文南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)八（6 6）班 李晨玥 劉昕

“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！比魏问挛锏陌l(fā)展都遵循著由簡到繁、由淺入深的規(guī)律，數(shù)學(xué)中的“全等”也不例外，通過嚴(yán)密審題后的步步推論，由已知到未知，從未知中獲取相關(guān)結(jié)論。下面，結(jié)合兩道題目談?wù)劷鉀Q復(fù)雜全等問題的思路和方法，與大家分享。

例1如圖1，已知：BE=CD，∠BDO=∠CEB。求證：△BDO≌△CEO。

圖1

【分析】在△BDO與△CEO中，目前只有∠BDO=∠CEB、∠BOD=∠COE，很顯然，缺少一組相等的邊，無法直接證明全等。據(jù)此，我們認(rèn)為本題中應(yīng)存在比較容易證明的全等。在△BDO與△CEO中，∵∠BDO=∠CEB，∠BOD=∠COE，∴∠B=∠C；又∵∠A=∠A，BE=CD，顯而易見，可以用“AAS”證明△ABE≌△ACD，從而得到 AD=AE、AB=AC，則 DB=EC。接下來只需利用“AAS”證明△BDO≌△CEO即可。

【感悟】解答此類較為復(fù)雜的全等問題，當(dāng)題中所給的條件不能直接證明時(shí)，我們要仔細(xì)分析邊與邊、角與角之間的等量關(guān)系，尋找容易證明的全等，這樣，復(fù)雜的問題就迎刃而解了。其實(shí)我們經(jīng)歷了下面一個(gè)思維過程：

例2如圖2，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C?，F(xiàn)給出下列判斷：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=BD。其中正確的有___________ 。

圖2

【分析】通覽四個(gè)結(jié)論，③中的兩個(gè)三角形看起來形狀相同、大小相等，我們可以先大膽猜想它們是全等的，但根據(jù)已知條件不能直接解決，那我們應(yīng)該從最簡易的全等入手。

根據(jù)已知條件，我們不難得出△AEB≌△AFC（AAS），可得∠EAB=∠FAC ，所以∠FAN=∠EAM，故①正確。

對(duì)于②，只需考慮EM和FN所在的三角形是否全等，即證明△AEM是否全等于△AFN。由結(jié)論①不難得到△AEM≌△AFN，從而可知EM=FN，故②正確。

對(duì)于③，現(xiàn)已知∠CAN=∠BAM，∠C=∠B，缺少“邊”相等，而由②△AEM≌△AFN，易得AN=AM，從而可得△ACN≌△ABM（AAS），故③正確；

對(duì)于④，和②的思路一樣，只需考慮CD、BD所在三角形是否全等，即證明△CDM是否全等于△BDN。由②△AEM≌△AFN可得AM=AN；又因?yàn)锳C=AB，所以 CM=BN，則可證得△CDM≌△BDN，所以CD=BD。故④正確。

所以①②③④均正確。

【感悟】我們發(fā)現(xiàn)，四個(gè)結(jié)論由淺入深，層層遞進(jìn)。從題目所給的條件，由最簡單的全等三角形入手，用它的結(jié)論繼而挖掘出更多的較為復(fù)雜的全等三角形是解決本題的策略。整個(gè)解題思路，讓我們體會(huì)到“數(shù)學(xué)鏈”的味道，環(huán)環(huán)相扣，也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的連貫性、邏輯性和嚴(yán)密性。所以做此類多項(xiàng)選擇的題目時(shí)，應(yīng)立足根本，循序漸進(jìn)。值得注意的是，有時(shí)也需要適當(dāng)變換證明所給結(jié)論的順序。

教師點(diǎn)評(píng)

解決數(shù)學(xué)問題有著和大偵探破案一樣的“味道”，一樣能獲得成就感。這篇文章中，小作者發(fā)現(xiàn)了研究較為復(fù)雜的全等三角形的思路：

小作者進(jìn)而感悟到數(shù)學(xué)思維的連貫性、邏輯性和嚴(yán)密性。

其實(shí)，我們研究其他類型的數(shù)學(xué)難題時(shí)，若也能由淺入深，循序漸進(jìn)，將會(huì)有“水到渠成”“撥云見日”的效果。