安徽省淮北市第一中學(xué) (郵編：235000)

1 問題提出

一年一度的高考在緊張的氛圍中落下了帷幕，2019年的高考題也隨之解開了神秘的面紗.2019年的高考卷在能力立意上有了新的高度，在核心素養(yǎng)的考查上有了更明確的要求，讓會思考、善于動腦筋的同學(xué)得到了很好地展示，讓那些死學(xué)硬背、機械記憶不求甚解的學(xué)生受到了很大的打擊.

我們在關(guān)注試卷創(chuàng)新的同時，更應(yīng)該注意到對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，學(xué)生普遍反映概率題難度大做不出來，常規(guī)題型是不是都做得很好呢？為此，在高考結(jié)束后，我及時的整理了全套試卷，對高二年級的學(xué)生進行了測試(我校高二年級現(xiàn)已經(jīng)完成了整個高中階段的新課內(nèi)容的學(xué)習(xí)，本次參加測試人數(shù)737人).

通過測試發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)與解三角形、立體幾何等常規(guī)題型做得也不盡如人意，特別是立體幾何證明問題，學(xué)生在說理上思路不清晰，說理不充分，說理步驟不規(guī)范等導(dǎo)致扣分現(xiàn)象嚴(yán)重.邏輯推理能力作為六大核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)結(jié)論.構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系的重要思維方式.因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)借助立體幾何來鍛煉好學(xué)生邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和說理的充分性.

為了更好的培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，我整理了本題常見的錯誤類型，并從學(xué)生、教材以及教學(xué)方面進行了針對性的分析，查找原因，以期能以本題為點來帶動學(xué)生對整個空間幾何中邏輯推理問題有更深入的認識，也為后面的復(fù)習(xí)提供可借鑒的方法和思路.

2 真題再現(xiàn)

圖1

(2019年高考理科數(shù)學(xué)全國卷I第18題)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2,∠BAD=60°，E、M、N分別是BC、BB1、A1D的中點.

(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)略

參考答案：(1)連接B1C、ME，因為M、E分別為BB1、BC的中點，故ME又因為N為A1D的中點，所以

由ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，知A1B1AB，DCAB，故A1B1DC，則四邊形A1B1CD為平行四邊形，故B1CA1D，所以MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，得MN∥ED，又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，故MN∥平面C1DE.

3 典型錯誤與分析

第(1)問分?jǐn)?shù)設(shè)置為6分，參加考試的737名學(xué)生第(1)問整體平均得分3.52分，其中得6分學(xué)生有156人，占21.17%；得4—5分學(xué)生有203人，占27.54%；得2—3分學(xué)生有258人，占35%；得0—1分學(xué)生有120人，占16.28%.

面對第(1)問這樣的得分情況，我心中很是擔(dān)憂，也感受到了一輪復(fù)習(xí)擔(dān)子之重.一個簡單的直線與平面平行的證明問題，按理說不應(yīng)該出現(xiàn)這么大面積的錯誤和如此低的得分情況.為此我系統(tǒng)的整理了得分在0—4分之間學(xué)生的答題情況，并進行了分析，對常見的錯誤類型進行了整理和歸類，通過整理和分析發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯誤的原因主要是思路不清晰、說理不充分、步驟不規(guī)范等，下面略選幾例典型錯誤加以分析.

典型錯誤1 連接AN，通過證明平面AMN∥平面C1DE，來證明MN∥平面C1DE.

典型錯誤2 過點N作平面ABCD的垂線，交直線AD于P點，連接PB，則NP又MB故MBNP，所以MN∥PB，又PB∥DE，故MN∥ED，則MN∥平面C1DE.

典型錯誤3 連接ME，由ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，可得MN∥DE，又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，故MN∥平面C1DE.

典型錯誤4 連接B1C，ME，由ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，可得B1CA1D，又因為N為A1D的中點，所以分別為BB1、BC的中點，故ME故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，得MN∥ED，故MN∥平面C1DE.

對于典型錯誤1 是一類對證明模糊，不理解幾何證明的本質(zhì)，而且對空間中的幾何關(guān)系判斷不準(zhǔn)確，空間觀察能力不足導(dǎo)致的錯誤.對于這類學(xué)生，應(yīng)強化空間圖形基本關(guān)系的認識，加強學(xué)生的動手能力，通過實物觀察、模型操作、動手畫圖來培養(yǎng)他們的空間觀察能力和空間想象能力.

