——以指數(shù)函數(shù)的引入例題為例

浙江省杭州學(xué)軍中學(xué) 張 瑋 (郵編：310012)

2019年下半年，浙江將使用新版的人教版教材.之前筆者也參加過一些關(guān)于新教材的培訓(xùn)，對新教材也略知一二.今天筆者有幸參加了在杭州第二中學(xué)舉行的杭州市高中數(shù)學(xué)青年教師核心組主題研討會暨課堂教學(xué)實踐研究(新教材研究)主題活動.主辦方早上安排了展示課，下午安排了人民教育出版社中數(shù)室的李龍才老師關(guān)于新教材的專題報告.早上的展示課內(nèi)容是新教材指數(shù)函數(shù)第一課時，學(xué)生是已經(jīng)學(xué)習(xí)過指數(shù)函數(shù)的高一學(xué)生.

展示課的執(zhí)教老師按照新教材的例題順序給出了第一個例子.

例1 隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，而B地則取消了景區(qū)門票.下表給出了A、B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次及逐年增加量.

隨后教師讓學(xué)生做了3個探究.(1)根據(jù)兩地游客的變化人次，探究兩地的游客人次變化規(guī)律；(2)對于B景區(qū)游客的年增加量越來越大，能否有更好的刻畫方式；(3)寫出B地景區(qū)人數(shù)變化規(guī)律的函數(shù)解析式.對于A地景區(qū)，變化規(guī)律較容易得出，學(xué)生馬上就得出了結(jié)論.對于B地景區(qū)，學(xué)生顯得有些困難，在老師提醒下，有部分學(xué)生借助圖形計算器做了游客人次比值的運算.結(jié)果發(fā)現(xiàn)相鄰年份的比值大約是1.11，使得課堂得以繼續(xù).

時間/年A地景區(qū)B地景區(qū)人次/萬次年增長量/萬次人次/萬次年增長量/萬次200160027820026099309312003620113443520046319383392005641104274420066509475482007661115285320086711058860200968110655672010691107297420117029811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126

1 質(zhì)疑的產(chǎn)生

至此，筆者有一些疑問.

疑問1 如果教師不提醒，學(xué)生是否能想到求比值？即使老師提醒了，有多少學(xué)生能領(lǐng)會教師的意圖？

疑問2 是否會有學(xué)生用其他的函數(shù)，比如二次函數(shù)，來代替指數(shù)函數(shù)？

對于疑問2，筆者也將數(shù)據(jù)用Excel畫成了圖，如下所示：

若從學(xué)生的角度來看，二次函數(shù)應(yīng)該是首選.要觀察公比為1.11的等比數(shù)列，從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來講，之前沒有類似的經(jīng)驗，在處理數(shù)據(jù)的時候，會遇到很大的問題.故筆者認(rèn)為該例題的數(shù)據(jù)，無法有效的引入指數(shù)概念.

新課標(biāo)提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的六大核心素養(yǎng)，而核心素養(yǎng)要在教學(xué)中落實，又離不開數(shù)學(xué)“四基”的教學(xué)，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.新的課程目標(biāo)也指出，要讓學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，獲得“四基”，提高“四能”，在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，發(fā)展核心素養(yǎng).學(xué)生在分析例1的數(shù)據(jù)時，出現(xiàn)了困難，使得數(shù)學(xué)活動無法進(jìn)行下去.而數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，因此通過例1的學(xué)習(xí)和思考，學(xué)生無法獲得基本的活動經(jīng)驗以及提高解決問題的能力，從而無法發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象這兩大核心素養(yǎng)，即例1放在此處并不合適.

2 釋疑及改進(jìn)

課后跟幾位剛剛上課的學(xué)生進(jìn)行了交流，發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)學(xué)生能想到求比值，其他學(xué)生都沒想到考慮比值的做法.而對于想到求比值的學(xué)生，問其原因，則是因為看到了“指數(shù)函數(shù)”的課題，故而想到.由此也證實了之前的想法，即對于疑問1，能想到通過比值去觀察數(shù)據(jù)之間關(guān)系的學(xué)生，可謂是鳳毛麟角.對于已經(jīng)學(xué)習(xí)過指數(shù)函數(shù)的學(xué)生，都很難想到用比值去分析，那么對于還沒有指數(shù)函數(shù)概念的學(xué)生，要讓學(xué)生自主的通過數(shù)據(jù)分析，從例1得出指數(shù)函數(shù)的概念，難度很大，幾乎不可能.也就是說，這里的數(shù)據(jù)分析，一定是由教師代替學(xué)生分析的.對于疑問2，大多數(shù)學(xué)生不是很清楚，只是說要畫圖.也有學(xué)生想到了二次函數(shù)，但是不確定是否能找到比較好的二次函數(shù)滿足題意.

在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透可以借助“兩個過程”的合理性，即數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性和學(xué)生思維過程的合理性[1].在李龍才老師的報告中提到，在加強兩個過程的合理性的同時，還要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程.所謂完整，是指我們應(yīng)該要對多個實例進(jìn)行觀察、比較、分析，歸納出共性，抽象出(或提取出)本質(zhì)特征.然后推理出性質(zhì)，并建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)果，最后通過建模，解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題.而新教材中新增加的例1，其目的也在于結(jié)合教材中的例2，讓學(xué)生對多個實例進(jìn)行觀察、比較、分析，然后一起抽象概括出指數(shù)函數(shù)的概念.

