彭闖

摘要：本文主要介紹了統(tǒng)計(jì)套利的基本含義和基于協(xié)整的交易策略，之后選取了國(guó)內(nèi)期貨市場(chǎng)中具有代表性的滬銅1907和滬銅1908的的5分鐘的高頻交易數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行實(shí)證研究，其中包括相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)、平穩(wěn)性檢驗(yàn)及協(xié)整檢驗(yàn)等方法，最后根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果建立了誤差修正模型并制定了套利策略，并依據(jù)建立的套利策略對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行了回測(cè)，根據(jù)回測(cè)結(jié)果對(duì)套利策略及模型的有效性給與了評(píng)估。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)套利;協(xié)整檢驗(yàn);誤差修正模型;高頻數(shù)據(jù)

中圖分類(lèi)號(hào)：F820 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-913X（2019）09-0051-03

一、研究背景

國(guó)內(nèi)對(duì)于股指期貨的統(tǒng)計(jì)套利大多停留在日間數(shù)據(jù)，而對(duì)于分鐘數(shù)據(jù)等高頻數(shù)據(jù)的研究較少，而高頻數(shù)據(jù)具有交易次數(shù)多，換手頻率快等特點(diǎn)。相比于人為的投資操作，計(jì)算機(jī)的自動(dòng)化操作具有風(fēng)險(xiǎn)小、套利機(jī)會(huì)多等特點(diǎn)?；诖吮尘?，本文選取了上海期貨市場(chǎng)滬銅期貨1907與滬銅1908的5分鐘數(shù)據(jù)，希望再期貨合約的高頻交易中使用協(xié)整檢驗(yàn)和誤差修正模型，獲得協(xié)整檢驗(yàn)、誤差修正模型在高頻數(shù)據(jù)的自動(dòng)交易策略。

二、模型及交易策略介紹

（一）建模步驟及模型介紹

1.相關(guān)性檢驗(yàn)。進(jìn)行協(xié)整統(tǒng)計(jì)套利的投資標(biāo)的物之間必須是有相互關(guān)系，要先進(jìn)行相關(guān)性分析，這里選用pearson簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)。

設(shè)X，Y是兩個(gè)變量，則

其中ρxy為x，y的相關(guān)系數(shù)，cov（x，y）為兩者的協(xié)方差，σx，σy為x和y的方差，μX，μY為x，y的均值。

2.平穩(wěn)性檢驗(yàn)。在進(jìn)行時(shí)間序列建模時(shí)必須要求數(shù)據(jù)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)，必須先進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，單位根檢驗(yàn)是判斷時(shí)間序列平穩(wěn)的重要方法，本文采用ADF檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)為判斷時(shí)間序列是否存在單位根的重要統(tǒng)計(jì)方法之一，如果序列平穩(wěn)則不存在單位根，反之存在單位根。

設(shè)時(shí)間序列的p階滯后項(xiàng)回歸方程為

原假設(shè)H0：=0，存在一個(gè)單位根，對(duì)公式1進(jìn)行OLS回歸可得估計(jì)量及相應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量，t統(tǒng)計(jì)量又被稱(chēng)為ADF統(tǒng)計(jì)量，如果的ADF值小于其ADF統(tǒng)計(jì)量的臨界值，則拒絕原假設(shè)，證明原時(shí)間序列存在單位根。

3.單整。如果時(shí)間序列Xt平穩(wěn)，則稱(chēng)Xt為零階單整，記為Xt-I（0），如時(shí)間序列前d-1階差分不平穩(wěn)，第t階差分為平穩(wěn)序列，則稱(chēng)Xt為t階單整，記為Xt-I（t）。

4.協(xié)整。如果兩個(gè)時(shí)間序列{Xt}和{Yt}是兩個(gè)不平穩(wěn)的時(shí)間序列，但兩個(gè)時(shí)間序列是同階單整的，即：Xt-I（t），Yt-I（t），并且這兩個(gè)序列的線性組合β1Xt+β2Yt是t-j階單整的，記為β1Xt+β2Yt-I（k-j），則稱(chēng){Xt}和{Yt}為（k，j）階協(xié)整。

協(xié)整檢驗(yàn)鐘最常見(jiàn)的方法便是EG兩步法，假設(shè)存在兩個(gè)變量X1t和X2t，需要確定兩個(gè)變量是否具有協(xié)整關(guān)系簡(jiǎn)要步驟可以表示為：

第一步：確定兩個(gè)變量的單整階數(shù)是否一致;

第二步：估計(jì)長(zhǎng)期均衡關(guān)系。假設(shè)兩個(gè)變量X1t、X2t都為1階單整序列，則建立回歸方程：

X1t=β0+β1X2t+εt估計(jì)長(zhǎng)期均衡關(guān)系。估計(jì)的殘差為εt=X1t-β0-β1X2t

第三步：檢驗(yàn)序列是否平穩(wěn)，是偏離長(zhǎng)期均衡關(guān)系的利差估計(jì)值，如果這些利差估計(jì)值是平穩(wěn)的則稱(chēng)X1t，X2t是（1，1）階協(xié)整。

