丁明亮 趙 昂

中國空空導彈研究院，洛陽 471000

在“三軸陀螺+姿態(tài)角敏感器”的衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)中，陀螺儀提供高輸出率、低噪聲的姿態(tài)量測信息，但其量測誤差會隨著時間不斷增長。而外部的姿態(tài)敏感器則提供了低輸出率、高噪聲的姿態(tài)信息，但量測誤差是有界的。為了獲得更加準確的姿態(tài)信息，擴展卡爾曼算法(EKF)一直被廣泛應用于衛(wèi)星姿態(tài)估計中。其一階泰勒展開的非線性近似，存在一定的截斷誤差，狀態(tài)偏導雅可比矩陣也增加了計算負擔，無跡卡爾曼濾波(UKF)，以及粒子濾波(PF)也存在同樣的問題[1-3]。

卡爾曼濾波為線性最優(yōu)、最小方差濾波器，但需同時滿足系統(tǒng)模型與噪聲統(tǒng)計信息準確的要求，這在實際系統(tǒng)中，往往是很難達到的。上述處理非線性問題的拓展方法也面臨同樣問題?！白顑?yōu)”只反映了卡爾曼濾波在統(tǒng)計上的特性，很難解釋真實的工程系統(tǒng)。衛(wèi)星在空間系統(tǒng)中運行，對運算載荷的要求很高[4-5]，濾波算法中的大量矩陣求逆運算增加了系統(tǒng)運算負擔，如果能犧牲有限的估計精度，換取計算量的大幅下降，對工程實現(xiàn)有很重要的意義。

衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)本身為一閉環(huán)系統(tǒng)，因為濾波器的輸出信息需要反饋到陀螺，對陀螺誤差進行校正[6]。由分離定理可知，對整個閉環(huán)系統(tǒng)進行研究并不會影響最終的姿態(tài)估計精度[2]。Hughes[7]將濾波估計與反饋合并為控制反饋模型進行研究，把原系統(tǒng)改變?yōu)榭捎^可控系統(tǒng)，但并沒有給出具體的濾波方法。Ruiter[8]在控制反饋模型基礎上，將整個閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以解耦為時變與時不變2大部分，忽略了時變部分的影響，將原來系統(tǒng)視為定常系統(tǒng)，這樣就可以離線提前對整個系統(tǒng)的最終穩(wěn)定狀態(tài)進行求解。但并沒有考慮角速度(控制反饋濾波器中視為系統(tǒng)不確定性)的影響。對于存在不確定性因素的系統(tǒng)模型，通常應用魯棒濾波器進行狀態(tài)估計，目前衛(wèi)星估計魯棒算法研究都基于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波模型[6-9]，并沒有應用于控制反饋模型。

本文將控制反饋模型中的時變部分作為系統(tǒng)不確定性考慮，使用魯棒濾波方法求解。該方法既保留了離線提前計算濾波參數(shù)，節(jié)約計算資源的特點，又比不考慮系統(tǒng)時變因素控制反饋濾波器的估計精度有所提升。

1 衛(wèi)星姿態(tài)控制反饋濾波器

1.1 反饋控制的衛(wèi)星姿態(tài)濾波模型

本節(jié)中介紹如何通過反饋誤差量，將傳統(tǒng)的衛(wèi)星姿態(tài)濾波模型改變?yōu)殚]環(huán)系統(tǒng)。陀螺儀的量測模型可以假設為：

ωg=ω+b+ng

(1)

(2)

其中,ω為載體姿態(tài)角速度，?表示四元數(shù)乘法，四元數(shù)矢量q則可以表示成(q1-3,q4)，q1-3為載體姿態(tài)方向，q4為標量，表示姿態(tài)角的大小。設陀螺的估計四元數(shù)誤差為(Δqg, Δqg4)，星敏感器的四元數(shù)誤差為(vm, Δqm4)，則該兩項的差值四元數(shù)可以表示為：

(3)

y=Δqgm=Δqg-vm

(4)

估計的載體坐標系相對于真實的載體坐標系的角速度可以寫成：

Δω=ωg-T(Δqg,Δqg4)ω

(5)

T為姿態(tài)轉移矩陣，由式(1)，(2)，(5)可以得到陀螺姿態(tài)估計誤差四元數(shù)的動態(tài)方程[10]：

(6)

即：

(7)

(8)

(9)

如果衛(wèi)星的姿態(tài)角速度為0，可以得出：

(10)

設：

(11)

由以上定義，可以得出陀螺估計誤差的閉環(huán)系統(tǒng)為：

(12)

