左小平

（南京市五老村小學(xué)，江蘇南京 210000）

筆者近年來一直利用前測(cè)找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，但如果前測(cè)作用僅限于此，似乎不能“物盡其用”。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，按照本杰明·布魯姆“教育目標(biāo)分類學(xué)”，數(shù)學(xué)思維可以分為記憶、理解、運(yùn)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造，其中記憶、理解和運(yùn)用屬于低階思維，分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造屬于高階思維。那么前測(cè)不同，學(xué)生的思維呈現(xiàn)的方式不一樣，水平也不一樣。

一、通過找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)激活思維發(fā)展的需求

以五年級(jí)上冊(cè)《解決問題策略——列舉》為例。前測(cè)題目：王叔叔用22根1米長(zhǎng)的木條圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，怎樣圍面積最大？

師：仔細(xì)觀察，想一想根據(jù)解題方法不同可以把下面這些作品分成幾類？

①22÷4=5.5（米）5.5×5.5=30.25（平方米）

②22

21 1 21×1=21（平方米）

20 2 20×2=40（平方米）

19 3 19×3=57（平方米）

……

12 10 12×10=120（平方米）√

③22×1=22（米）22÷2=11（米）

第一種：寬1m，長(zhǎng)10m，10×1=10（m2）第二種：寬2m，長(zhǎng)9m，9×2=18（m2）

第三種：寬3m，長(zhǎng)8m，8×3=24（m2）第四種：寬4m，長(zhǎng)7m，7×4=28（m2）

第五種：寬5m，長(zhǎng)6m，6×5=30（m2） 30＞28＞24＞18＞10

1×10=10（m2），2×9=18（m2），3×8=24（m2），4×7=28（m2），5×6=30（m2）（面積最大）

生：按解題方法的不同可以分成列式計(jì)算、畫圖和列表。

師：根據(jù)大家的分類，選擇列式計(jì)算的，我們先來看看1號(hào)代表作品，仔細(xì)看看，你們能猜到他是怎么想的嗎？

22÷4=5.5（米）

師：請(qǐng)介紹一下，你當(dāng)時(shí)怎樣思考的？

生：22根1米長(zhǎng)的小棒，周長(zhǎng)就是22米，圍成正方形面積最大，所以22÷4=5.5（米）

生：不對(duì)，小棒不能折斷，不可能5.5 米，而且也不是長(zhǎng)方形。

師：你是從題目中哪個(gè)關(guān)鍵詞看出，長(zhǎng)和寬需要取整米數(shù)？

生：圍成。

師：通過他們剛才的對(duì)話，在我們下筆之前你有什么想提醒大家注意的地方？

生：審題要仔細(xì)。

師：學(xué)習(xí)就是這樣，這兩位同學(xué)提供了一個(gè)非常有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，并且通過大家自己的交流，他們也弄懂了，這就是學(xué)習(xí)的過程。

師：④號(hào)和⑤號(hào)有什么相同和不同之處，你更欣賞哪一幅？

生：相同的地方是都是畫圖，都是把每一個(gè)列舉出來。不同的地方，一個(gè)列全了，一個(gè)沒列全。

師：你怎么知道他有沒有列全的呢？

生：對(duì)比兩個(gè)作品就知道了。

師：通過對(duì)比這兩幅圖，你有什么提醒大家注意的地方？

生：畫圖要畫全。

師：通過剛才同學(xué)的介紹，如果再給你一次機(jī)會(huì)，你會(huì)怎樣補(bǔ)充你的圖？

師：還有同學(xué)列表解決，⑥號(hào)和⑦號(hào)你更喜歡哪一幅？仔細(xì)對(duì)比，你有什么想說的？

王叔叔用22根1米長(zhǎng)的木條圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，怎樣圍面積最大?