對于典型錯誤3和典型錯誤4，說理不嚴(yán)謹(jǐn)，推理過程太隨意.說理上沒有明確邏輯推理的基礎(chǔ)在哪里？應(yīng)該從哪里開始說理？推理證明的邏輯起點在哪？

比如典型錯誤3 由“ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱”能不能得到“MN∥DE”？對于典型錯誤4 由“ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱”能不能得到“B1CA1D”？四棱柱有這樣的性質(zhì)嗎？直接由“MN∥ED”得“故MN∥平面C1DE”是不是缺少必要的直線在面內(nèi)“ED?平面C1DE”，直線在面外“MN?平面C1DE”的說明？

書本上對棱柱的定義是“兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱”“我們把側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱”.由此可以看出直棱柱有以下性質(zhì)：①棱柱的側(cè)棱互相平行；②棱柱的上下底面互相平行；③直棱柱的側(cè)棱垂直于上下底面等.我們從書本的定義中不能直接得到諸如“MN∥DE”“B1CA1D”這樣的結(jié)論??！這種說理很大程度上取決于學(xué)生的主觀臆斷，看圖是什么就說成什么，而沒有形成很好的邏輯推理能力，不知道題目給出的信息隱含哪些已知條件，應(yīng)該從何處入手進行邏輯證明？

對于典型錯誤3和典型錯誤4 犯錯人數(shù)約402人占54.55%.在試卷講評課上，我通過讓學(xué)生自己分析做題思路，并講述做題過程，然后全班同學(xué)分小組討論集思廣益，并給出不同的證明方法，來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.但是通過小組合作討論，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于典型錯誤4仍然不能自主得出錯誤的原因.課下我找了部分同學(xué)談?wù)勊麄儗Φ湫湾e誤4的看法，學(xué)生給出的答案也是莫衷一是，其中有位同學(xué)說“書本上的證明就是這樣說的呀！”

于是，我又翻閱了書本(北京師范大學(xué)出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué)2 必修)，當(dāng)我細細研究書本的時候，發(fā)現(xiàn)了書本上的例題在邏輯推理上確實也存在著和學(xué)生一樣的問題.

4 追根溯源回歸課本

《北京師范大學(xué)出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué)2 必修》(2014年7月第7版)(以下簡稱北師大版)第31面例題3題目及證明的步驟選摘如下

圖2

例3 已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：平面AB1D1∥平面C1BD.

證明如圖2所示，ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以BD∥B1D1.

又B1D1平面AB1D1，從而BD∥平面AB1D1.

同理可證BC1∥平面AB1D1.

又直線BD與直線BC1交于點B，因此平面C1BD∥平面AB1D1.

對于上述證明過程我們有如下的幾點疑問：

(1)由“ABCD-A1B1C1D1是正方體”能不能直接得到面對角線平行，即“所以BD∥B1D1”？

(2)由“B1D1∥BD，又B1D1平面AB1D1”從而得“BD∥平面AB1D1”，是否缺少“BD平面AB1D1”的條件？

(3)由“BD∥平面AB1D1，同理BC1∥平面AB1D1，又直線BD與直線BC1交于點B”得到“平面C1BD∥平面AB1D1”，是否缺少“BD平面C1BD，BC1平面C1BD”的條件？

為此，我又翻閱了《人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)2必修》(2007年2月第3版，2015年5月安徽第17次印刷)(以下簡稱人教A版)的相關(guān)內(nèi)容，這兩個版本的教材都不約而同的選擇了這個題目作為例題來講述平行關(guān)系的判定方法.現(xiàn)將人教A版第57面例題2題目及證明的步驟選摘如下：

圖3

例2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1(圖3)，求證：平面AB1D1∥平面C1BD.

證明如圖2所示，ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以D1C1∥A1B1，D1C1=A1B1.

又AB∥A1B1，AB=A1B1，

所以D1C1∥AB，D1C1=AB，

所以D1C1BA為平行四邊形.

所以D1A∥C1B.

又D1A?平面C1BD，C1B?平面C1BD，

由直線與平面平行的判定定理得D1A∥C1BD，

同理D1B1∥平面C1BD，

又D1A∩D1B1=D1，

所以平面AB1D1∥平面C1BD.

