汪 恒,鄭偉光，何仕明，陳姍姍

(桂林電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

0 引言

隨著各種無(wú)線設(shè)備自供能的需求，從環(huán)境中采集振動(dòng)能量成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱門方向[1]。由于振動(dòng)產(chǎn)生的能量分散，大小不一，如何有效集中采集環(huán)境中的振動(dòng)能成為研究的關(guān)鍵。1988年，Mironov[2]提出的一種用來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)彎曲波振動(dòng)控制的“聲學(xué)黑洞(ABH)”效應(yīng)，通過(guò)結(jié)構(gòu)阻抗的變化，使得結(jié)構(gòu)中波的相速度發(fā)生變化，在結(jié)構(gòu)特定區(qū)域?qū)崿F(xiàn)波的能量聚集[3]。聲學(xué)黑洞將物理學(xué)中的黑洞概念引入到聲振領(lǐng)域，并在振動(dòng)與噪聲控制及能量收集領(lǐng)域得到廣泛的關(guān)注[4-7]。在壓電材料與聲學(xué)黑洞結(jié)合方面，Remillieux等[8]將壓電分流阻尼技術(shù)引入聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)，通過(guò)采用負(fù)電容電路，實(shí)現(xiàn)了全頻段振動(dòng)控制；Zhao等[9]采用有限元法對(duì)壓電俘能結(jié)構(gòu)進(jìn)行了頻域穩(wěn)態(tài)分析及時(shí)域瞬態(tài)分析，結(jié)果表明，與均質(zhì)板結(jié)構(gòu)相比，壓電俘能結(jié)構(gòu)具有聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的壓電換能器在寬頻范圍內(nèi)有更高能量轉(zhuǎn)化效率。

目前，很少有學(xué)者對(duì)具有聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的壓電俘能系統(tǒng)建立系統(tǒng)電路仿真及負(fù)載電阻優(yōu)化進(jìn)行研究。本文首先采用有限元法建立具有聲學(xué)黑洞的薄板結(jié)構(gòu)壓電耦合模型，對(duì)比分析了均勻板及聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的動(dòng)能密度及電壓瞬態(tài)輸出特性，推導(dǎo)了壓電振子等效電路模型，最后在Multisim軟件中建立壓電俘能全系統(tǒng)等效電路耦合模型，確定外負(fù)載最優(yōu)電阻值，提高系統(tǒng)轉(zhuǎn)換效率。

1 聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)

在一維結(jié)構(gòu)變化的均勻介質(zhì)中，彎曲波動(dòng)方程為

(1)

式中：w為結(jié)構(gòu)橫向位移;D=Eh3/[12(1-ν2)]為彎曲剛度，E為楊氏模量，ν為泊松比；ρ為密度；h為結(jié)構(gòu)厚度；t為時(shí)間變量。

對(duì)任意一點(diǎn)，x波傳播的振幅可表達(dá)為復(fù)數(shù)形式，即

U(x)=A(x)eiΦ(x)

(2)

其中：

(3)

(4)

式中：Φ為累積相位;kp=ω/cp為均勻板的波數(shù)。

對(duì)于一個(gè)厚度呈現(xiàn)指數(shù)形式變化的結(jié)構(gòu)為

h(x)=εxm

(5)

其彎曲方程為

(6)

假設(shè)不考慮結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切效應(yīng)，波數(shù)k為

(7)

式中ω為角頻率。根據(jù)c=ω/k可得彎曲波的相速度為

(8)

將薄板按照一定指數(shù)進(jìn)行裁剪，使其厚度變化滿足h(r)=εr2(m≥2),即可形成聲學(xué)黑洞。在二維聲學(xué)黑洞中隨著厚度的減小，彎曲波的相速度也逐漸減小產(chǎn)生能量聚集效應(yīng)。當(dāng)指數(shù)m≥2，Φ區(qū)域?qū)o(wú)限大，波無(wú)法到達(dá)邊界也無(wú)法反射回來(lái)，因此彎曲波在邊緣產(chǎn)生聚集。

2 聲學(xué)黑洞型壓電俘能器結(jié)構(gòu)

實(shí)際薄結(jié)構(gòu)中的厚度不會(huì)減小至0，黑洞結(jié)構(gòu)中心存在截?cái)?。本研究在聲學(xué)黑洞薄板中心留有一厚度L、半徑r0的圓形平臺(tái)，黑洞結(jié)構(gòu)的冪指數(shù)變化為h(r)=5×10-4×r2,(r0≤r≤100),結(jié)構(gòu)其他均勻處厚度不變。在板結(jié)構(gòu)的左邊界進(jìn)行約束，距離固定端邊界L1處的均勻板面上施加點(diǎn)載荷F=Asin(2πft),以距離固定邊界L2處的薄板黑洞結(jié)構(gòu)中心下表層粘貼半徑r0、厚l3的陶瓷壓電片PZT-5H。

