王志南

[摘 要]

以核心問題驅(qū)動學生數(shù)學學習，可以促進學生對數(shù)學知識的深刻理解和自主建構(gòu)，引領(lǐng)兒童走向深度學習。漸進式數(shù)學核心問題通常出現(xiàn)在學生“逐步逼近”數(shù)學知識本質(zhì)之時，在數(shù)學教學中，教師要引領(lǐng)學生從驗證式走向探究式，在深刻理解中拓展核心問題;以開放性問題驅(qū)動，在互動中逐步逼近核心問題;設計挑戰(zhàn)性任務，在活動中深刻感悟核心問題。

[關(guān)鍵詞]

漸進式;數(shù)學核心問題;深度學習

課堂教學的設計歸根結(jié)底就是課堂提問的設計，如果提問過于瑣碎和零散，則不利于學生的數(shù)學學習，學生的思維則會淹沒在問題之中，而無法真正掌握所學內(nèi)容中的核心知識。聚焦核心知識的提問即核心問題，解決好數(shù)學教與學中的核心問題，則聚焦知識本質(zhì)，“綱舉目張”，事半功倍。

核心問題的呈現(xiàn)方式是多樣的，有開門見山，有引而待發(fā)，有的是老師提出，也有的由學生自主提煉。呈現(xiàn)的時機也不盡相同，核心問題的呈現(xiàn)并不一定要在課始，也不是越早越好。有時，核心問題出現(xiàn)在學生“逐步逼近”數(shù)學知識本質(zhì)之時，我們將此類核心問題稱為漸進式數(shù)學核心問題。那么，在教學實踐中，如何提煉漸進式數(shù)學核心問題，推動兒童思維發(fā)展，引領(lǐng)兒童走向數(shù)學深度學習呢？

一、從驗證式走向探究式，在深刻理解中拓展核心問題

數(shù)學知識的習得關(guān)鍵在于理解，只有被學生理解的數(shù)學，才會成為支撐學生以后發(fā)展的資源，被學生深刻理解的數(shù)學，才能融入學生已有的知識結(jié)構(gòu)之中，使之成為知識結(jié)構(gòu)中的一部分，并不斷地與其他知識發(fā)生聯(lián)系。某種意義上說，“學習就是理解，理解就是一個意義賦予過程，即學生必須依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗對建構(gòu)的知識作出解釋，在新的學習材料與主體已有的知識和經(jīng)驗之間建立起實質(zhì)性的聯(lián)系，從而獲得真正的意義?！盵1]從這個意義上講，學生獲得的知識意義對學習者而言也是一種“創(chuàng)造性的理解”的過程。因而在教學過程中，教師設計的學生活動，不能局限于引導學生去驗證已有的結(jié)論，而要將學生的學習活動設計得更為開放，讓其從驗證式學習走向探究式學習。

如在人教版數(shù)學六年級下冊的《鴿巢問題》一課中，筆者進行了如下嘗試：

【活動一】4只鴿子飛回3個鴿巢。鴿巢中的鴿子數(shù)會有多少種不同的情況呢？

1.一一列舉法

①組織學生小組合作，研究鴿巢中的鴿子數(shù)一共會有幾種不同的情況？

②學生匯報探究結(jié)果，揭示數(shù)學方法（板書：一一列舉法）

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

③觀察不同的方法，你有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

學生發(fā)現(xiàn)：無論怎么飛，總有一個鴿巢里至少有2只鴿子？

2.假設法

①引導：剛才我們用一一列舉法獲得了結(jié)論，如果想要發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論，你還有其他的方法嗎？怎樣才能最快地知道鴿巢中鴿子的最大數(shù)至少是幾？大家討論討論。

②解釋：學生用假設法來解釋所得規(guī)律中的數(shù)學道理，課件演示驗證。

假設每個鴿巢先飛進1只鴿子，最多飛進3只，余下的1只鴿子可以飛進任意的一個鴿巢里，這樣就會發(fā)現(xiàn)，不管怎么放，總有一個鴿巢至少飛進2只鴿子。

揭示：這種方法在數(shù)學上叫作假設法。（板書：假設法）

③追問：繼續(xù)品味這種假設的方法，要想知道“鴿巢中鴿子的最大數(shù)至少是幾”，在分的時候要怎樣分？（盡可能分得均勻些）

④提問：假設法體現(xiàn)了平均分的思想，你能不能把剛才平均分的過程用算式表示出來？

……

在《鴿巢問題》一課的教學中，許多教師通常滿足于讓學生通過操作活動驗證“四只鉛筆放進三個筆筒，總有一個筆筒里至少放進2只鉛筆”這一結(jié)論。由于學生在操作前就已知結(jié)論，因而學生的操作活動是淺層次的，缺乏探究的主動性。這樣的驗證式學習將學習目標指向結(jié)論的獲得，而非深入地理解為什么會有這樣的數(shù)學規(guī)律。事實上，數(shù)學理解不是簡單的被動接受，往往需要學習者自己的積極、主動、有意識的思維參與。如果沒有思維參與，學生難以對所學內(nèi)容產(chǎn)生真正意義上的理解。探究式學習則更為開放，學生思維的空間更大，有助于學生深入“卷入”活動之中，促進學生對數(shù)學規(guī)律的理解和內(nèi)化。