由于A,K,H,G為常值矩陣，該閉環(huán)系統(tǒng)為離散時不變系統(tǒng)。

1.2 反饋控制濾波器的穩(wěn)定反饋增益求解

線性時不變系統(tǒng)如果給定系統(tǒng)與量測的噪聲協(xié)方差矩陣Q和R，卡爾曼濾波的估計方差矩陣P最終將收斂，形成穩(wěn)定的濾波增益。同理，根據(jù)式(12)，設P=Ε{xxT}可以得到以下的黎卡提方程：

(13)

(A-KH)TPs+Ps(A-KH)T+
KRKT+GQGT=0

(14)

上式在存在2個未知矩陣K與Ps，增益K的設定需要使估計協(xié)方差最小，即Ps的跡最小。 如果陀螺與星敏感器的三個姿態(tài)方向的噪聲統(tǒng)計信息相同，則可以設

(15)

r，qq，qb為常值標量，則濾波增益的穩(wěn)定解可以表示為[10]：

(16)

其中：

(17)

(18)

(19)

至此，只需要設定與星敏感器量測噪聲相關參數(shù)r，陀螺姿態(tài)四元數(shù)噪聲qq和陀螺常值漂移噪聲qb三個標量信息，就可以求解最終的增益矩陣Ks。

2 衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒反饋濾波器設計

根據(jù)式(9)可以分析得出：當衛(wèi)星存在姿態(tài)角速度時，濾波器的狀態(tài)方程中存在一個時變項：

(20)

如果依然使用時不變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值增益，則會對估計產生一定的誤差。本文將該部分作為系統(tǒng)的不確定項處理，即：

(21)

再通過魯棒濾波的方法，重新求取穩(wěn)定時刻的濾波參數(shù)。這樣雖不能消除該項對估計結果的影響，但是可以將影響降低。

離散時不變系統(tǒng)的魯棒濾波算法可以通過求解雙代數(shù)Riccati方程，得出最終的濾波參數(shù)[11]。相比于采用線性不等式約束的方法[6]，該方法只需要矩陣的代數(shù)運算，工程性更強。下面對該方法進行簡單的概述。

考慮到以下時不變離散不確定系統(tǒng)：

xk+1=(A+δAk)xk+wk
yk=(C+δCk)xk+vk

(22)

其中不確定性參數(shù)δAk與δCk，上式可以寫成以下范數(shù)有界表達式：

xk+1=(Ak+H1,kFkEk)xk+wk
yk=(Ck+H2,kFkEk)xk+vk

(23)

(24)

δk,m為迪拉克函數(shù)，任一個狀態(tài)濾波器可以表示成：

(25)

ek+1=Grek+(A-Gr+UrC)xk+
(ΔAk-UrΔCk)xk+wk-Urvk

(26)

(27)

其中

(28)

(29)

通過得到的Pr值，設以下矩陣參數(shù)：

(30)

那么以下代數(shù)Riccati方程存在穩(wěn)定解Qr：

(31)

則估計算子的濾波增益可以寫成：

(32)

濾波方程為：

(33)

值得注意的是式(12)為反饋后的狀態(tài)方程，式(18)是普通的預測與量測的濾波器方程，為了使式(29)與式(12)表達方式一致，可以將vm直接作為量測即Ck=δCk=0。

魯棒濾波器通過設定系統(tǒng)不確定度的上界來保證濾波估計精度，所以其參數(shù)是根據(jù)衛(wèi)星姿態(tài)的可能最大角速度求解的(即提前對衛(wèi)星的最大角速度進行假設，再根據(jù)假設值求解)，該方法存在一定的保守性。根據(jù)式(20)，衛(wèi)星姿態(tài)角速度實際影響的是估計誤差四元數(shù)的方向信息Δqg，并不影響其幅值Δqg4。Ruiter[8]指出即使不對衛(wèi)星姿態(tài)角速度項進行考慮，對最終的濾波精度影響也是有限的。

本文的魯棒反饋濾波器算法則考慮了該部分對整個衛(wèi)星姿態(tài)估計精度的影響，可在原控制反饋濾波器的基礎上，進一步提升估計精度，同時滿足可以離線計算濾波穩(wěn)態(tài)參數(shù)，減少計算量的優(yōu)點。

3 仿真結果分析

3.1 仿真數(shù)據(jù)

針對存在衛(wèi)星角速度與不存在衛(wèi)星角速度2種情況進行仿真。將反饋控制濾波方法和魯棒反饋控制濾波方法的濾波結果分別與傳統(tǒng)的EKF方法進行比較，并統(tǒng)計3種情況的估計誤差均方差(MSE)：

(34)

