朱燃燃，晉民杰，范英，元艷玲

（太原科技大學(xué) 交通與物流學(xué)院，山西 太原 030024）

關(guān)鍵字：齒根過渡曲線；壓力角；齒高系數(shù)；彎曲承載能力

引言

齒根彎曲承載能力與過渡曲線形狀密切相關(guān)，而齒形參數(shù)及齒輪加工刀具又直接影響齒根過渡曲線，因此有必要針對不同的過渡曲線，分析刀具加工參數(shù)及齒形參數(shù)對齒根彎曲強(qiáng)度的影響。針對標(biāo)準(zhǔn)齒輪及四種齒根過渡曲線，國內(nèi)外學(xué)者做了大量研究[1][2]：李杰、王麗萍等研究了不同過渡曲線對齒根彎曲應(yīng)力的影響，為高彎曲承載能力齒輪的設(shè)計提出依據(jù)[3-4]；于東洋、閆靠、朱燃燃等人主要研究齒輪加工刀具對齒根彎曲承載能力的影響[5][7]；王建、羅善明等人以高重合度為目的，建立壓力角與齒廓方程數(shù)學(xué)模型，主動設(shè)計滿足不同重合度需求，傳動更平穩(wěn)，承載能力更好的齒輪[6]。

綜上所述，國內(nèi)外學(xué)者多是單一分析齒根過渡曲線對齒根彎曲應(yīng)力影響或單一分析非標(biāo)齒形參數(shù)對彎曲承載能力的影響，而很少將齒形參數(shù)及齒根過渡曲線加工兩方面聯(lián)系起來。本文以提高齒輪彎曲承載能力為目的，考慮齒形參數(shù)及四種不同過渡曲線，建立齒根模型及折截面法數(shù)學(xué)模型，利用matlab 計算工具，探究齒形參數(shù)及過渡曲線對齒根彎曲承載能力的影響，最后將有限元計算結(jié)果與理論值對比，驗(yàn)證其正確性，為設(shè)計高彎曲承載能力齒輪提供理論依據(jù)。

1 建立過渡曲線模型

本文涉及四種過渡曲線，第一種為齒條型刀具，刀頂曲線為圓角；第二種為齒條型刀具，刀頂曲線為單圓??；第三種為齒輪型刀具，刀頂曲線為圓角；第四種為齒輪型刀具，刀頂曲線為單元弧。

1.1 刀具刀頂形狀

第一種刀具，刀頂齒廓如圖1（a）所示，其參數(shù)具有如下關(guān)系：

第二種刀具，刀頂齒廓如圖1（b）所示，其參數(shù)具有如下關(guān)系：

上式中，rρ為刀頂圓角半徑，c 為頂隙系數(shù)，α 為壓力角，m 為模數(shù)，為齒高系數(shù)，a 為刀具圓角CP 距中線的距離，b 為刀具圓角圓心CP 距刀具槽中心線的距離。

圖1 齒條型刀具齒廓圖

第三種刀具，刀具齒廓如圖2（a）所示，其參數(shù)之間關(guān)系如下：

第四種刀具，刀具齒廓如圖2（b）所示，其參數(shù)之間關(guān)系如下：

上式中zc為刀具齒數(shù)，rc為刀具分度圓半徑，rac為刀具齒頂圓半徑，αac為刀具齒頂壓力角。

圖2 齒輪型刀具齒廓圖

1.2 過渡曲線方程

圖3 齒條型刀具加工齒輪齒廓

用齒條型刀具加工齒輪，其延伸漸開線等距曲線的參數(shù)方程式如下：

方程式中，φ 與α'的關(guān)系為：

用齒輪插刀加工齒輪，其延伸外擺線等距曲線的參數(shù)方程式如下：

方程式中：

圖4 齒輪型刀具加工齒輪齒廓

在上述參數(shù)方程中，α'角是變參數(shù)，α'在αp～90°范圍內(nèi)變化，αp是加工齒輪時齒輪插刀與齒輪的嚙合角。對應(yīng)不同的α'角，分別帶入兩種過渡曲線刀具的參數(shù)，就可得到第三種過渡曲線或第四種過渡曲線上不同點(diǎn)的坐標(biāo)。

2 齒根彎曲強(qiáng)度分析

折截面法計算齒根彎曲應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型如下所示：

上式中具體含義可參考文獻(xiàn)[5]

圖5 齒輪受力分析

J 值反映過渡曲線上的點(diǎn)對外加載荷產(chǎn)生的齒根彎曲應(yīng)力的敏感程度，J 值越小則齒根局部應(yīng)力越大。

3 壓力角、齒高系數(shù)對齒根彎曲承載能力的影響

本文重點(diǎn)對四種過渡曲線適用的壓力角、齒高系數(shù)范圍進(jìn)行選取，在一定的變化范圍內(nèi)優(yōu)選最佳齒形參數(shù)及過渡曲線。

表1 被加工齒輪參數(shù)

3.1 四種過渡曲線適用的壓力角、齒高系數(shù)范圍計算

本文的研究目標(biāo)是提高齒根彎曲疲勞強(qiáng)度，結(jié)合齒根不干涉及齒頂必要厚度，選取齒輪壓力角范圍為20°～25°，齒高系數(shù)范圍ha=0.8～1.2。

