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        一個無理分式不等式猜想的證明

        2019-10-28 04:01:58浙江湖州市雙林中學(xué)郵編313012
        關(guān)鍵詞:雙林項數(shù)易知

        浙江湖州市雙林中學(xué) (郵編:313012)

        《數(shù)學(xué)通報》2016年9月號問題2325[1]:

        設(shè)x、y是滿足xy=1的正數(shù),λ≥0,求證:

        文[2]從項數(shù)入手,給出了上述不等式的“元”推廣:

        故而文[2]改從指數(shù)入手,給出問題2325的指數(shù)推廣為:

        設(shè)x、y>0,xy=1,2≤m∈N*,λ≥0,則

        基于①、②二式,文[2]末作者自然提出如下靚麗的猜想:

        這是集問題2325指數(shù)推廣與“元”推廣于一體的綜合性推廣,是一個很有意義的不等式之“夢”. 幾經(jīng)思考、幾經(jīng)挫折,終得以修成正果. 下面給出猜想的證明.

        并作輔助函數(shù):

        易知猜想等價于以下不等式:

        ③′

        為此,考察函數(shù)f(t)的凹凸性,即f″(t)的符號,可得:

        >0(因m≥2).

        所以,函數(shù)f(t)在(-∞,+∞)內(nèi)是下凹函數(shù),故而

        ③′式成立,即③式成立. 猜想得證.

        從以上猜想的證明過程⑤式,易知:

        λ2(m-1)2e2t+λm(2m-3)et+m2

        ≥λm(2m-3)et+2·λ(m-1)et·m

        =λm(4m-5)et,

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