由于學(xué)生在對例1進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時，會遇到困難，因此要通過例1來抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，這顯然違反學(xué)生思維的合理性原則.若說例1是因為考慮到學(xué)生的熟悉程度，那么新教材中的例2(生物體死亡后C14的含量)，學(xué)生也是相對陌生的；若說例1是考慮到數(shù)學(xué)要來源于生活，那么把銀行存款利息的例子作為問題引入，則更適合，因為數(shù)據(jù)間的關(guān)系更加明顯.因此，筆者認(rèn)為還是銀行存款利息的例子更為合適，這個例子學(xué)生更容易接受，而且也能完成例1所要完成的任務(wù).

如此一來，是否要將例1刪除，或者跳過呢？筆者以為如果僅僅是因為數(shù)據(jù)分析不容易做，那么可以把例1延后，即在把指數(shù)函數(shù)概念抽象出來之后，再把例1作為例題，則比較合適.因為在有了指數(shù)函數(shù)的概念之后，學(xué)生再想到指數(shù)函數(shù)的模型應(yīng)該更為簡單一些.此問題來源于生活，可以讓學(xué)生找到數(shù)學(xué)在日常生活中的運用實例.與此同時，也可以利用模型對下一年做出預(yù)測，即通過建模，解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題，即實現(xiàn)了數(shù)學(xué)的有用性，學(xué)生經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程也就相對完整了.

3 再質(zhì)疑

對于例1，筆者還有2個疑問.

疑問3 由于例1中的數(shù)據(jù)符合的太過完美，相鄰的兩個數(shù)據(jù)之間都是1.11倍的關(guān)系.所以例1中的B地景區(qū)的游客人數(shù)，是真實的數(shù)據(jù)么？

疑問4 學(xué)生想到的二次函數(shù)模型是否會比指數(shù)模型更好呢？

對于疑問3，在下午李老師的報告中，偶然間得知，B地景區(qū)就是杭州的西湖景區(qū).筆者在政府網(wǎng)站[2]上搜索了一下歷年的西湖游客人次，發(fā)現(xiàn)例1中的數(shù)據(jù)跟網(wǎng)站上的數(shù)據(jù)有比較大的出入.例如2015年，接待游客量為1200萬人次，而例1中給出的是1244萬人次；2014年，接待游客量為1000萬人次，增長13.9%，而例1中給出的是1118萬人次.由2014年的數(shù)據(jù)可以推算出2013年的接待游客量為877.96萬人次，而例1中給出的是1005萬人次.

由此看來教材中的數(shù)據(jù)應(yīng)該是做了改動，表格中給出的數(shù)據(jù)并非原始數(shù)據(jù).也就是說教材為了要引出指數(shù)函數(shù)，將真實的數(shù)據(jù)做了修改，使得數(shù)據(jù)符合預(yù)期.數(shù)學(xué)源于生活，教材用一個真實的生活場景來作為問題引入，筆者以為應(yīng)該要保證數(shù)據(jù)的真實性，否則還不如用其他的例子作為引入.另外改造真實情境的數(shù)據(jù)，會更加讓人體會到數(shù)學(xué)的無用性，因此改造真實數(shù)據(jù)的情境，不適合放入教科書作為引入或者例題，以免引起誤導(dǎo).

對于疑問4，由于新教材所給的數(shù)據(jù)有誤，故不宜采用問題1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合.筆者搜索了政府網(wǎng)站[2]上的數(shù)據(jù)，得到了2013年到2018年的西湖景區(qū)歷年游客量，最后用Excel進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合.從Excel的結(jié)果可知，若擬合函數(shù)是二次函數(shù)，則R2=0.9974；若擬合函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則R2=0.9911(其中R2等于回歸平方和與總平方和的比值，即該比值等于1或越趨近于1，說明擬合程度越好).由此看來，從2013年到2018年的游客量，指數(shù)模型并非是最好的擬合函數(shù)模型.另外筆者還查閱了2001年到2018年杭州市歷年的游客量[3]，通過Excel進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合得到如下結(jié)果：若擬合函數(shù)是二次函數(shù)，則R2=0.9981；若擬合函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則R2=0.9929.由此可知，對于反映游客量變化規(guī)律的函數(shù)模型，從擬合程度來看，二次函數(shù)比指數(shù)函數(shù)擬合程度更好.因此，例1不適合用指數(shù)模型來進(jìn)行擬合，即將例1的情境放在指數(shù)函數(shù)的引入上不合適.

4 一點感想

本次新教材的編寫，對很多模塊都做了調(diào)整，除此之外，還有一些新的東西進(jìn)入了新教材.由此可以看出新課標(biāo)對一線教師在如何教的問題上提出了更高的要求，一線教師也應(yīng)該盡快的領(lǐng)悟和消化新教材的精髓.但是對于引入例題的合理性，是否可以再斟酌一下.至少筆者以為，無論從學(xué)生思維過程的合理性角度，或者是從數(shù)據(jù)真實性的角度，抑或是從數(shù)據(jù)擬合的角度來看，例1都不是一個好的引入，應(yīng)該從教材中刪去，換一個數(shù)據(jù)真實簡單的、更加符合學(xué)生思維過程的問題來作為引入.

5 尾聲

新教材要求教師盡可能將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分的暴露在學(xué)生面前，吸引學(xué)生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂會話中驗證，實現(xiàn)意義建構(gòu)，進(jìn)而實現(xiàn)“兩個過程”的合理性，即數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性和學(xué)生思維過程的合理性.