何光進(jìn)，高 峰

三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法

何光進(jìn)，高 峰

（駐廣州地區(qū)第三軍事代表室，廣州 510000）

傳統(tǒng)的基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法沒(méi)有充分利用矢量水聽(tīng)器各分量之間的正交特性，存在多目標(biāo)分辨能力不足的缺點(diǎn)。針對(duì)這一情況，文中引入了四元數(shù)的概念，利用四元數(shù)能更好地描述矢量水聽(tīng)器各分量的正交結(jié)構(gòu)這一優(yōu)點(diǎn)，提出了三種基于四元數(shù)模型的二維聲矢量陣方位估計(jì)算法：Q-VV算法、Q-PV算法和Q-PVV算法。與基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法相比，新算法降低了協(xié)方差矩陣的維數(shù)，占用更少的內(nèi)存空間。同時(shí)，由于利用了四元數(shù)強(qiáng)正交性約束的特點(diǎn)，新算法有好的單目標(biāo)估計(jì)精度和多目標(biāo)分辨能力。其中：Q-PV算法和Q-PVV算法利用了聲壓與振速的相干性，抗各向同性干擾的能力優(yōu)于Q-VV算法。仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性。

聲矢量陣 MUSIC算法 四元數(shù) 方位估計(jì) 聯(lián)合方位估計(jì)

0 引言

聲源波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是水下聲納系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容，隨著矢量水聽(tīng)器的出現(xiàn)，聲矢量信號(hào)處理成為研究熱點(diǎn)。由于矢量水聽(tīng)器可以同時(shí)、共點(diǎn)地拾取水下空間某一質(zhì)點(diǎn)的聲壓與振速信息，與聲壓水聽(tīng)器相比，在相同陣元條件，矢量水聽(tīng)器陣有較高的陣增益和空間分辨力。因此，許多學(xué)者將矢量水聽(tīng)器的優(yōu)點(diǎn)和超分辨率方位估計(jì)算法相結(jié)合，研究了基于矢量水聽(tīng)器陣的超分辨率DOA估計(jì)算法[1-6]。但是，這些算法都采用“長(zhǎng)矢量”形式的數(shù)學(xué)模型，即將聲壓與振速分量看成相互獨(dú)立的輸出，將描述不同陣元輸出的復(fù)矢量進(jìn)行串聯(lián)，通過(guò)增加觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣的維數(shù)來(lái)提高對(duì)目標(biāo)信號(hào)DOA估計(jì)精度[7]。由于這種模型沒(méi)有利用到矢量水聽(tīng)器各振速分量之間的局部正交信息，因此目標(biāo)DOA估計(jì)效果較差。針對(duì)這一事實(shí)，本文將四元數(shù)模型引入到聲矢量陣列信號(hào)處理領(lǐng)域，利用四元數(shù)能更好地描述矢量水聽(tīng)器陣元的正交結(jié)構(gòu)這一優(yōu)點(diǎn)，提出了三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法：Q-VV方法、Q-PV算法和Q-PVV算法。仿真實(shí)驗(yàn)證明了以上算法均優(yōu)于傳統(tǒng)的基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法，而且，由于四元數(shù)模型的信息表達(dá)方式更加緊湊，新算法可節(jié)約大量的內(nèi)存空間。另外，在遠(yuǎn)程聲場(chǎng)中，相干源信號(hào)的聲壓和振速是相干的，而各向同性噪聲的聲壓與振速是不相關(guān)的[8]，Q-PV和Q-PVV算法同時(shí)利用了聲矢量陣輸出的聲壓振速信息，因此有更強(qiáng)的抗各向同性干擾的能力，單目標(biāo)DOA估計(jì)能力和多目標(biāo)分辨能力略優(yōu)于Q-VV算法。

1 四元數(shù)概念

由四元數(shù)組成的向量稱為四元數(shù)向量，N維四元數(shù)向量記為H；由四元數(shù)組成的矩陣稱為四元數(shù)矩陣，記為H。對(duì)四元數(shù)的相關(guān)運(yùn)算有不同的定義，本文采用如下的形式[9,10]：

2 聲矢量陣模型

圖1 二維聲矢量陣模型

則二維聲矢量陣的振速輸出為：

3 基于四元數(shù)的方位估計(jì)算法

3.1 Q-VV法

對(duì)于聲矢量陣某個(gè)陣元m，該方法（稱為Q-VV法）將一次快拍輸出的振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解（SVD）：