通過比較可以發(fā)現(xiàn)：

(1)對于面對角線平行，即“D1A∥C1B”的證明，人教A版就沒有像北師大版教材那么“簡略”而是詳細說明了由“ABCD-A1B1C1D1是正方體”得到“D1A∥C1B”的原因，人教A版教材在這個證明的過程中就很好地利用了正方體的性質(zhì)，從已知條件出發(fā)來證明“D1A∥C1B”，減少了很多主觀隨意的成分.并且很好地體現(xiàn)了解決空間幾何問題的基本思想——降維轉(zhuǎn)化的思想.將空間正方體中的“D1A∥C1B”問題有效地轉(zhuǎn)化為正方體的表面ABB1A1及A1B1C1D1中(平面中)的平行問題來處理.我們認為這也是空間幾何證明問題的邏輯起點，即初中所學(xué)的平面幾何中的各種線面關(guān)系，它們都可以作為立體幾何中已知的結(jié)論來證明立體幾何問題，但是空間幾何體中除了空間幾何體性質(zhì)之外的點、線、面位置關(guān)系都應(yīng)該進行邏輯證明，不可以憑主觀判斷來得到.

(2)人教A版在判定直線D1A與平面C1BD平行的時候說明了三個條件：①D1A∥C1B；②D1A?平面C1BD；③C1B?平面C1BD.這對于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握直線與平面平行的判定定理有很大的好處，畢竟書本上特別強調(diào)“三個條件缺一不可”，在本例題之前學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定，在緊跟的例題中應(yīng)該把這種“三個條件缺一不可”體現(xiàn)出來.可能有人會說“表示直線C1B的兩個點都在表示平面C1BD的點里面，因此這一條可以省略”，這種說法也是可以的，但是我們要注意到本節(jié)內(nèi)容《平行關(guān)系的判定》是學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何后，開始嚴(yán)格邏輯證明的起始課，如果在書寫的步驟規(guī)范上就省略的話，學(xué)生很容易犯文章開始那樣的大面積錯誤——說理太隨意、主觀因素太多、說理步驟不規(guī)范不完整，甚至說理不充分.

(3)人教A版在判定平面AB1D1∥平面C1BD時，也沒有說明“D1A?平面AB1D1，D1B1?平面AB1D1”，我們認為這點應(yīng)該補充一下，理由同上(2)的解釋，對于平面與平面平行的判定定理“五個條件一個結(jié)論”的認識有很好的強化作用，對規(guī)范學(xué)生答題也有很好的示范作用.

5 結(jié)束語

我們認為，教材作為學(xué)生模仿的對象，應(yīng)該在各個方面都起到示范作用.不應(yīng)該出現(xiàn)讓學(xué)生誤導(dǎo)的的內(nèi)容和不規(guī)范的答題步驟.

再如，北師大版教材在用符號語言表述平面與平面平行的判定定理時是如下表述的“若直線a平面β，直線b平面β，a平面α、bα，a∩b=A，并且a∥β,b∥β，則α∥β”對于上面的語言表述我們有下列疑問：①前面說“直線a”“直線b”“平面α”“平面β”，后面又直接說“a、b、α、β”，這是為什么呢？②“直線a平面β，直線b平面β”這兩一條件真的需要說明嗎？這種語言表述是不是有啰嗦和不規(guī)范的嫌疑呢？

我們建議，平面與平面的平行判定定理的符號語言可以這樣來表述：a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，“aα，bα，a∩b=A，a∥β,b∥β?α∥β”.

在平時的教學(xué)中，教師要充分理解課標(biāo)，也要有自己的主見，以教材為綱不等于唯教材論，要深層挖掘教材，創(chuàng)造性的使用教材.對教材存在的問題要敢于提出質(zhì)疑，只有這樣不斷的反思，才能夠讓學(xué)生有更大的收獲.教學(xué)中要精選例題，要關(guān)注經(jīng)典模型(正方體、長方體、四面體等)在教學(xué)中的作用，注重答題規(guī)范，給學(xué)生起好帶頭示范作用，只有這樣才能使學(xué)生在答題過程中有正確的模仿對象，進而減少說理的隨意性和不充分性.

由于教材編寫者的邏輯語言缺乏規(guī)范性，進而給了學(xué)生一個錯誤的示范和導(dǎo)向.筆者寫此文，以期引起教材編寫者的注意，在教材的語言表述上要精雕細琢，慎之又慎.

說明北師大版教材和人教A版教材在直線與平面位置關(guān)系的符號表示上略有區(qū)別，直線l在平面α內(nèi)，北師大版表示為“l(fā)α”，人教A版表示為“l(fā)?α”；直線l不在平面α內(nèi)，北師大版表示為“l(fā)α”，人教A版表示為“l(fā)?α”，本文在引用這兩本教材時不加改變地分別保留了它們各自的表示方式.