3.2 過渡曲線J 值計算

利用Matlab，將不同齒形參數(shù)下四條過度曲線得到的J值進(jìn)行計算。標(biāo)準(zhǔn)齒輪下，四種過渡曲線的J 值隨γ 角變化的曲線表示在圖6 中。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)齒輪下J 值隨γ變化曲線圖

由圖6 可以得出結(jié)論：

1）四條過渡曲線的J 值均有一個最小值，即齒根過渡曲線上具有一個局部應(yīng)力最大值。

2）齒根局部應(yīng)力最大的點(diǎn)隨著過渡曲線的不同而不同。

由上述結(jié)論可以證明該理論的正確性，按照(9)～(12)公式，計算齒高系數(shù)、壓力角變化時，第二種與第四種過渡曲線的齒根局部應(yīng)力系數(shù)J 最小值變化關(guān)系，如圖7 圖8 所示。

圖7 齒條型刀具過渡曲線的J—ha、a 關(guān)系圖

圖8 齒輪型刀具過渡曲線的J—ha、a 關(guān)系圖

由圖7 可得出結(jié)論：齒條型單圓弧刀頂?shù)毒呒庸X輪時，隨著壓力角的增大，齒根局部應(yīng)力系數(shù)J 最小值也逐漸增大，表示相同齒高系數(shù)下，增加壓力角，可以提高齒輪的彎曲承載能力。而壓力角相同的齒輪在齒高系數(shù)發(fā)生變化時，Jmin曲線是呈拋物線形狀，最高點(diǎn)出現(xiàn)在不同位置，當(dāng)a=20°，Jmin 最大值出現(xiàn)在ha=1.05 時，當(dāng)a=25°，Jmin 最大值出現(xiàn)在ha=1.15 時，這表明齒輪的彎曲承載能力與齒高系數(shù)不是簡單的線性關(guān)系，在設(shè)計高強(qiáng)度齒輪時要充分分析齒高系數(shù)對其影響。

由圖8 可知：齒輪型單圓弧刀頂?shù)毒呒庸X輪時，隨著齒高系數(shù)的增加，齒根局部應(yīng)力系數(shù)J 最小值逐漸增大，表示相同齒頂壓力角下，增加齒輪的齒高系數(shù)，可以提高齒輪的彎曲承載能力。而在短齒情況下，壓力角的變化對齒輪的彎曲承載能力較小。

將兩種刀具加工齒輪的齒根局部應(yīng)力最小值進(jìn)行比較，得出下圖：

圖9 兩種加工方式產(chǎn)生的J 值比較

由上圖可以看出來，當(dāng)壓力角為20°時，齒輪型刀具加工的齒輪彎曲承載能力要優(yōu)于齒條型刀具加工的齒輪；當(dāng)壓力角增大到23°時，齒高系數(shù)在1.05 附近齒輪型刀具加工齒輪的Jmin與齒條型刀具加工齒輪的Jmin出現(xiàn)了交點(diǎn)，即，當(dāng)齒高系數(shù)小于1.05 時，齒條型刀具加工齒輪的彎曲承載能力要優(yōu)于齒輪型刀具加工的齒輪，而齒高系數(shù)大于1.05 時，則情況相反。當(dāng)壓力角繼續(xù)增加到25°時，交點(diǎn)出現(xiàn)在1.15附近，若壓力角繼續(xù)增加，交點(diǎn)會持續(xù)增大，最終齒條型刀具加工齒輪的彎曲承載能力要優(yōu)于齒輪型刀具加工的齒輪。這為以后高彎曲承載能力齒輪的設(shè)計提供了依據(jù)。

4 有限元分析驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性，用有限元對不同齒高系數(shù)、壓力角的齒輪進(jìn)行了建模分析。在ANSYS 中建立模型，載荷施加在齒頂，單位齒寬施加500N 力，選取表1 的幾種齒輪齒輪進(jìn)行靜態(tài)分析。

表2 有限元分析的齒輪參數(shù)

圖10 為標(biāo)準(zhǔn)齒輪下齒條型單圓弧刀頂?shù)毒呒庸X輪的有限元應(yīng)力云圖。分析齒根處最大應(yīng)力。

圖10 齒根彎曲應(yīng)力分布圖

表3 危險點(diǎn)位置比較

表4 過渡曲線對應(yīng)點(diǎn)彎曲應(yīng)力比較

由表4 可以發(fā)現(xiàn)，比較五種齒輪的齒根彎曲應(yīng)力，符合圖9 的結(jié)論。在實(shí)際齒輪生產(chǎn)過程中，要綜合考慮齒形系數(shù)及過渡曲線加工方法，以獲得高的彎曲承載能力。

5 結(jié)論

根據(jù)上述的理論計算和有限元分析，本文的結(jié)論有：

（1）合理的選取齒形系數(shù)及過渡曲線加工方式，能有效降低齒根彎曲應(yīng)力，提高齒根彎曲承載能力。

（2）用折截面法及有限元能有效、快速的推導(dǎo)出齒輪的危險界面位置及齒根彎曲應(yīng)力，為實(shí)際生產(chǎn)中齒輪設(shè)計提供高效便捷依據(jù)，但有限元和常規(guī)計算也應(yīng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)合，得到更準(zhǔn)確、更有實(shí)際意義的結(jié)論。