江蘇省南京市第五初級中學(xué) (郵編：210005 )

“有理數(shù)的乘法”是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點，“負負得正”的意義也被戲稱為“世界性難題”.有一些教師稱有理數(shù)的乘法是一個數(shù)學(xué)規(guī)定，計算教學(xué)只要學(xué)生把法則背誦下來，反復(fù)練習(xí)就可以達到又對又快，似乎沒有必要花時間去討論算理，這種觀點顯然不對．那到底需不需要創(chuàng)設(shè)實例情景引入呢？算理和法則如何生成呢？蘇教版中通過水位的例子進行解釋，解釋起來很困難，原因是引入了時間變量，涉及到三個不同的量，因此關(guān)系變得復(fù)雜，學(xué)生不易接受，本文結(jié)合教學(xué)實踐，談?wù)勛约旱南敕ǎ?/p>

1 有理數(shù)乘法的教學(xué)困境和成因分析

有理數(shù)乘法法則學(xué)習(xí)中，乘法法則的形成和理解是一個難點，其主要原因有如下幾個方面．

1.1 乘法法則的數(shù)學(xué)本質(zhì)

小學(xué)階段，學(xué)習(xí)了在非負有理數(shù)集上，定義了加減乘除四則運算，并在非負有理數(shù)集可用加法分配律、加法結(jié)合率、加法和乘法之間的分配率，在初中引入了負數(shù)之后，在有理數(shù)集上的運算是否可行？運算律是否成立？對于加法和減法，學(xué)生理解運算法則和運算律相對容易，教材中的實例情景也有效的幫助學(xué)生進行理解，對于乘法中的正數(shù)乘以正數(shù)，3×4=3+3+3+3=12，負數(shù)乘以正數(shù)，如(-3)×4=？，學(xué)生可以根據(jù)小學(xué)學(xué)過的乘法是數(shù)自身的連加，類比得到(-3)×4=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12，雖然所有教材的邏輯順序安排符合學(xué)生的認知和數(shù)學(xué)發(fā)展的順序，但并沒有也不能給予數(shù)學(xué)上嚴格的證明．因為數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，關(guān)于數(shù)學(xué)的群、環(huán)、域相關(guān)的知識和運算比較抽象，嚴格的證明更加繁瑣，很多知識在大學(xué)數(shù)學(xué)才有涉及，這個問題對于剛升入初中的學(xué)生是難以理解的，也不宜花時間去學(xué)習(xí)．

1.2 創(chuàng)設(shè)實例情景要貼近實際

1.3 創(chuàng)設(shè)實例情景要基于學(xué)情

創(chuàng)設(shè)情景要基于學(xué)生的學(xué)情和認知，在小學(xué)的運算中，基本都用了一些實例設(shè)置情景，符合學(xué)生的認知，有利于學(xué)生的理解．但學(xué)生的思維的深度和廣度還沒有達到一定的水平，剛升入初中的學(xué)生，在學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法之前，學(xué)習(xí)過了負數(shù)、數(shù)軸、絕對值、相反數(shù)等概念，以及有理數(shù)的加減運算．無論是蘇教版中用水位變化還是有的設(shè)計在數(shù)軸上理解數(shù)的變化，也就是一些基本的對應(yīng)，很多有理數(shù)乘法創(chuàng)設(shè)的情景案例中利用數(shù)軸去理解還是對學(xué)生的思維有一定的挑戰(zhàn)，對法則的形成有一定的障礙，不符合學(xué)生的學(xué)情，所以水位變化實例情景是解釋“負負得正”的好情景，但不一定是基于學(xué)情的好情景．

2 合情推理思維情景下的教學(xué)設(shè)計

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)指出在教學(xué)中要處理好合情推理與演繹推理的關(guān)系，推理包括合情推理和演繹推理.義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條理性，不要過分強調(diào)推理的形式.教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實例使學(xué)生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求.[1]推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理也稱歸納推理，由個別事實推演出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理．其思維過程：實驗，觀察，概括，推廣，猜測一般性結(jié)論．很多著名的數(shù)學(xué)猜想如歌德巴赫猜想，費馬猜想都是合情推理提出的猜想．合情推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也有很好的作用．

初一學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，很多概念的形成也是通過合情推理得到，由特殊到一般，通過特例實驗操作，歸納出一般的結(jié)論.再如，蘇教版教材中加法的交換律的形成：下面的兩塊黑板上左邊的兩個算式相等嗎？把△、Ο中的數(shù)換成其他的有理數(shù)，兩個算式的結(jié)果仍然相等嗎？讓學(xué)生通過實例驗證，從而說明加法交換律在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．

合情推理在學(xué)生的認知中有思維的情景，因此，可以由此設(shè)計負負得正．

教學(xué)設(shè)計片段：

問題1 ①(+4)×3=______； ②(-4)×3=______．

學(xué)生根據(jù)小學(xué)乘法的經(jīng)驗，(-4)×3=(-4)+(-4)+(-4)=-12很容易得出．

問題2 比較①②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)?

生：結(jié)果互為相反數(shù)．

問題3 將①②兩式的+4，-4分別換成其他互為相反數(shù)的兩個數(shù)，上述結(jié)論成立嗎?你能歸納一般性的結(jié)論嗎?

生：結(jié)論仍然成立．兩數(shù)相乘，若把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，則所得的積是原來積的相反數(shù)．

通過從特殊到一般，歸納出一般性的結(jié)論，符合合情推理的特征和學(xué)生的認知．

問題4 ③(+4)×(-3)______；④(-4)×(-3)=______．

生：根據(jù)(+4)×3=12和上述結(jié)論，可知(+4)×(-3)=-12．

根據(jù)(-4)×3=-12和上述結(jié)論，可知(-4)×(-3)=12．

教師板書：①(+4)×3=12；③(+4)×(-3)=-12.

②(-4)×3=-12；④(-3)×(-4)=12．

問題5 觀察四個式子，你能從乘數(shù)和積的符號得到什么結(jié)論?積的絕對值如何確定?

生：同號兩數(shù)相乘得正，異號兩數(shù)相乘得負．積的絕對值是乘數(shù)絕對值相乘所得．

問題設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生從符號和絕對值去思考回答．

問題6 若一個乘數(shù)是0，上述結(jié)論還成立嗎?

生：結(jié)論仍然成立，不過結(jié)果是0．

問題7 嘗試概括有理數(shù)乘法法則．

生:兩數(shù)相乘同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，0與任何數(shù)相乘都得0．

……

從學(xué)情出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的認知和已有的思維情景(合情推理)出發(fā)，設(shè)計有理數(shù)乘法運算，形成法則，比較流暢自然．從特殊到一般，符合數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，對于實例情景創(chuàng)設(shè)不應(yīng)強作要求，可以放到課后閱讀讓學(xué)生進一步感悟有理數(shù)乘法法則．適合的才是最好的．