生：第二幅有重復(fù)的。

師：你們其他人能看懂嗎？能為我們介紹一下嗎？

師：你們都比較喜歡第一幅，對(duì)于第一幅圖，你們有沒有什么建議？

生1：他既列表又列了算式可以把面積算出來，在表格下面再畫一欄就可以了，這樣比較簡(jiǎn)單。

生2：他的表格中缺少了“單位”。

師：那這樣吧，既然你們提出了建議，把你心目中完美的表列出來可以嗎？

……

本次前測(cè)，在學(xué)生多元表征自己的研究結(jié)果中，呈現(xiàn)的方式有列式、列表、畫圖。從中我們不但能夠看清學(xué)生的思維方式，也能夠看出學(xué)生思考過程中產(chǎn)生的疑惑和問題，更能看出不同的學(xué)生思維過程有相同的地方，也有不同的地方，但學(xué)生本人或許沒有意識(shí)到自己的思維過程是否完整。這就需要在課堂中將不同的思維方式呈現(xiàn)出來，讓所有的學(xué)生進(jìn)行探討與交流，從而激發(fā)學(xué)生的深度思考，推動(dòng)學(xué)生的思維發(fā)展，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自主建構(gòu)。

基于這樣的想法，本節(jié)課教學(xué)路徑設(shè)計(jì)為：1.去偽存真，初步分類。層層遞進(jìn)，展開教學(xué)，先把有代表性作品一一呈現(xiàn)，讓學(xué)生從解決問題的方法的角度進(jìn)行分類，看看能分成幾類，讓學(xué)生初步體會(huì)解決問題方法的多樣性。2.列式對(duì)比，理清題意。課堂教學(xué)中將列式解決的三種代表作品置于一屏，通過學(xué)生之間的“辯論”，進(jìn)一步明確題意，為后續(xù)的畫圖、列表等方法的教學(xué)鋪好道路。3.畫圖對(duì)比，感受“有序”（一幅完整的圖和一幅有遺漏的圖）。通過學(xué)生的對(duì)每幅圖的解讀，老師追問“是否每一種情況都符合要求”這一問題，讓學(xué)生回到題目中驗(yàn)證，在兩幅圖的對(duì)比中，學(xué)生會(huì)初次感受到“有序”的優(yōu)勢(shì)。4.列表對(duì)比，觸摸“有序”（一幅完整的表和一幅有重復(fù)的表）。5.溝通對(duì)比，自主建模。將優(yōu)化出來的列式列舉、畫圖列舉、列表列舉進(jìn)行溝通對(duì)比，讓學(xué)生自主建模，體會(huì)不同方法之間的相同之處，進(jìn)而理解什么是一一列舉，以及如何做到一一列舉。

二、通過拓寬學(xué)生認(rèn)知的視角搭建思維發(fā)展的平臺(tái)

以六年級(jí)上冊(cè)《稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題》一課前測(cè)為例。前測(cè)題目：嶺南小學(xué)六年級(jí)45個(gè)同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中男運(yùn)動(dòng)員占女運(yùn)動(dòng)員有多少人？

師：昨天，我們花了幾分鐘解決了一道分?jǐn)?shù)乘法的實(shí)際問題，不同的人往往有不同的想法，老師選取了幾個(gè)比較有代表性的做法，這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)一下。

師：仔細(xì)觀察上面同學(xué)的作品，先想一想，他們是用了哪些方法來分析題意的？

生：畫線段圖，寫數(shù)量關(guān)系。

師：同樣是畫線段圖來分析，這幾幅圖你更喜歡哪一幅？

生1：我喜歡第二幅，第二幅更清楚，更便于比較。

生2：第二幅不對(duì)，看不出誰是單位“1”，這里是把六年級(jí)45 個(gè)同學(xué)看作單位“1”，從第一幅圖中能看出男運(yùn)動(dòng)員和女運(yùn)動(dòng)員所占的份數(shù)。

師：聽了他的介紹，在畫圖分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，你有什么要提醒大家注意的地方？

生：要看清楚誰是單位“1”，理解部分和整體之間的關(guān)系再畫圖。

師：現(xiàn)在給你一分鐘，修改下你自己的圖。后面兩幅用數(shù)量關(guān)系表示，能看懂嗎？

生：這兩種意思其實(shí)差不多。

師：畫線段圖分析和列數(shù)量關(guān)系分析，各有什么優(yōu)點(diǎn)，兩種方式有沒有相同的地方？

生1：列數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)單，題目怎么說我們就怎么列；畫圖必須先要理解題意才能正確畫出圖。