鄭毓信教授認為，“創(chuàng)設好的數(shù)學學習情境特別重要的一環(huán)在于，教師應善于提出問題，提出具有挑戰(zhàn)性、啟發(fā)性的問題，很好地激發(fā)學生的好奇心，從而促使學生積極地去進行學習，深入地去進行思考?！盵2]案例中，核心問題由“鴿巢問題中有怎樣的規(guī)律”逐漸轉(zhuǎn)向“鴿巢問題中為什么有這樣的規(guī)律？”學生所學到的不僅是“至少數(shù)=商+1”這一結(jié)論，更指向深刻理解這一規(guī)律背后所隱藏的數(shù)學道理，實現(xiàn)“列舉法”與“假設法”之間的融合互通。

二、以開放性問題驅(qū)動，在互動中逐步逼近核心問題

在數(shù)學教學中，開放性的問題情境有利于學生進行個性化的自主探究，對問題情境進行多層次的思考，獲得多樣化的解決問題的方案。尤其是，在解決與生活密切相關(guān)的復雜問題時，開放性探究有助于不同層次的學生均能尋找到解決問題的路徑，在結(jié)構(gòu)化的資源呈現(xiàn)中實現(xiàn)思維的互動和碰撞，尋獲解決問題的最佳方案。同時，在開放性問題的探究中，學生逐漸逼近問題情境中的核心問題，化繁為簡，化難為易。

如在教學“怎樣租船最合理”這一經(jīng)典題型時，我放手讓學生自由設計租船方案。

問題情境：老師和同學共 46 人坐船游玩，每條大船可以坐 10 人，每條小船可以坐 6 人，大船每條 60 元，小船每條 40 元，怎樣租船比較合理呢？

學生設計的方案如下：

生1：全部租大船，租 5 條，租金為60×5=300元。

生2：全部租小船，租 8 條，租金為40×8=320元。

生3：可以租 4 條大船，1 條小船，10×4 +6×1 = 46（人），正好可以坐滿，沒有浪費的位置。租金為60×4+40×1=280元。

生4：還可以租 3 條大船，3 條小船，10×3 +6×3 = 48（人），這樣雖然沒有多了2個位置，租金也差不多，租金是60×3+40×3=300元。

生5：我覺得正好坐滿沒有空位的思路挺好，我也想到了一種方法，租 1 條大船和 6 條小船，10×1 + 6×6 = 46（人），也正好可以做 46 人，租金是60×1+40×6=300元。

師：同學們設計出來了不同的租船方案，你覺得哪種方案最合理呢？

生1：我覺得最合理的方案是剛好坐滿沒有空位的那種。

生2：我覺得設計方案時不僅要考慮盡可能不要有空位，還要看誰的租金最少才是最合理的。上面的方案3和方案5都沒有空位，但方案3花錢最好，所以最合理。

師：說得真好，觀察方案3和方案5，都是正好坐滿無空位，請大家思考為什么方案3花錢更少呢？

生：我發(fā)現(xiàn)方案3租的大船多，小船少。而如果算一下坐大船的同學租金單價是60÷10=6元，坐小船的同學租金單價是40÷6≈6.7元，租大船平均每人的租金便宜，因此要優(yōu)先租用大船。

上述教學片斷中，教師并沒有直接拋出核心問題：“怎樣租船最合理呢？”而是設計開放性的問題情境，啟發(fā)學生從不同角度進行思考，設計不同的租船方案，學生在比較中優(yōu)化設計，尋找最合理的方案。案例中，核心問題的提出是漸進的、學生自主的需求，核心問題的提煉猶如“洋蔥剝皮”，在層層推進中愈加凸顯其對學生的思維推動作用。事實上，“怎樣租船最劃算”這一問題對學生而言是較為復雜的，因而教學時不必急于把問題說透，而是要留有學生開放性探索的空間，讓每一個層次學生都能設計出一兩種方案，并有自己的思考。在此基礎上進行優(yōu)化，核心問題“哪種方案最合理呢？”的提出就顯得水到渠成。在學生發(fā)現(xiàn)最合理的方案后，再次引導學生思考：兩種方案都沒有空位，為什么方案3更劃算呢？進而引導學生發(fā)現(xiàn)，大船平均每人的租金便宜，因此租船時要遵循“優(yōu)先租大船”原則。

核心問題采用漸進式的呈現(xiàn)方式，可以促進學生在開放性的探究中不斷逼近核心問題，不斷逼近數(shù)學核心知識。同時，正因為核心問題的漸進呈現(xiàn)，學生對問題的探索與理解處于一種積極的情感體驗之中，學生學的不僅某一解題方法，更有數(shù)學探究所帶來的愉悅體驗。

