謝方圓 張愛(ài)民

西安交通大學(xué)，西安710049

隨著航天事業(yè)的迅猛發(fā)展，衛(wèi)星承擔(dān)的任務(wù)越來(lái)越復(fù)雜多樣，這對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)提出了更高的要求。然而，衛(wèi)星在大溫差、強(qiáng)輻射太空環(huán)境，會(huì)受到各種干擾力矩的影響，長(zhǎng)期擾動(dòng)可能會(huì)對(duì)其實(shí)際姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生顯著影響[1]。另外，衛(wèi)星本身的慣量參數(shù)可能隨工作狀態(tài)而發(fā)生變化，從而影響姿態(tài)控制的準(zhǔn)確性[2]。因此，在這些不利因素下快速準(zhǔn)確的衛(wèi)星姿態(tài)控制具有重要的應(yīng)用意義。

這一問(wèn)題受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注和研究。目前，近似線性化技術(shù)仍然是解決航天器姿態(tài)控制問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單有效的方法[3]。然而，近似線性化的結(jié)果本質(zhì)上是局部的，這限制了它在航天器大角度姿態(tài)控制中的應(yīng)用。為了實(shí)現(xiàn)日益復(fù)雜的工程任務(wù)，有必要應(yīng)用非線性控制理論研究姿態(tài)控制問(wèn)題[4]。由文獻(xiàn)[5]，解決這一問(wèn)題的非線性控制方法可分為2類：1)將擾動(dòng)力矩和不確定慣量看作總擾動(dòng)，然后設(shè)計(jì)魯棒姿態(tài)控制器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)和不確定慣性的魯棒性[6-7]。由于滑?？刂?SMC)具有響應(yīng)速度快、對(duì)不確定參數(shù)或擾動(dòng)不敏感，且相對(duì)其他非線性控制方法具有運(yùn)算量小、工程適用性強(qiáng)等特點(diǎn),已經(jīng)成為設(shè)計(jì)魯棒姿態(tài)控制器的廣泛應(yīng)用工具之一[8-10]。如文獻(xiàn)[10]中將執(zhí)行器故障、干擾以及模型不確定性統(tǒng)一描述為系統(tǒng)的廣義總干擾，再設(shè)計(jì)非奇異快速終端滑?？刂破鬟M(jìn)行控制，具有較高的魯棒性；2)估計(jì)擾動(dòng)和不確定性的大小或上限，然后設(shè)計(jì)控制器進(jìn)行補(bǔ)償[11-12]。在應(yīng)用這一方法的研究中，設(shè)計(jì)不同類型的干擾觀測(cè)器來(lái)估計(jì)擾動(dòng)，然后利用觀測(cè)值來(lái)進(jìn)一步設(shè)計(jì)控制器的方法得到了廣泛關(guān)注[13-14]。文獻(xiàn)[15]針對(duì)衛(wèi)星非沿跡成像技術(shù)中的高精度姿態(tài)控制問(wèn)題引入了擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器來(lái)觀測(cè)系統(tǒng)的總擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了一種結(jié)合擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的非奇異快速終端滑?？刂破?，實(shí)現(xiàn)了較高的控制精度。文獻(xiàn)[16]針對(duì)撓性航天器姿態(tài)控制問(wèn)題，采用非線性干擾觀測(cè)器估計(jì)了外干擾力矩，并設(shè)計(jì)了一種終端滑?？刂破?，快速、高效地實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星姿態(tài)的有限時(shí)間穩(wěn)定控制。

分析以上2類針對(duì)存在干擾和不確定性衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的控制方法，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于干擾，滑?？刂剖峭ㄟ^(guò)使用高控制增益來(lái)獲得魯棒性的，會(huì)帶來(lái)無(wú)法完全消除的抖振問(wèn)題。而干擾觀測(cè)器可給出系統(tǒng)的未知干擾和未建模動(dòng)態(tài)等不確定因素的觀測(cè)值，使控制器不需要高的控制器增益[17]，同時(shí)，引入干擾觀測(cè)器也能起到抑制滑模抖振的效果。

