研究的對象是代數(shù)式及其運算與變換，是通過聯(lián)系條件與問題，利用數(shù)量相等來建立關(guān)系后轉(zhuǎn)化并產(chǎn)生一定的表達式的結(jié)構(gòu)，其本質(zhì)是一種關(guān)系思維。因而代數(shù)思維既有代數(shù)的結(jié)構(gòu)化和符號化的特點，同時又兼具思維的抽象化和概括化的特點。國際數(shù)學(xué)教育界認為代數(shù)思維主要包含兩個含義：借助于符號的一般化;符號的形式操作。[2]

（二）代數(shù)思維中的主要數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的素養(yǎng)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是掌握包括定理、公式、運算程序以及解題方法在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識與技能等必要的數(shù)學(xué)知識結(jié)論，還需要在學(xué)習(xí)這些知識結(jié)論的過程中獲得數(shù)學(xué)思想?？傮w而言，小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)思維涉及的主要數(shù)學(xué)思想有符號化思想、函數(shù)思想、方程思想以及模型思想。

1.符號化思想

數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界。數(shù)學(xué)符號因其具有簡明、抽象、清晰和準(zhǔn)確等特點成為數(shù)學(xué)世界中常用的語言，并促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展與推廣應(yīng)用。代數(shù)思維中主要涉及字母、圖形、手勢和行為等符號，這些數(shù)學(xué)符號是人們在研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程中產(chǎn)生的，由于使用便利，人們對一種符號賦予了一定的含義，使其能夠進行精確的數(shù)學(xué)運算和推理證明。例如，在探究“加法交換律”時，學(xué)生受認知發(fā)展水平的限制，通過算式的特點能夠理解[a]+2=2+[a]，明白[a]與2之間的數(shù)量關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為可以用符號表示的運算律：[a]+[b]=[b]+[a]。但是對于代數(shù)思維來說，使用字母符號既不是必要的，也不是充分的。代數(shù)思維的核心是“分析+概括”，而非字母本身。[3]也就是說，代數(shù)思維不是必須使用“字母”，而是強調(diào)符號化思想。

2.函數(shù)思想

小學(xué)數(shù)學(xué)蘊含著豐富的函數(shù)思想。函數(shù)是描述自然界中一種量會隨著另一種量的變化而變化的關(guān)系，強調(diào)量與量的一種依存關(guān)系。函數(shù)思想是指用運動發(fā)展變化的眼光去探究具體問題中存在的數(shù)量關(guān)系，建立起函數(shù)關(guān)系，從變化當(dāng)中找到不變的規(guī)律，進而對事物的變化規(guī)律進行描述，在相互依存、相互關(guān)聯(lián)的量中，根據(jù)其中的一個量表示出另一個量。比如，在教學(xué)正比例和反比例的內(nèi)容時，已知鉛筆每支售價1.2元，要解決的問題是：購買2支、3支……10支鉛筆分別需要的價錢。分析后發(fā)現(xiàn)，鉛筆支數(shù)的增加會導(dǎo)致價錢的變化。如果購買[n]支鉛筆，那么總價錢[m]元和鉛筆[n]支就可以用[m]=1.2[n]來表示。

3.方程思想

方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過假定未知數(shù)（如[x]），把問題中條件的已知量和未知量的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組的形式，再利用等式的性質(zhì)求出未知量解決問題。方程思想的核心就是找出未知和已知之間的關(guān)系，用不含數(shù)字的數(shù)學(xué)符號表示出問題中出現(xiàn)的數(shù)量間等價的關(guān)系，建構(gòu)出對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

方程思想是典型的代數(shù)思維的體現(xiàn)，從列數(shù)學(xué)算式解決問題到列方程解決問題，學(xué)生的思維方式發(fā)生了較大的變化。在問題解決過程中，學(xué)生能夠快速地通過列算式解決問題，比如在總價問題、折扣問題、路程問題中的條件較為簡單明了，運用算式求解就是不錯的選擇。但是在復(fù)雜的問題解決中更強調(diào)學(xué)生積極使用代數(shù)思維，先分析條件、明確問題，找出問題中的相等關(guān)系，然后用方程表示已知量和未知量的相等關(guān)系，再結(jié)合四則運算的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解方程。這體現(xiàn)了方程思想把問題中的未知量和已知量放在等同的位置，從而降低分析問題和解決問題的難度，有利于學(xué)生解決數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜的問題。