5.誤差修正模型。如果兩個(gè)變量是協(xié)整的，那么兩個(gè)變量之間必然存在長(zhǎng)期均衡關(guān)系，但由于市場(chǎng)波動(dòng)及信息不對(duì)稱(chēng)等因素長(zhǎng)期均衡中往往存在著短期偏差，這兩個(gè)變量短期偏離的不均衡現(xiàn)象可以用誤差修正模型描述。誤差修正模型的常用方法有E-G兩步法和直接估計(jì)法：

其中E-G兩步法有：

第一步：根據(jù)協(xié)整檢驗(yàn)的結(jié)果得到{Xt}和{Yt}的協(xié)整方程：

Yt=α0+α1xt+εt ?（1）

則其殘差序列為：

εt =Yt-α0-α1xt （2）

第二步：設(shè){Xt}和{Yt}的短期不均衡關(guān)系為：

△yt=β1△xt+β2ecmt-1+ut （3）

將（2）得到的εt-1替代（3）中的ecmt-1，得到誤差修正方程

△yt=β1△xt+β2（Yt-1-α0-α1xt-1）+ut

之后根據(jù)OLS估計(jì)求出β1、β2的值，β1其中被稱(chēng)為誤差修正系數(shù)。

直接估計(jì)法：

通過(guò)以△yt為因變量，△xt，yt-1，xt-1為自變量直接建立回歸方程構(gòu)建誤差修正模型。

（二）交易策略分析

根據(jù)誤差修正模型可以得出交易時(shí)兩個(gè)期貨商品的對(duì)沖比例。計(jì)算出兩種投資標(biāo)的物價(jià)差的時(shí)間序列記為spread，根據(jù)時(shí)間序列算出spread的均值μ和σ標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)價(jià)差序列的分布，確定無(wú)套利區(qū)間、套利區(qū)間和止損區(qū)間來(lái)指導(dǎo)交易。這三個(gè)區(qū)間用均值加方差的波動(dòng)來(lái)進(jìn)行劃分。

基本劃分標(biāo)準(zhǔn)為：

第一步：設(shè)閥值：0<φ1<φ2<φ3

第二步：設(shè)立區(qū)間，其中（μ-φ1σ，μ+φ1σ）為無(wú)套利區(qū)間（-∞，μ-φ3σ）及（μ+φ3σ，+∞）為止損區(qū)間，在這兩個(gè)區(qū)間中不持有頭寸。μ±φ2σ為建倉(cāng)點(diǎn)。

第三步：設(shè)立交易步驟，當(dāng)樣本價(jià)差序列向上突破μ+φ2σ，或者從止損區(qū)域（μ+φ3σ，+∞）向下?lián)舸│?φ3σ做多價(jià)差，帶spread價(jià)差序列回歸至μ+φ1σ時(shí)獲利止盈離場(chǎng)或者spread擴(kuò)大至μ+φ3σ時(shí)止損離場(chǎng)。當(dāng)樣本價(jià)差序列spread向下突破μ-φ2σ，或者從止損區(qū)域（-∞，μ-φ3σ）向上突破μ+φ3σ做多價(jià)差，待spread價(jià)差序列回歸至μ-φ1σ時(shí)獲利止盈離場(chǎng)，或者spread擴(kuò)大至μ-φ3σ時(shí)止損離場(chǎng)。

其中φ1、φ2、φ3是以歷史最大化收益為原則求出的。

三、實(shí)證分析

本文選取了從2018年5月1號(hào)到2019年5月1號(hào)滬銅1907和滬銅1908的一年的5分鐘交易數(shù)據(jù)，其中包括交易時(shí)間、交易量、買(mǎi)賣(mài)價(jià)格等變量。并以交易價(jià)格作為時(shí)間序列進(jìn)行分析，共計(jì)19547個(gè)樣本。本文抽取了所有樣本數(shù)據(jù)的前70%的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，并用后30%的數(shù)據(jù)進(jìn)行回測(cè)。

對(duì)期貨進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利的前提是這兩種期貨商品擁有較強(qiáng)的相關(guān)性，本文先選取滬銅1907與滬銅1908都為銅期貨的兩個(gè)不同的品種，本文希望先通過(guò)兩種數(shù)據(jù)的折現(xiàn)圖和散點(diǎn)圖的分布去探究下兩者的相關(guān)程度，由于高頻數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較大，故選取了前200個(gè)點(diǎn)進(jìn)行描述性分析。滬銅1907與1908的折線圖與散點(diǎn)分布圖分別如圖1、圖2所示。

從兩者的散點(diǎn)圖和折現(xiàn)圖可以看出兩種期貨商品之間存在一定的均衡關(guān)系，接著對(duì)兩種期貨商品進(jìn)行相關(guān)性分析：