3 有限元分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

本研究的薄板材料選用鋁板，壓電片材料選用PZT-5H，結(jié)構(gòu)尺寸及材料參數(shù)如表1所示。假設(shè)基體部分與壓電層為理想粘結(jié)，進(jìn)行良好的結(jié)構(gòu)應(yīng)變傳遞。

表1 結(jié)構(gòu)尺寸及材料參數(shù)

3.2 仿真分析

通過(guò)有限元軟件在0～1 ms時(shí)間段進(jìn)行仿真，每隔0.05 ms選取薄板在應(yīng)力云圖(見(jiàn)圖1、2)及動(dòng)能密度圖(見(jiàn)圖3)的周期性變化。

圖1 均勻薄板的應(yīng)力云圖

圖2 黑洞結(jié)構(gòu)薄板應(yīng)力云圖

圖3 薄板動(dòng)能密度對(duì)比圖

在建好的模型中分別在兩塊薄板上選取固定位置，其三維坐標(biāo)為(75,130,5)，施加幅值為3 N的正弦激勵(lì)。由圖1～3可看出，聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)薄板在黑洞中心部分有較大的能量聚集效應(yīng)。選取薄板中心的固定位置(225,130,0)進(jìn)行動(dòng)能密度比較，均勻板上動(dòng)能密度峰值為0.017 4 J/m3，而聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)板的能量密度峰值為0.652 J/m3，從圖3可發(fā)現(xiàn)，在0～1 ms時(shí)均勻板和黑洞結(jié)構(gòu)的薄板動(dòng)能密度呈現(xiàn)周期性變化，具有聲學(xué)黑洞的動(dòng)能密度明顯高于均勻板的能量密度。可見(jiàn)，在點(diǎn)載荷的激勵(lì)下彎曲波進(jìn)入黑洞結(jié)構(gòu)區(qū)域后波長(zhǎng)壓縮，波動(dòng)幅度增大，振動(dòng)能量在結(jié)構(gòu)中心進(jìn)行累積，形成聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)薄板所示的能量集中，圖1～3給出了具體驗(yàn)證。

3.3 壓電俘能器輸出電壓分析

在兩塊不同結(jié)構(gòu)的薄板表面特定位置粘貼陶瓷壓電片，在不考慮電阻值、壓電片形狀大小等其他變量的影響下，進(jìn)行有限元軟件的多物理場(chǎng)耦合仿真，兩塊薄板的輸出電壓圖如圖4所示。

圖4 時(shí)域下不同模型的輸出電壓

在相同位置給2塊薄板施加同樣的激勵(lì)，在0～1 ms內(nèi)對(duì)其輸出電壓進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，2塊薄板結(jié)構(gòu)輸出的電壓同樣呈周期性變化，選取2塊板的輸出電壓峰值點(diǎn)，均勻板輸出的最大電壓為0.096 V，聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)薄板輸出電壓峰值達(dá)到0.562 V。通過(guò)對(duì)比，聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)薄板的壓電振子輸出電壓較均勻板提高了近6倍。

4 壓電俘能器全系統(tǒng)耦合

本文通過(guò)對(duì)壓電振子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，提高了壓電振子的電壓輸出效果，進(jìn)而提高系統(tǒng)的俘能效率。但實(shí)際應(yīng)用中，壓電俘能器是由壓電振子結(jié)構(gòu)和能量俘獲接口電路共同發(fā)揮作用。由于壓電片存在逆壓電效應(yīng)，外部電路會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)和動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生影響，同時(shí)，壓電振子輸出的交流電壓對(duì)電路中轉(zhuǎn)化的直流電壓產(chǎn)生影響。因此，本研究為了提高壓電俘能器的全系統(tǒng)效率，將壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)看成一個(gè)整體進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立壓電振子等效電路模型和壓電俘能全系統(tǒng)等效電路耦合模型[10]。

4.1 壓電振子等效電路模型

耦合建模中常用的理念方法是通過(guò)機(jī)械量與電路參數(shù)的轉(zhuǎn)化來(lái)表征壓電振動(dòng)產(chǎn)生的能量。如圖5所示，分別將均勻板和具有聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的新型壓電振子模型機(jī)械參數(shù)進(jìn)行等效電路模型轉(zhuǎn)化。

