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        用向量法求二面角的常用技巧

        2019-11-14 14:50:19唐中奎
        新課程·中學(xué) 2019年9期
        關(guān)鍵詞:二面角技巧

        唐中奎

        摘 要:在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,不管是教學(xué)觀念,還是教學(xué)方法,都發(fā)生了很大的變化,作為高中數(shù)學(xué)教師,需要積累豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及諸多的解題技巧,并且充分認(rèn)識到教學(xué)過程中存在的不足之處,進(jìn)而采取有效的解決對策,提升教學(xué)水平。其中,對二面角進(jìn)行教學(xué)時(shí),教師應(yīng)該對向量法給予高度重視,讓學(xué)生充分掌握常用的解題技巧。主要闡述了采用向量法求二面角的常用技巧。

        關(guān)鍵詞:向量法;技巧;二面角

        由于新課改的不斷推進(jìn),在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為了有效提高教學(xué)效率,數(shù)學(xué)教師應(yīng)該從學(xué)生的學(xué)習(xí)情況出發(fā),明確教學(xué)中存在的問題,不斷調(diào)整教學(xué)模式,設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容要滿足學(xué)生的實(shí)際需求,尤其要重視一些解題技巧,以此提高學(xué)生的解題能力。一直以來,在高中教學(xué)中,向量法是重要的教學(xué)內(nèi)容,在高考的考點(diǎn)中,二面角方面的命題也比較常見,通過空間向量的應(yīng)用,為二面角命題提供了有效的解題方式。下面以向量求解二面角問題為例。

        題目:在四棱錐P-ABCD中,PD⊥CD,PDC面與ABCD面相互垂直,ABCD為直角梯形,∠ADC為直角,AB∥CD,AB=PD=AD=1,DC=2,詳情見圖1。

        (1)證明:BC垂直于面PBD;

        (2)求二面角B-PC-D的余弦值;

        (3)在PC中,是否存在點(diǎn)Q,可以使P-DB-Q等于45°,如果存在點(diǎn)Q,請給出具體位置,如果不存在,請說明理由。

        一、根據(jù)現(xiàn)有的垂直關(guān)系構(gòu)建空間坐標(biāo)系

        (1)證明:因?yàn)镻CD⊥ABCD,CD⊥PD,所以,PD⊥ABCD。具體見圖2所示。

        以D為原點(diǎn),構(gòu)建D-xyz空間直角坐標(biāo)系,那么,A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,(1,1,0),因此,B⊥BC。

        由于PD⊥ABCD,PD也就垂直于BC,因此,BC⊥PBD。

        二、向量求解

        在求解二面角的過程中,能夠直接轉(zhuǎn)化成為兩個(gè)平面的夾角問題,通過求出兩個(gè)平面的法向量,可以找到答案,一般題中會給出一個(gè)平面的垂直線段,這就可以看作是法向量。對于另一個(gè)平面的法向量進(jìn)行求解時(shí),需要根據(jù)法向量的定義進(jìn)行求解,也就是說,利用一個(gè)法向量,得到另一個(gè)法向量。在本題的(2)中,對于PCD法向量,能夠直接利用向量DA進(jìn)行求解。

        (2)解:已知AD⊥PC,0)屬于平面PCD的法向量。

        設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,。

        1,1,0),可以得出-x+y=0,2y-z=0,當(dāng)x=1時(shí),n=(1,1,2)。

        設(shè)二面角B-PC-D為α,由圖可知,α是銳角,因此,cos

        因此,二面角B-PC-D的余弦值為

        三、判斷二面角的余弦值正負(fù),可以根據(jù)法向量的方向性進(jìn)行解析

        設(shè)n1,n2為二面角α-l-β的面的法向量α、β,二面角α-l-β的大小也就是法向量n1,n2的夾角,在本題(2)中,可以得知所求的二面角屬于銳角。不過,在多數(shù)情況下,判斷起來并不容易,但是,經(jīng)過向量的性質(zhì),可以有效解決相關(guān)的問題。

        若PA⊥α于點(diǎn)A,PB⊥β于點(diǎn)B,平面PAB與l相交于點(diǎn)E,那么,∠AEB屬于二面角α-l-β的平面角,∠APB+∠AEB=π。假設(shè)n1,n2是二面角的法向量。如圖3。

        (1)當(dāng)法向量n1、n2分別指向二面角的內(nèi)側(cè)和外側(cè)時(shí),法向量n1、n2的夾角就是二面角的大小。

        (2)當(dāng)法向量n1、n2的方面均指向二面角的內(nèi)側(cè)、外側(cè)時(shí),那么,法向量n1、n2的夾角的補(bǔ)角就是二面角的大小。

        判斷方法:在不改變法向量法向量n2的前提下,將平面β移動到點(diǎn)起點(diǎn),以此為原點(diǎn),詳情見圖4。此時(shí),可以判斷n2指向二面角的內(nèi)側(cè),利用相同的方向,能夠確定另一個(gè)平面的法向量指向,進(jìn)而判斷法向量夾角是否屬于二面角。

        綜上所述,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為了解決二面角方面的問題,作為高中數(shù)學(xué)教師,要深入理解二面角的內(nèi)涵,并且根據(jù)新課改的要求,不斷地創(chuàng)新教學(xué)方法,讓學(xué)生掌握二面角的解題技巧。對于向量來說,是一種有效的解題工具,不僅可以為學(xué)生提供新的思考方式,還能為教師提供新的教學(xué)方法,在很大程度上,可以有效簡化學(xué)生的思考過程,進(jìn)而有效減少學(xué)生的運(yùn)算量,有效滿足了新課程改革的相關(guān)需求,也為二面角的求解提供了重要的解題武器。不僅如此,通過向量法,可以解決的題型比較多,本文只是列舉了一個(gè)例子而已,對于三角函數(shù)以及正余弦定理公式,還有線段定比分點(diǎn)公式等,均能夠以向量為工具,解二面角方面的問題。由此可見,在日常的教學(xué)中,教師應(yīng)該向?qū)W生全面滲透向量法的解題技巧,進(jìn)而培學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣,使其能夠充分應(yīng)用向量法,提升自身的數(shù)學(xué)成績。

        參考文獻(xiàn):

        [1]董培曉.向量法求二面角中法向量方向的控制[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(8):139.

        [2]梁昌金.向量法求二面角的一個(gè)新途徑[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2015(19):26-28.

        [3]趙雄.淺析向量法求解二面角[J].求知導(dǎo)刊,2014(6):104.

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