由子空間分解的性質(zhì)知：噪聲子空間與全局陣列流形正交，根據(jù)MUSIC算法的思想，建立如下的方位估計(jì)公式：

3.2 Q-PVV法

具體為：將單矢量水聽(tīng)器一次快拍輸出的聲壓振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

此時(shí)的方位估計(jì)公式應(yīng)為：

3.3 Q-PV法

具體為：將單矢量水聽(tīng)器一次快拍輸出的聲壓振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

此時(shí)的方位估計(jì)公式應(yīng)為：

4 算法分析

下面分析本文的四元數(shù)模型與傳統(tǒng)的長(zhǎng)矢量模型在正交性約束方面的差異[13]。

比較兩種表達(dá)形式的正交條件知，基于四元數(shù)的正交性約束更強(qiáng)，能進(jìn)一步地降低估計(jì)結(jié)果的離散性。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 仿真1 單目標(biāo)DOA估計(jì)

圖2 單目標(biāo)DOA估計(jì)結(jié)果

圖3 算法的單目標(biāo)估計(jì)圴方誤差曲線

5.2 仿真2多目標(biāo)DOA估計(jì)

假設(shè)有中心頻率為1000 Hz的兩相干聲源分別以20°和40°方向入射至二維聲矢量陣，上述四種算法對(duì)雙目標(biāo)的DOA估計(jì)結(jié)果如圖4（a）所示。仿真中，陣元數(shù)M=5，信噪比SNR=30 dB，快拍數(shù)N=100。從圖中可以看出基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法已不能區(qū)分兩目標(biāo)，而基于四元數(shù)模型的MUSIC算法則能夠十分清晰地估計(jì)出兩目標(biāo)的方位。圖4（b）給出了三個(gè)聲源入射至二維聲矢量陣的仿真結(jié)果，三個(gè)聲源的入向射角為[10°, 20°, 50°]，頻率為[1000 Hz, 980 Hz, 1000 Hz]，其余條件不變。

圖4 基于四元數(shù)模型的MUSIC算法相干目標(biāo)估計(jì)結(jié)果

從圖中可以看出，長(zhǎng)矢量方法僅能識(shí)別出第二個(gè)聲源，而基于四元數(shù)的MUSIC方法均可以準(zhǔn)確地估計(jì)出三個(gè)聲源的DOA，優(yōu)越性明顯。通過(guò)比較圖2和圖3知，Q-PV和Q-PVV算法比Q-VV算法有更好的單目標(biāo)估計(jì)精度和多目標(biāo)分辨能力，這與它們利用了矢量水聽(tīng)器輸出的聲壓信息有關(guān)。

6 結(jié)論

本文將四元數(shù)理論引入到矢量水聽(tīng)器信號(hào)處理領(lǐng)域，提出了三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法。將二維矢量水聽(tīng)器輸出數(shù)據(jù)組成一四元數(shù)，用四元數(shù)理論構(gòu)造適用MUSIC算法方位估計(jì)公式，并對(duì)單、多目標(biāo)的估計(jì)性能和分辨能力進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果與傳統(tǒng)的基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法進(jìn)行了比較，得出了以下結(jié)論：

1）基于四元數(shù)的MUSIC算法的內(nèi)存占用量是傳統(tǒng)長(zhǎng)矢量算法的2/9，數(shù)據(jù)表達(dá)方式更加緊湊，利于算法的快速實(shí)現(xiàn)；

2）與長(zhǎng)矢量算法相比，基于四元數(shù)的MUSIC算法有更強(qiáng)的相干目標(biāo)分辨能力，在近距離目標(biāo)定位與跟蹤方面有較好的應(yīng)用前景。

3）基于四元數(shù)模型的Q-PV和Q-PVV算法由于同時(shí)利用了矢量陣輸出的聲壓與振速信息，對(duì)目標(biāo)的DOA估計(jì)精度和分辨能力均優(yōu)于僅利用振速信息的Q-VV算法，有一定的工程應(yīng)用前景。

需要說(shuō)明的是，由于對(duì)四元數(shù)矩陣進(jìn)行SVD分解時(shí)會(huì)產(chǎn)生共軛成對(duì)的特征值，對(duì)特征值的選擇不當(dāng)會(huì)造成DOA估計(jì)結(jié)果的“左、右模糊”問(wèn)題，這一情況可利用（單）矢量水聽(tīng)器的互譜測(cè)向結(jié)果來(lái)消除。

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Three MUSIC Algorithms Based on Quaternion Model of Vector Hydrophone Array

He Guangjin, Gao Feng

（The Third Military Representative Office in Guangzhou, Guangzhou 510000, China）

TB566.21

A

1003-4862（2019）10-0028-05

2019-06-04

何光進(jìn)（1983-），男，工程師。研究方向：目標(biāo)檢測(cè)與識(shí)別。E-mail: gjhe2008@163.com

高峰（1978-），男，工程師，研究方向：信號(hào)處理。