圖5 壓電振子等效電路圖

求解等效電路模型中的參數(shù)V1、R1、C1、L1、C2是本研究的關(guān)鍵。目前有理論推導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)檢測(cè)和有限元仿真3種方式。理論推導(dǎo)方法要求幾何形狀規(guī)整，實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法復(fù)雜，過(guò)程要求高，且有些參數(shù)不能直接測(cè)量得出。鑒于前面兩種方式的局限性，本研究采用有限元仿真法能有效適用于幾何形狀不規(guī)律的壓電振子模型，且能快速準(zhǔn)確計(jì)算出等效電路參數(shù)。

利用現(xiàn)有的壓電振子模型，通過(guò)Comsol軟件對(duì)其進(jìn)行短路共振頻率f(C1)、開(kāi)路共振頻率f(C2)、電荷Q0、短路電壓V(C1)、開(kāi)路電壓V(C2)仿真計(jì)算。

1) 壓電振子短路條件下的共振頻率。在仿真軟件中將壓電振子的輸出端電路短路。在Comsol中進(jìn)行特征值分析，可得出短路共振頻率f(C1)，且

(9)

2) 壓電振子開(kāi)路條件下的共振頻率。在仿真軟件中將壓電振子的輸出端不接任何負(fù)載構(gòu)成開(kāi)路。在Comsol中進(jìn)行特征值分析，可得出開(kāi)路共振頻率f(C2)，且

(10)

3) 在上述模型中，將壓電振子在輸出端不接任何負(fù)載構(gòu)成開(kāi)路，在壓電振子2個(gè)電極上施加直流電壓V0,計(jì)算產(chǎn)生的Q0，即

Q0=(C1+C2)V0

(11)

(12)

(13)

由式(9)～(11)可計(jì)算C1、L1、C2。由式(12)、(13)可得：

(14)

(15)

由(14)、(15)可計(jì)算出V1、R1。

最后根據(jù)式(9)～(15)得出壓電振子等效電路模型，如表2、3所示。

表2 均勻板壓電振子等效電路參數(shù)估計(jì)值

表3 黑洞結(jié)構(gòu)薄板壓電振子等效電路參數(shù)估計(jì)值

4.2 基于Multisim的全耦合等效電路

壓電振子在振動(dòng)產(chǎn)生電能的過(guò)程中，外部電路負(fù)載的大小會(huì)影響壓電振子和電路的耦合，進(jìn)而影響壓電俘能器整體的效果。本研究通過(guò)在Multisim建立外接全橋整流電路的振動(dòng)俘能等效電路模型，重點(diǎn)分析壓電俘能系統(tǒng)外負(fù)載電阻對(duì)能量轉(zhuǎn)換率的影響，取0≤R2≤10 000 Ω，確定負(fù)載的最優(yōu)取值范圍。圖6為壓電振子俘能系統(tǒng)等效電路圖。

圖6 壓電振子俘能系統(tǒng)等效電路圖

在外接全橋整流電路，通過(guò)仿真可得上述兩種壓電俘能裝置的俘獲功率與負(fù)載電阻值的關(guān)系，如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)俘能功率與外負(fù)載的關(guān)系

由圖7可看出，在進(jìn)行均勻板等效電路仿真時(shí)，當(dāng)外部電阻R2≈1 500 Ω，系統(tǒng)的最優(yōu)俘能效率可達(dá)1.093 μW；在進(jìn)行聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)薄板等效電路仿真時(shí),當(dāng)外部電阻R2≈510 Ω，系統(tǒng)的最優(yōu)俘能效率可達(dá)63.098 μW，聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)薄板的壓電俘能裝置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換效率較均勻板壓電俘能裝置有顯著提高。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)引入到壓電俘能器中，通過(guò)理論及仿真分析了彎曲波在黑洞結(jié)構(gòu)中聚能效果。在時(shí)域上對(duì)比分別研究了兩類俘能裝置的表面應(yīng)力云圖、動(dòng)能密度圖及輸出電壓圖。結(jié)果表明，具有聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)的新型壓電俘能器能夠有效提高薄板的振動(dòng)能量收集和壓電能量的轉(zhuǎn)換。同時(shí)，利用新型壓電俘能器建立全系統(tǒng)等效耦合電路模型，進(jìn)行電路仿真分析，確定外負(fù)載電阻的最優(yōu)取值范圍，提高系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)換效率。本研究的聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)俘能裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，造價(jià)低，聚能效果好。結(jié)合目前微電子器件和傳感器的自供能需求，聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)俘能器在實(shí)際工程應(yīng)用中具有極大的實(shí)用價(jià)值。