所以，本文結(jié)合了上述2類控制方法的優(yōu)點(diǎn)，在設(shè)計(jì)控制器之前，引入非線性干擾觀測(cè)器[18]對(duì)外界干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定帶來(lái)的復(fù)合干擾進(jìn)行估計(jì)，有效降低了控制器輸出力矩，防止執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和，同時(shí)抑制了滑?？刂埔鸬亩墩瘛Ａ硗獗疚囊彩褂昧讼魅醵墩癯Ｓ玫倪吔鐚臃?，達(dá)到進(jìn)一步抑制抖振的目的。另外，近年來(lái)由于反步法可明顯提高系統(tǒng)的過(guò)渡品質(zhì)、響應(yīng)的快速性和準(zhǔn)確性的優(yōu)點(diǎn)在航天控制領(lǐng)域受到了許多學(xué)者的關(guān)注[19-22]，在文獻(xiàn)[22]中作者基于大型撓性航天器動(dòng)力學(xué)模型，考慮系統(tǒng)慣量的不確定性，設(shè)計(jì)了反步自適應(yīng)控制律來(lái)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)跟蹤，實(shí)現(xiàn)了精確的跟蹤精度。本文結(jié)合了反步法和滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)，針對(duì)存在外界干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性的剛體衛(wèi)星設(shè)計(jì)了反演滑模控制器，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)的漸近穩(wěn)定。

以往的研究雖然提出了許多好的控制方法，也取得了不錯(cuò)的控制效果，但控制器中參數(shù)往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或通過(guò)直接試湊給出，缺少設(shè)計(jì)參數(shù)的有效方法。考慮到智能群算法在優(yōu)化問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用[23-24]，本文使用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。該粒子群算法非線性遞減的慣性權(quán)重，可以降低算法陷入局部最優(yōu)解的概率，提高算法的有效性。

本文針對(duì)存在外界干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定的衛(wèi)星姿態(tài)控制問(wèn)題，在四元數(shù)描述的姿態(tài)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于干擾觀測(cè)器的反演滑?？刂破?，并從理論上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，避免了反復(fù)試湊。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的控制器在存在外界干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定的復(fù)雜環(huán)境下很好地完成了姿態(tài)控制任務(wù)，達(dá)到了期望的控制效果。

1 衛(wèi)星姿態(tài)模型

1.1 衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

四元數(shù)避免了奇異問(wèn)題和復(fù)雜的三角函數(shù)運(yùn)算，采用四元數(shù)描述的衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[25]：

(1)

(2)

(3)

qTq+(q0)2=1

(4)

上標(biāo)×表示向量的斜對(duì)稱矩陣；對(duì)于x×,定義如下：

(5)

1.2 干擾與不確定性分析

1.2.1 環(huán)境干擾力矩

衛(wèi)星在復(fù)雜多變的太空環(huán)境會(huì)受到氣動(dòng)力矩up，重力梯度力矩ug，地磁力矩um和太陽(yáng)光壓力矩us等的影響[26]。則總的環(huán)境干擾力矩uf可以表示為：

uf=up+ug+um+us

(6)

1.2.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性

將衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分為確定部分J0和變化部分ΔJ，記為：

J=J0+ΔJ

(7)

帶入衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，即式(1)中，可得：

(8)

記等效干擾

(9)

則式(1)可寫為：

(10)

1.3 姿態(tài)跟蹤方程

(qd)Tqd+(qd0)2=1

(11)

eTe+(e0)2=1

(12)

e=qd0q-q0qd+q×qd

(13)

e0=q0qd0+qTqd

(14)

定義角速度誤差為we，有

(15)

由式(1)～(3)、(13)～(15)可得衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤方程為：

(16)

(17)

(18)

假設(shè)2.角速度w和姿態(tài)四元數(shù)qv均可通過(guò)直接測(cè)量或間接計(jì)算得到。

所以，本文姿態(tài)控制的目標(biāo)是：針對(duì)由式(16)～(18)描述，且滿足假設(shè)1、2的衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)，考慮其中存在外部干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定，設(shè)計(jì)控制律u，使得閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定：

(19)

2 控制律設(shè)計(jì)

由于系統(tǒng)的不確定性和外界干擾同時(shí)存在，使得直接對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)反演滑?？刂破鞯妮敵鲚^大，因此，首先使用干擾觀測(cè)器觀測(cè)出系統(tǒng)的干擾并進(jìn)行補(bǔ)償，未觀測(cè)出的部分干擾設(shè)計(jì)反演滑?？刂七M(jìn)行控制。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 基于非線性干擾觀測(cè)器的反演滑模控制結(jié)構(gòu)

2.1 非線性干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

令x1=e,x2=we將式(16)～(18)重寫為：

(20)

(21)

(22)

令

(23)

式(22)可以寫為

(24)

設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器如下：

(25)

(26)