三、設計挑戰(zhàn)性任務，在活動中深刻感悟核心問題

我們時常發(fā)現(xiàn)，一些重要的數(shù)學規(guī)律、法則雖然教師在教學中反復強調(diào)，在實際應用時還是有許多學生容易遺忘或是應用時有困難。究其原因，這些規(guī)律、法則的獲得過程往往是通過淺層次的被動學習（聽講、閱讀、視聽、演示等）所獲得，未能激發(fā)學生情感的參與和深層次的學習體驗。腦科學研究表明，“當事實和技能鑲嵌在自然的空間記憶中時，我們就能最佳地理解和記憶。”[3]將空間記憶與動手操作相結(jié)合，將極大地提升腦的效能。數(shù)學教學中，教師應有意識地設計富有挑戰(zhàn)性的學習活動，引導學生在活動中感悟數(shù)學規(guī)律，把握數(shù)學本質(zhì)。

如教學《表面涂色的正方體》時，許多教師設計本課時，往往急于引導學生發(fā)現(xiàn)表面涂色正方體中各種小正方即體的個數(shù)，探究其中的規(guī)律，乃至用字母式表示規(guī)律。特級教師華應龍在教學本課時，華老師的設計則顯得不是那么“急于求成”，他精心準備了棱長為3厘米的表面涂色的正方體積木，將其打亂，讓學生去嘗試將其復原成正方體。

挑戰(zhàn)性任務：看哪一組動手能力最強，能在最短時間將正方體還原。

（1）小正方體有幾種？

（2）每種小正方體各有多少個？

（3）每種小正方體分別在大正方體的什么位置？

在引導學生交流研究結(jié)果后，華老師再次引導學生結(jié)合直觀圖觀察和思考“棱長4厘米的正方體中每種小正方體各有多少個？”“棱長5厘米的正方體中每種小正方體各有多少個？”然后，再次組織學生嘗試將棱長為3厘米的正方體積木還原。

教學中，華老師設計了三次“比一比”，用來認識“表面涂色的正方體”。事實上，將表面涂色的正方體還原對學生而言是有難度的，原因在于，如果不把握表面涂色正方體的排列規(guī)律和內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是無法將其還原的。另外，如果一個小正方體的位置放錯，就不好再繼續(xù)拼了。三次“比一比”，第一次，2分鐘時間，比一比哪組同學動手能力強？第二次，2分鐘時間，比一比哪組同學表現(xiàn)最棒？第三次，明天的課上比一比哪組同學用時最少？試想，下課后學生是不是會欲罷不能，繼續(xù)“玩”下去？這樣一遍又一遍地玩過之后，“表面涂色的正方體”的規(guī)律、特征是不是會深深地映刻在學生腦海里？

羅杰斯說：“真正能夠影響一個人的行為的知識，只能是他自己親身經(jīng)歷并加以同化的知識，凡是可以教給別人的結(jié)果性知識相對來說都用處不大。”案例中，華老師教學時并沒有直接出示本課的核心問題：每種小正方體的擺布有怎樣的規(guī)律？在第一課時結(jié)束時也未組織學生總結(jié)“表面涂色的正方體中小正方體的個數(shù)規(guī)律”，許多教師頗感不解，學了一課，未總結(jié)其中的數(shù)學規(guī)律總感覺不完整，有些別扭。事實上，華老師雖然沒有拋出核心問題：“表面涂色的正方體”中各種小正方體有怎樣的規(guī)律？但學生對這一規(guī)律的理解和研究又是無處不在，將規(guī)律的探索蘊含于操作實踐之中，探明小正方體的擺布規(guī)律及內(nèi)在結(jié)構(gòu)成為學生的內(nèi)在需求。組織學生挑戰(zhàn)將“棱長為3厘米的表面涂色正方體積木還原”這一活動極具創(chuàng)意，教師沒有順著教材思路讓學生去觀察、發(fā)現(xiàn)，而是“倒過來干”，設計挑戰(zhàn)性任務激發(fā)學生探究需求，以有挑戰(zhàn)的操作活動來促進學生走向分析、評價、創(chuàng)造等高階思維。三次“比一比”，不是簡單的重復，而是經(jīng)歷思維的梳理和認識的清晰的過程。本案例又給我們這樣一條啟示：數(shù)學學習的重要規(guī)律的探索不必急于求成，要“善留白，緩說破”，“捂緊蓋子”，給予自主探索與感悟的時間和空間，引領(lǐng)學生對核心問題進行深入、充分地探究，獲得感性、豐富而深刻的數(shù)學活動經(jīng)驗，進而使數(shù)學規(guī)律得以真正地理解和內(nèi)化。

[參 考 文 獻]

[1]張桂春.激進建構(gòu)主義教學思想研究[M].大連：遼寧師范大學出版社，2002.

[2]鄭毓信.新數(shù)學教育哲學[M].上海：華東師范大學出版社，2015.

[3]雷納特·N.凱恩等，呂林海譯.創(chuàng)設聯(lián)結(jié)：教學與人腦[M].上海：華東師范大學出版社，2004.

（責任編輯：李雪虹）