生2：其實(shí)畫線段圖和列數(shù)量關(guān)系一樣，在圖中也能看出數(shù)量之間的關(guān)系。

師：從不同的解題法來分，你可以大致分成幾類？

生：可以分成這樣幾種方法，用分?jǐn)?shù)、份數(shù)、比、解方程幾種方法解決。

師：那下面，我們就先來學(xué)習(xí)下不同的方法。

……

從前測(cè)中，可以看出學(xué)生有能力基于情境提出問題，并能夠摒棄原型中非數(shù)學(xué)屬性的相關(guān)信息，也能夠挖掘情境中的數(shù)量關(guān)系，用自己的方式表達(dá)對(duì)題意的理解。能看到學(xué)生在分析題意時(shí)，呈現(xiàn)出來的可視化思維方式是不同的，有畫線段圖也有列數(shù)量關(guān)系，不同學(xué)生即使都是畫圖，也有很大的區(qū)別。

教學(xué)中，可以通過這樣的做法，為學(xué)生搭建思維發(fā)展的平臺(tái)。首先，呈現(xiàn)不同學(xué)生的做法，對(duì)不同的作品有初步的了解，拓寬學(xué)生認(rèn)知的視角。其次，通過這樣的問題“同樣是畫線段圖來分析，這幾幅圖你更喜歡哪一幅？”引起學(xué)生的思考，讓學(xué)生在同伴的解讀中明確如何“畫好”圖，明確后再進(jìn)行修改，幫助學(xué)生逐步提升思維。再次，通過追問“畫線段圖分析和列數(shù)量關(guān)系分析，各有什么優(yōu)點(diǎn)，兩種方式有沒有相同的地方？”這樣的問題以及在線段圖與數(shù)量關(guān)系的對(duì)比中，體現(xiàn)學(xué)生群體從“數(shù)”到“形”，再從“形”到“數(shù)形結(jié)合”，實(shí)現(xiàn)思維上的遞進(jìn)。最后，將學(xué)生多種解題方法置于一屏（有利用分?jǐn)?shù)解決、利用份數(shù)解決、利用比解決、利用方程解決等多種方法），課堂中不僅關(guān)心學(xué)生是否會(huì)解決問題，更應(yīng)為學(xué)生搭建思維發(fā)展的平臺(tái)，讓學(xué)生充分表達(dá)自己的想法，在學(xué)生原有的思維基礎(chǔ)之上，深化學(xué)生的思維。

三、通過尊重學(xué)生認(rèn)知的差異融合共通促進(jìn)思維發(fā)展

以六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘法》一課的前測(cè)為例。前測(cè)題目：3 個(gè)的和是多少？列式計(jì)算出結(jié)果，并把自己的思考過程表達(dá)清楚。

師：你們已經(jīng)把自己的想法寫出來了，現(xiàn)在我們就在小組里互相先交流一下自己的想法。

師：我們來看看這些算式對(duì)不對(duì)？

師：看來是跟以前一樣，不管是幾個(gè)相同的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)相加都可以用乘法來表示。

師：同樣想到畫圖解決，還有些同學(xué)是這樣表示的，你知道他是怎樣思考的嗎？

生：我覺的這三幅圖結(jié)果都是正確的，但不如剛才同學(xué)的線段圖好。這里第一、二幅圖中，看不出是3×第三幅看不出是同一個(gè)單位“1”。

師：通過他的介紹，現(xiàn)在你對(duì)這幾幅圖一定有更深刻的認(rèn)識(shí)了吧！我們?cè)賮砜纯创蠹疫€想到了哪些方法

生1：①號(hào)作品利用乘法的意義就解決了。

生2：②號(hào)作品是把分?jǐn)?shù)化小數(shù)，利用小數(shù)加法解決。

生3：后面兩幅作品都是將分?jǐn)?shù)賦予情境來解決的。

師：代到實(shí)際情境來解決也不錯(cuò)，你們有沒有這樣的方法？大家能想到這么多不同的方法，但不同方法之間有沒有共同點(diǎn)呢？

生1：都可以用以前學(xué)過的方法來解決。

生2：都可以用圖來表示。

生3：可以化成統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)單位或計(jì)數(shù)單位進(jìn)行計(jì)算。

……

不同學(xué)生能力水平或許不同，但卻不一定妨礙他們解決問題。前測(cè)中，學(xué)生可視化的思維方式很多，課堂教學(xué)中，將學(xué)生多元性思維充分展現(xiàn)出來，將抽象分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，從而幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)運(yùn)算。