選擇L(x1,x2)=b,其中b>0為常數(shù)，設(shè)計(jì)

p(x1,x2)=bJ0x2

(27)

2.2 反演滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

結(jié)合圖1，采用干擾觀測(cè)器后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可寫為：

(28)

控制律設(shè)計(jì)分為2個(gè)步驟：

Step1： 針對(duì)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(20)、(21)，定義誤差z1=x1,z2=x2-α1，其中α1為鎮(zhèn)定函數(shù)。取

α1=-cz1

(29)

c為待定的參數(shù)。將x2作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)α1使式(20)、(21)表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程穩(wěn)定。定義Lyapunov函數(shù)

(30)

由式(12)可得V1=2(1-e0)，所以

(31)

Step2：定義滑模切換函數(shù)s=kz1+z2，其中，k為待定的正實(shí)數(shù)。定義Lyapunov函數(shù)：

(32)

(33)

則可得：

(34)

定理1 對(duì)存在不確定外部干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)(16)～(18)，如果設(shè)計(jì)如下控制律和自適應(yīng)律：

(35)

(36)

其中，h、r、c、k為正的常數(shù)，若h、c、k的取值使得矩陣|Q|>0,即使矩陣Q為正定矩陣，則閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定[27]。其中矩陣Q為

(37)

2.3 穩(wěn)定性證明

證明 將控制律式(35)代入(34)中，得

(38)

將自適應(yīng)律式(36)代入，得

(39)

由式(37)，則：

(40)

所以，式(41)可寫為：

(41)

值得一提的是，在滑模控制的實(shí)際應(yīng)用中，由于慣性、滯后等因素的存在，會(huì)不可避免地產(chǎn)生抖振。使用邊界層法，即用飽和函數(shù)sat(s)代替符號(hào)函數(shù)(開(kāi)關(guān)函數(shù))sgn(s)，可以達(dá)到削弱抖振的目的，并提高仿真速率。這里取飽和函數(shù)為：

(42)

并令ε=0.001。

3 參數(shù)優(yōu)化

由以上過(guò)程可知，控制律及干擾觀測(cè)器中待定的參數(shù)共5個(gè)h、r、c、k、b，而且參數(shù)值選取的合適與否直接對(duì)控制結(jié)果產(chǎn)生影響。若采用試湊法尋找合適的參數(shù)，工作量巨大且會(huì)受人員經(jīng)驗(yàn)的影響。這里采用粒子群算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，同時(shí)采用非線性遞減的慣性權(quán)重，使算法具有較好的跳出局部最優(yōu)解的能力。

3.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的建立

采用時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則(ITAE)作為評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性能的目標(biāo)函數(shù)。即

(43)

實(shí)際應(yīng)用中，為了避免產(chǎn)生控制器輸出飽和，需要限制控制過(guò)程中控制器輸出的最大量umax和最小量umin，所以將這一限制作為目標(biāo)函數(shù)的重要指標(biāo)：

(44)

綜合考慮以上兩點(diǎn)，取總的性能指標(biāo)為：

(45)

其中wk為權(quán)重系數(shù)，wk>0 。

3.2 粒子群優(yōu)化算法

(46)

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，w為慣性權(quán)重因子，c1、c2為加速常數(shù)，r1、r2為[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)；Pt為粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置，Gt是整個(gè)粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置。

這里采用非線性遞減的慣性權(quán)重，可以降低算法陷入局部最優(yōu)解的概率，提高算法的有效性。其中，wmax和wmin分別為慣性權(quán)重系數(shù)的上下限，Tmax為最大迭代次數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，w(t)為本次迭代的慣性權(quán)重系數(shù)值。

(47)

如前面所述，參數(shù)的選取滿足約束條件|Q|>0。算法流程圖如圖2所示：

圖2 粒子群優(yōu)化算法流程圖

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 優(yōu)化結(jié)果

取粒子群優(yōu)化算法參數(shù)為：wmax=0.8，wmin=0.2；c1,c2=2；考慮到星上計(jì)算資源的限制，設(shè)置粒子群規(guī)模為20，完成30次迭代計(jì)算。粒子位置范圍均設(shè)置為[0,20]；速度范圍從5到0隨迭代次數(shù)線性遞減。性能指標(biāo)F中的權(quán)重系數(shù)取為wk=3。經(jīng)過(guò)尋優(yōu)，獲得的最優(yōu)控制器參數(shù)為c=6.38、k=16.80、h=17.50、r=5.37、b=16.15，性能指標(biāo)值為F=917.96，這組數(shù)據(jù)為優(yōu)化5次，選性能指標(biāo)最小的一組數(shù)據(jù)。優(yōu)化前用試湊法得出c=2.5、k=0.5、h=2、r=10、b=15，性能指標(biāo)值為F=1106.10?？梢?jiàn)使用優(yōu)化后的控制參數(shù)，控制性能得到了很大的提高。