從相關(guān)分析的表中也可以看出兩種期貨商品的相關(guān)系數(shù)達(dá)到了0.92，具有高度正相關(guān)。

接著對(duì)原序列做平穩(wěn)性檢驗(yàn)，并找出兩種商品的單整系數(shù)。具體的ADF檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示

從表中可以看出兩者的ADF統(tǒng)計(jì)量分別為-2.22和-2.23，均大于1%、5%、10%的臨界值，在進(jìn)行一階差分以后，兩者的ADF統(tǒng)計(jì)量分別變?yōu)?19.53和-19.55小于1%的臨界值，說(shuō)明滬銅1907與滬銅1908均為一階單整序列。接下來(lái)采用E-G兩步法進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)，先建立回歸方程，回歸方程結(jié)果如表3所示：

由表得出的回歸方程為cu1807=443.9+0.988cu

1808，接著對(duì)回歸方程的殘差進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，具體結(jié)果如表4所示：

通過(guò)協(xié)整檢驗(yàn)可以知道滬銅1907與滬銅1908具有協(xié)整關(guān)系。接著用直接估計(jì)法建立兩者的誤差修正模型，其中以滬銅1907為因變量，具體結(jié)果如表5所示：

得出的誤差修正模型為：

△cu.1907=237.35+0.95△cu.1908-0.533△cu.1907t-1+0.527△cu.1908t-1+εt

=237.35+0.95△cu.1908-0.533（cu.1907t-1-0.988cu.1908t-1）+εt

error.ecm=cu.1907t-1-0.988cu.1908t-1

其中error.ecm為誤差修正項(xiàng)，表明在兩種期貨商品的長(zhǎng)期協(xié)整關(guān)系中，當(dāng)滬銅1907偏離均衡值時(shí)下一期的波動(dòng)值不僅和cu.1908的變動(dòng)值有關(guān)還和兩者的誤差修正項(xiàng)有關(guān)，其修正的速度為-0.53，基于此得出的協(xié)整向量位（1，-0.988），表明進(jìn)行修正時(shí)兩種產(chǎn)品的對(duì)沖比例為1：0.98，表明在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利時(shí)做多一手滬銅1907時(shí)也要做空0.98手滬銅1908，同理做空一手滬銅1907，也要做多0.988手滬銅1908。

從而可以建立兩個(gè)期貨品種的樣本內(nèi)對(duì)沖價(jià)差時(shí)間序列spreadt=cu.1907-0.988cu.1908。

根據(jù)樣本內(nèi)的價(jià)差序列，得出樣本內(nèi)價(jià)差時(shí)間序列的均值為0.105，方差為1.33×10-7，根據(jù)樣本內(nèi)價(jià)差的均值和方差，按照上面所寫(xiě)的投資策略制定無(wú)套利、套利和止損區(qū)間。抽取了歷史數(shù)據(jù)的后三個(gè)月六千樣本作為測(cè)試數(shù)據(jù)，用r語(yǔ)言自己編寫(xiě)回測(cè)函數(shù)，以歷史數(shù)據(jù)的收益最大化為約束條件求出三個(gè)區(qū)間的閾值φ1=0.4、φ2=1.5、φ3=3.3，每次交易的交易費(fèi)用按10元計(jì)算，初始資金以滬銅1907與滬銅1908的一手的資金總和計(jì)算，前500個(gè)數(shù)據(jù)的價(jià)差走勢(shì)圖及回測(cè)總體累計(jì)收益數(shù)分別如圖3與圖4所示。

可以看出基于誤差修正模型得出的套利策略在前3000時(shí)套機(jī)機(jī)會(huì)較多，隨著時(shí)間的推移大約在4000期以后套利的機(jī)會(huì)開(kāi)始逐漸降低。最后根據(jù)模型得出的收益數(shù)按照全年240個(gè)交易日，得出年化收益率、最大回撤、最長(zhǎng)持倉(cāng)時(shí)間等模型回測(cè)指標(biāo)，具體結(jié)果見(jiàn)回測(cè)結(jié)果匯總表。

根據(jù)回測(cè)結(jié)果匯總表可以看出基于誤差修正模型得出的套利策略在測(cè)試數(shù)據(jù)中得到了29.67%的年收益率，期間共套利360次。

四、結(jié)論與建議

通過(guò)本文的實(shí)踐證明，在期貨市場(chǎng)上運(yùn)用誤差修正模型去進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利是可行的，并且相比于股票市場(chǎng)中日交易數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)套利更適用于基于高頻交易數(shù)據(jù)去實(shí)現(xiàn)程序化、自動(dòng)化交易，但是也可以看出高頻數(shù)據(jù)也具有交易次數(shù)頻繁，波動(dòng)劇烈等特點(diǎn)，并且期貨市場(chǎng)上需要的入市資金過(guò)高，更適用于大額資金的投資者。

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[責(zé)任編輯：譚志遠(yuǎn)]