4.模型思想

模型思想是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心思想。模型思想是指用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來解決實際問題的思想方法。小學(xué)生在列方程解決問題時經(jīng)歷的建模過程，主要體現(xiàn)在從一個問題情境中發(fā)現(xiàn)某種關(guān)系，再用數(shù)學(xué)符號語言對這個關(guān)系進行描述，建立起一個含有未知數(shù)的等量關(guān)系，或者是在幾個有聯(lián)系的問題情境中發(fā)現(xiàn)相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用表格、線段圖、圖形等形式來解釋。

二、小學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)中存在的問題

“數(shù)與代數(shù)”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，是學(xué)習(xí)數(shù)的概念之后的進一步深化和提升，在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中所占比重大，分布較為廣泛，內(nèi)容主要涉及字母表示數(shù)、式與方程、正比例與反比例等。相比較而言，從表現(xiàn)形式上看，代數(shù)思維是一種形式的符號操作;從思維形式上看，代數(shù)思維是一種基于規(guī)則的推理;從問題解決的本質(zhì)來看，代數(shù)思維是一種數(shù)學(xué)建?；顒?從代數(shù)的本質(zhì)上看，代數(shù)思維是以一般化的思想為核心。[4]小學(xué)生的抽象概括能力比較低，如果教師不重視引導(dǎo)學(xué)生運用代數(shù)思維解決問題，就會造成小學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)一些問題。

（一）在符號表征方面的理解與使用上存在困難

表征是指由符號或符號組成的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)來表示數(shù)學(xué)中的對象或結(jié)構(gòu)。從“代數(shù)”的字面意思來看，可以理解為用符號表示數(shù)。符號強調(diào)的是字母、圖形等，用符號表示數(shù)字，實際上就是把符號看成是“待解的已定數(shù)”，使解題的焦點產(chǎn)生轉(zhuǎn)移。但學(xué)生在梳理一些問題的條件時，會在一些具體的問題情境中出現(xiàn)難以理解符號表征的情況，如：○-△=3，□+○=16，△+4=10?！?（ ），○=（ ），△=（ ），○、□和△這些符號在式子中都是用來表示具體的數(shù)，當(dāng)這些具體的數(shù)暫時被符號所代替時，有的學(xué)生就會感到有困難，因為問題的焦點不再是以“某數(shù)”的形式存在，而是轉(zhuǎn)化為求出這些方程式及其解答方法上了。如果學(xué)生仍然糾結(jié)于○-△的結(jié)果是3、□+○的結(jié)果是16、△+4的結(jié)果是10的話，就很容易忽視等號兩邊之間相等的關(guān)系，也就不能正確理解符號所代表的關(guān)系，導(dǎo)致解答錯誤。

（二）將特殊情境聚焦于一般化的解題方法上有難度

《標(biāo)準(zhǔn)》在第二學(xué)段的學(xué)習(xí)目標(biāo)中提出能用方程表示簡單的數(shù)量關(guān)系，能解簡單的方程，要求學(xué)生能運用方程思想和函數(shù)思想找出問題情境中的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)相等的量，跳出題目所給的特殊的情境與數(shù)字。

一般化是代數(shù)思維的核心，是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。[5]在簡單的問題解決中，如果學(xué)生只是借用代數(shù)的符號，就題解題，只關(guān)注6+7的結(jié)果是13（如6+7=13），這實際上運用的還是算術(shù)思維，并沒有關(guān)注符號背后支撐其相等關(guān)系的代數(shù)思維，會影響學(xué)生在復(fù)雜的問題情境中發(fā)現(xiàn)已知量和未知量之間的關(guān)系，形成問題結(jié)構(gòu)化，導(dǎo)致無法順利地解答問題。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)認為，小學(xué)數(shù)學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生的算術(shù)思維為主，把學(xué)生的代數(shù)思維發(fā)展看作是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)，導(dǎo)致教學(xué)時對代數(shù)思維中的數(shù)學(xué)思想滲透得比較少，這也給小學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)及其代數(shù)思維的發(fā)展帶來了障礙。