4.2 仿真結(jié)果

設(shè)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣：

J0=diag(1.25,9.65,9.65)kg·m2

(48)

雖然在計(jì)算中，將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定等效至總的干擾中，在仿真中給出符合實(shí)際情況的總干擾卻是有難度的，所以，在仿真中將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定獨(dú)立給出，將使得仿真與實(shí)際衛(wèi)星運(yùn)行更接近。

外干擾在三個(gè)通道上均設(shè)置為：

uf=4sin(t+π/3)+sin(4t+π/6)N·m

(49)

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定性，設(shè)三個(gè)軸向的等效不確定量為：ΔJ=0.1sin(t+π/6)。

設(shè)衛(wèi)星軌道高度為300km，系統(tǒng)狀態(tài)初始值見(jiàn)表1。

參數(shù)選取為c=6.38、k=16.80、h=17.50、r=5.37、b=16.15。其中c、h、k的取值滿足使矩陣Q為正定?？刂颇繕?biāo)為使系統(tǒng)從初始姿態(tài)角轉(zhuǎn)到期望姿態(tài)角。用以上控制率、自適應(yīng)率和參數(shù)在MATLAB2017b平臺(tái)上進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖4～6所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

圖3 干擾形式

外力干擾形式如圖3所示，模擬衛(wèi)星在太空環(huán)境受到的外力干擾。圖4為無(wú)干擾觀測(cè)器，控制律中使用符號(hào)函數(shù)sgn的仿真結(jié)果。圖5為有干擾觀測(cè)器，控制律使用sat函數(shù)代替sgn函數(shù)的仿真結(jié)果，且圖4和5使用的控制參數(shù)均為使用改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化后的結(jié)果。圖6為使用優(yōu)化前試湊法得出的控制參數(shù)的仿真結(jié)果，其余條件與圖5相同。

對(duì)比圖4(a)和圖5(a)可以發(fā)現(xiàn)，控制力矩抖振現(xiàn)象大大減輕，但還是存在輕微的毛刺，這也說(shuō)明了抖振現(xiàn)象只能通過(guò)觀測(cè)器或邊界層法適當(dāng)減輕，并不能完全消除。另外，在應(yīng)用邊界層法時(shí)，選取合適的ε非常重要，ε越小，sat函數(shù)更逼近sgn函數(shù)，控制效果更好，但抖振減弱的效果越不明顯，所以需要綜合考慮抖振和控制效果，進(jìn)行折衷。

圖4 無(wú)NDO，使用符號(hào)函數(shù)sgn，優(yōu)化后

對(duì)比圖4(b)和圖5(b),可以看出圖4相較于圖5中存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差，可見(jiàn)干擾觀測(cè)器的使用得到了更好的控制效果。

對(duì)比圖5和6可以發(fā)現(xiàn)，在相同的干擾條件下，使用優(yōu)化后的控制參數(shù)明顯減小了控制誤差，這使得控制更準(zhǔn)確，控制效果更好。

圖5 有NDO，使用sat函數(shù)，優(yōu)化后

圖6 有NDO，使用sat函數(shù)，優(yōu)化前

5 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)存在外界干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定的衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的控制，本文將反步法與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，并基于非線性干擾觀測(cè)器對(duì)等效干擾進(jìn)行估計(jì)，使控制器在不需要檢測(cè)和重構(gòu)的情況下實(shí)現(xiàn)了對(duì)干擾的抑制，而且不需要大的控制力矩輸出，降低了執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和的風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)滑?？刂乒逃械亩墩駟?wèn)題，一方面非線性干擾觀測(cè)器起到了抑制作用，另一方面采用常用的邊界層法，2種方法共同抑制了抖振。此外，基于 Lyapunov 穩(wěn)定性理論從理論上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過(guò)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。為了獲得更好的控制效果，在仿真中使用基于改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化后的參數(shù)，結(jié)果表明，控制器的控制性能得到了有效的提高。最終的仿真結(jié)果表明對(duì)于存在外部干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定的情況，本文設(shè)計(jì)的控制器能實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的跟蹤控制，且設(shè)計(jì)過(guò)程清晰，控制效果良好，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。