陀螺的最大角速度為10(°)/s，魯棒濾波器參數(shù)為H1=[(10π/180)2I3×3, 01×3]T，E=[I3,03]，ε=1.15。

3.2 仿真結果與分析

衛(wèi)星無角速度時，3種濾波結果如圖1，圖中由上而下分別為X,Y,Z三個姿態(tài)軸方向的估計誤差，X軸方向為采樣時間。通過對圖1的觀察，紅色曲線反映的EKF方法在濾波初期波動較大，這是因為初始階段EKF的濾波增益主要決定于初始估計誤差協(xié)方差P, 而根據(jù)經(jīng)驗，為了能夠使濾波快速收斂，P在初始時刻的數(shù)值往往設置較大，從而產生較大的濾波增益，使估計誤差結果出現(xiàn)波動。在濾波器達到穩(wěn)態(tài)時(此處考慮濾波時間800s后)，3種濾波方法的估計誤差差別不大。具體的量化結果MSE在表1中給出。

圖1 衛(wèi)星無角速度旋轉三軸姿態(tài)角估計結果

衛(wèi)星存在角速度時，在仿真中三軸都設置了10(°)/s的旋轉角速度，3種濾波結果如圖2。

圖2 10(°)/s旋轉角速度三軸姿態(tài)角估計結果

由圖2可知，在濾波初期的收斂階段，EKF估計誤差依然波動較大。為了更明確地對比反饋濾波與魯棒反饋濾波的性能優(yōu)異，圖3給出了2種濾波器0(300s濾波估計結果，即濾波收斂前的輸出結果。由圖可知，魯棒反饋濾波器(綠色曲線)的估計誤差更加平穩(wěn)，尤其在X姿態(tài)軸方向。

圖4給出了穩(wěn)態(tài)時刻(本文認為800s～2000s)3種濾波器的輸出結果。由圖可知，EKF在穩(wěn)態(tài)時刻，性能優(yōu)于其他2種濾波器，3種濾波器的估計結果差異不大。具體的量化結果MSE在表1中給出。

表1 不同時段下3種濾波器估計指標MSE結果對比

圖3 0～300s反饋濾波與魯棒反饋濾波估計結果對比

圖4 穩(wěn)定狀態(tài)800～2000s三軸姿態(tài)角估計結果

通過以上對比研究，在衛(wèi)星無轉動角速度時，3種濾波方法的估計精度差距不大。EKF在濾波收斂階段0～300s估計誤差大于反饋控制與魯棒反饋濾波器，但穩(wěn)態(tài)階段800～2000s估計誤差則優(yōu)于其他2種濾波器。在全部采樣時間0～2000s計算估計誤差均方差，反饋控制濾波器與魯棒反饋控制濾波器的估計性能十分接近，都優(yōu)于EKF濾波器。

在衛(wèi)星存在旋轉角速度時，任何時段里，魯棒反饋濾波器的估計性能都要優(yōu)于反饋控制濾波器。在濾波收斂階段，三軸精度提升40.74%，22.72%，6.6%，在穩(wěn)定階段三軸精度提升了6.59%，28.3% ，6.62%，全局估計精度提升了12% ，21.05%，4%。

傳統(tǒng)的EKF濾波器無論在衛(wèi)星有無角速度，在穩(wěn)態(tài)時，估計性能優(yōu)于以上2種濾波器，表明在線計算濾波器的實時性能依舊好于離線計算。但在線計算對衛(wèi)星的運算性能提出了更高的要求，離線計算可以節(jié)省大量的計算資源，更利于工程實現(xiàn)。

4 結論

本文提出了一種基于控制反饋濾波模型的魯棒反饋濾波器，應用該濾波器對衛(wèi)星姿態(tài)進行估計時，首先將原有系統(tǒng)動態(tài)方程中的時變部分進行分離，并將該部分作為系統(tǒng)的不確定度進行考慮，然后通過線性時不變系統(tǒng)(LTI)的魯棒濾波器算法求解最終的濾波參數(shù)。該方法可以離線計算，相比傳統(tǒng)的EKF濾波器，可以大幅節(jié)省計算資源。同時，在衛(wèi)星存在旋轉角速度時，本文的設計方法比控制反饋濾波器的三軸的估計精度分別提升了12%，21.05%和4%，與EKF的性能差距進一步縮小。仿真結果表明，在穩(wěn)態(tài)情況下，魯棒反饋濾波器估計精度雖然不及EKF濾波器，但差距并不大，在估計精度要求有限的情況下可以替代EKF，具有很高的工程適用性。該方法在衛(wèi)星更復雜的運動狀態(tài)下的性能將在未來繼續(xù)深入研究。