（三）既有的算術(shù)思維習(xí)慣和偏愛的阻礙

皮亞杰的兒童認知發(fā)展理論認為，兒童在感知運動階段就能夠?qū)^小的數(shù)量產(chǎn)生反應(yīng)，因此，進入小學(xué)之前就具備較強的算術(shù)思維。進入小學(xué)后，一直到四年級，學(xué)生都是用算術(shù)方法解題，到五年級開始學(xué)習(xí)方程時容易出現(xiàn)不習(xí)慣用列方程的方法解題的情況，當(dāng)看到能用算術(shù)方法解題時就會直接運用算術(shù)思維解決。此外，已有的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對體現(xiàn)算術(shù)思維背后的數(shù)值性方法的喜愛勝過于用結(jié)構(gòu)化的方法，這是因為小學(xué)生接觸的大多數(shù)是簡單的數(shù)量關(guān)系，知道如何去做，在這種情況下用方程解題的優(yōu)勢就難以凸顯出來，用方程解決問題的意識就比較薄弱，相應(yīng)的，列方程解題的能力也會受到影響。

三、小學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)策略

在學(xué)生從算數(shù)思維過渡到代數(shù)思維的學(xué)習(xí)中存在的困難與問題的研究中發(fā)現(xiàn)，算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡絕不僅僅是通過大量的算術(shù)練習(xí)或符號操演就能解決的。小學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)可以圍繞關(guān)注符號表征、方程思想解題、函數(shù)思想及關(guān)系性思維幾個方面展開。

（一）在多元表征的學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的符號表征意識

在教學(xué)中，代數(shù)思維的培養(yǎng)要注重符號語言。學(xué)生能夠運用自然語言描述量與量之間的關(guān)系后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考能否用符號或者含有字母的式子表示，使學(xué)生在主動發(fā)現(xiàn)與交流中利用包括符號在內(nèi)的多種形式表征同一情境，從而加深對不同表征形式中的等價關(guān)系的理解，將等價關(guān)系推廣到類似的情境中發(fā)展代數(shù)思維。

例如，在教學(xué)“整數(shù)乘法的認識”時，教師可以呈現(xiàn)：2+2+2=（ ）×（ ），4+4+4=（ ）×（ ），9+9+9=（ ）×（ ），△+△+△=（ ）×（ ），[a]+[a]+[a]=（ ）×（ ）。通過△、[a]表示算式中相同的加數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考△、[a]可以表示哪些數(shù)，從而理解乘法的意義。在學(xué)習(xí)運算律時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生簡化“加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律以及乘法結(jié)合律是什么”的自然語言，讓學(xué)生用符號語言來呈現(xiàn)，再對符號所代表的數(shù)進行討論，將符號滲透到變量和等量關(guān)系中，這對學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)來說是非常有必要的。符號語言的概括化與一般化也是代數(shù)思維的特點，為在問題解決中的使用提供了便利，也提高了學(xué)生的代數(shù)思維能力。

（二）培養(yǎng)學(xué)生用列方程解題的意識和能力

《標(biāo)準(zhǔn)》明確了通過“式與方程”的學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦中的數(shù)的概念得以擴展，能更簡明地用符號表達日常生活中的數(shù)量關(guān)系及一般規(guī)律?！笆脚c方程”的學(xué)習(xí)是學(xué)生由算術(shù)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向代數(shù)學(xué)習(xí)，由算術(shù)思維向代數(shù)思維發(fā)展的必經(jīng)之路。由算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維，教師需要精心設(shè)計教學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷這一過程。

第一，培養(yǎng)學(xué)生用方程解題的意識。小學(xué)生在解決問題過程中往往習(xí)慣于利用頭腦中已有的算術(shù)知識經(jīng)驗，且大多數(shù)剛學(xué)習(xí)方程的學(xué)生并不能意識到方程的優(yōu)點，主觀使用方程解題的意愿不高。對于計算較為復(fù)雜的題目，用算術(shù)法解題比較復(fù)雜，步驟繁瑣，相比較而言，用方程解題有以下優(yōu)勢：可以根據(jù)條件中的數(shù)量關(guān)系進行整體的構(gòu)造，能清晰地解釋問題的結(jié)構(gòu)，避免在算術(shù)解題中對中間變量進行解釋;通過將未知數(shù)與已知數(shù)放到對等的位置上操作，能避免算式解題中逆向思維所帶來的困難。所以，教學(xué)中教師可以設(shè)置一些趣味性的生活問題或稍微復(fù)雜的問題情境，讓學(xué)生切實感受到列方程解決問題的獨特價值，培養(yǎng)學(xué)生用方程解題的意識。

