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        例析中考中的“全等三角形”試題

        2019-10-22 02:15:02文肖學(xué)軍
        初中生世界 2019年34期
        關(guān)鍵詞:全等三角形題設(shè)邊角

        文肖學(xué)軍

        在歷年的中考試題中,考查全等三角形應(yīng)用的試題比比皆是,擬以近年來部分省市的中考試題為例加以說明,給同學(xué)們熱身練筆。

        一、直接考查三角形是否全等

        例1(2018·四川成都)如圖1,已知∠ABC=∠DCB,添加以下條件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )。

        A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBC

        C.AC=DBD.AB=DC

        【解析】本題已知∠ABC=∠DCB,圖中有一條公共邊BC=CB可以使用,一般不能用來判斷三角形全等的條件只有“邊邊角”即“SSA”,于是容易知道選項(xiàng)C是正確的。

        【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判斷方法。用“邊邊角”判定三角形全等是一些同學(xué)常犯的錯誤之一,要引起重視。在證明三角形全等時,特別要注意利用題設(shè)或挖掘圖形中隱藏的條件,如公共邊、公共角、部分線段相等等。

        圖2

        二、證明兩角或者兩邊相等

        例2 (2018·四川瀘州)如圖2,EF=BC,DF=AC,DA=EB。求證:∠F=∠C。

        【解析】要證明∠F=∠C,只需證明△ABC≌△DEF即可。由于題設(shè)條件中已經(jīng)具備兩組對應(yīng)邊相等這一條件,只要將DA=BE轉(zhuǎn)化為DE=AB,即可利用“邊邊邊”定理加以證明。

        【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的簡單應(yīng)用,題設(shè)條件DA=BE不可以直接使用,必須要轉(zhuǎn)化為兩邊相等的條件。

        例3(2019·陜西)如圖3,點(diǎn)A、E、F、B在直線l上,AE=BF,AC∥BD,且AC=BD。求證:CF=DE。

        圖3

        圖4

        【解析】要證明CF=DE,只要證明△ACF≌△BDE即可。由條件AC∥BD,可得∠CAF=∠DBE;又由AE=BF得到AF=BE,而AC=BD,利用“邊角邊”定理可得△ACF≌△BDE。

        【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)。證明線段和角相等常常需要先證明有關(guān)的三角形全等。

        三、探求兩邊之間的關(guān)系

        例4(2018·山東菏澤改編)如圖4,AB∥CD,AB=CD,CE=BF。請寫出DF與AE之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論。

        【解析】DF與AE之間的關(guān)系為平行且相等。由題設(shè)條件,用“邊角邊”容易證明△CDF≌△BAE,從而有DF=AE和∠CFD=∠BEA;根據(jù)“等角的補(bǔ)角相等”,得到∠DFE=∠AEF,于是有DF∥AE。結(jié)論成立。

        【點(diǎn)評】兩邊之間的關(guān)系分為位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩種。位置關(guān)系一般為平行或垂直,數(shù)量關(guān)系為相等或者倍數(shù)。

        【變式】本題若連接DE、AF,則圖中還存在哪些全等三角形?你能夠證明嗎?請大家試一試。遇到較為復(fù)雜問題時,常需要證明兩組或者多組三角形全等,本題變式便是一例。

        四、計算邊長和角度

        例5(2018·江蘇南京)如圖5,AB⊥CD,且AB=CD。E、F是AD上兩點(diǎn),CE⊥AD,BF⊥AD。若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為( )。

        A.a+cB.b+c

        C.a-b+cD.a+b-c

        圖5

        圖6

        【解析】在Rt△ABF和Rt△CDE中,因?yàn)锳B⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,所以∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,于是有∠A=∠C。又因?yàn)锳B=CD,從而△ABF≌△CDE。又因?yàn)锽F=DE=b,EF=c,故有AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c。因此答案選D。

        例6(2019·湖北宜昌)如圖6,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),AB=DB,BE平分∠ABC,交AC邊于點(diǎn)E,連接DE。

        (1)求證:△ABE≌△DBE;(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度數(shù)。

        【解析】(1)由角平分線定義得出∠ABE=∠DBE,由“邊角邊”定理證明△ABE≌△DBE即可;(2)由三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC=30°,由角平分線定義得出15°,在△ABE中,由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案。

        【點(diǎn)評】例5和例6都考查了全等三角形的判定與性質(zhì),例6還考查了角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理。熟練掌握相關(guān)概念、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵。

        五、考查全等三角形的綜合應(yīng)用

        例7 (2019·北京)如圖7,已知銳角∠AOB,(1)在射線OA上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)O為圓心,OC長為半徑作弧PQ,交射線OB于點(diǎn)D,連接CD;(2)分別以點(diǎn)C、D為圓心,CD長為半徑作弧,交弧PQ于點(diǎn)M、N;(3)連接OM、MN。根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結(jié)論中錯誤的是( )。

        A.∠COM=∠COD

        B.若OM=MN,則∠AOB=20°

        C.MN∥CDD.MN=3CD

        圖7

        【解析】連接ON,由作圖可知△COM≌△COD。可得∠COM=∠COD,故A正確。若OM=MN,則△OMN為等邊三角形,由全等可知,∠COM=∠COD=∠DON=20°,故B正確。由題意知,OC=OD,∴∠OCD=設(shè)OC、OD與MN分別交于R、S,易證△MOR≌△NOS,則OR=OS,∴∠ORS=∴∠OCD=∠ORS,∴MN∥CD,故C正確。又由題意,易證MC=CD=DN,∴MC+CD+DN=3CD。∵兩點(diǎn)之間線段最短,∴MN<MC+CD+DN=3CD,故答案選D。

        【點(diǎn)評】本題以常見的銳角為背景,通過畫弧構(gòu)建圖形,著重考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定、兩點(diǎn)之間線段最短公理等眾多數(shù)學(xué)概念和定理,將許多看似沒有聯(lián)系的知識點(diǎn)巧妙地連接在一起,立意較好,不失為一道匠心獨(dú)運(yùn)的好題!

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