第二，提高學(xué)生用方程解題的能力。在日常的問題解決教學(xué)中，教師要有意識地訓(xùn)練學(xué)生尋找題目中的數(shù)量關(guān)系，弄清楚題目需要的是直接假設(shè)還是間接假設(shè)需要的量，然后用符號語言建構(gòu)方程。在用相等的數(shù)量關(guān)系寫出方程后，教師再指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用四則運算的性質(zhì)或利用等式的性質(zhì)解方程，明確假設(shè)的量是使這個方程平衡的值，從而發(fā)展學(xué)生用列方程解決實際問題的代數(shù)思維。

（三）創(chuàng)設(shè)合適的情境，滲透函數(shù)思想

代數(shù)思維的核心思想是一般化，突破具體問題情境的限制，尋找到一般化的思想也是函數(shù)思想的體現(xiàn)。盡管在《標(biāo)準(zhǔn)》中沒有明確指出第一學(xué)段有關(guān)函數(shù)思想的內(nèi)容，但結(jié)合現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材就會發(fā)現(xiàn)，在第一學(xué)段的學(xué)習(xí)中，函數(shù)思想主要是通過表格、找規(guī)律等形式進行滲透。

如下表，教學(xué)時教師通過讓學(xué)生觀察被減數(shù)和減數(shù)的數(shù)值變化情況，能夠總結(jié)出差的變化規(guī)律。當(dāng)然，也可以表征發(fā)現(xiàn)減數(shù)與差的關(guān)系，推廣到減數(shù)與差的和、被減數(shù)之間的等價關(guān)系。同時，教師可以詢問學(xué)生能不能再寫出滿足這樣關(guān)系的量并描述其變化規(guī)律。

減法算式各部分之間的關(guān)系[被減數(shù) 70 70 70 70 減數(shù) 14 24 34 44 差 ]

在第二學(xué)段，教師可以通過學(xué)生熟悉的問題情境去研究變量間更進一步的關(guān)系。教學(xué)正比例和反比例時，教師要鼓勵學(xué)生在分析具體問題和進行數(shù)據(jù)計算后，進一步探究問題中的簡單的表達式，根據(jù)問題中變量之間的呈正比或者呈反比的關(guān)系，嘗試建立起自變量、因變量和常數(shù)的關(guān)系，同時聯(lián)系生活實際，體會量與量之間一一對應(yīng)的關(guān)系，抓住問題情境中最為本質(zhì)的函數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生進入真正意義的代數(shù)學(xué)習(xí)。

（四）關(guān)注學(xué)生關(guān)系性思維的培養(yǎng)

關(guān)系性思維是代數(shù)思維的基礎(chǔ)，是基于將等號兩側(cè)的表達式和等式看作整體，對各數(shù)量“有聯(lián)系地”進行思考，揭示相互關(guān)系的思維。這種“聯(lián)系”是不需要通過常規(guī)的計算得出結(jié)果，是通過呈現(xiàn)出的一系列常規(guī)算式在比較中去抓住數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系。[6]例如，計算58+37可以利用58接近60，通過58“增加2”，則37“減去2”轉(zhuǎn)化為60+35。這種轉(zhuǎn)化就隱含著“[a]+[b]=（[a]+[c]）+（[b]+[c]）”這樣一種代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)。受這種關(guān)系結(jié)構(gòu)式的啟發(fā)，學(xué)生利用這種策略解決不同的數(shù)字問題，不僅體現(xiàn)了代數(shù)思維中對等號兩邊數(shù)量關(guān)系的等價，也表現(xiàn)了對“抵消”這一數(shù)字關(guān)系的理解。這樣，即使學(xué)生思考的對象是算術(shù)，實際上卻是代數(shù)思想在支撐著。

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[3]鄭毓信.數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)會思維——“教數(shù)學(xué)、想數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)”系列之四[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015，（6）：4-11.

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[作者簡介]李星云，男，南京師范大學(xué)小學(xué)教育研究所所長、教授、博士生導(dǎo)師。

（責(zé)編 歐孔群）