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        “火眼金睛”辨模型 解決“線、角”問題靈

        2019-10-22 02:15:02文陳
        初中生世界 2019年34期
        關(guān)鍵詞:繞點(diǎn)頂角火眼金睛

        文陳 俊

        全等三角形判定的關(guān)鍵在于認(rèn)知并熟練掌握全等三角形的幾種判定方法,而難點(diǎn)在于在較復(fù)雜的圖形中,靈活運(yùn)用判定方法找出全等三角形,從而解決“線、角”問題。要迅速找出全等三角形,需要我們熟知全等三角形的常見模型。下面,簡(jiǎn)要說明與等腰三角形有關(guān)的兩種模型。

        一、“手拉手”模型

        1.模型說明

        如圖1,△ABC、△ADE均為等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,連接BD、CE,根據(jù)“SAS”,易證△ABD≌△ACE。若將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度,如圖2、圖3,則△ABD≌△ACE仍然成立。

        圖1

        圖2

        圖3

        該模型是由有公共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成?!笆掷帧蹦P统?yīng)用于旋轉(zhuǎn)題型,在旋轉(zhuǎn)變化的同時(shí),始終存在一對(duì)全等三角形。

        如果把小等腰三角形的腰長看作小手,把大等腰三角形的腰長看作大手,類似大手拉著小手,所以這個(gè)模型也被稱為“手拉手”模型。

        2.模型應(yīng)用

        如圖4,△ABC、△ADE均為等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,連接BE、CD交于點(diǎn)F,BE、AC交于點(diǎn)G。求證:(1)BE=CD;(2)∠BFC=∠BAC;(3)連接AF,AF平分∠BFD。

        圖4

        圖5

        證明:(1)∵∠BAC=∠EAD,

        ∴∠BAE=∠CAD。

        在△ABE和△ACD中,

        ∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD。

        (2)∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD。

        ∵在△ABG和△FGC中,∠ABE=∠ACD,∠AGB=∠FGC,∴∠BFC=∠BAC。

        (3)如圖5,過點(diǎn)A分別作AH⊥BE、AI⊥CD,垂足分別為點(diǎn)H、I。

        ∴AH=AI,∴Rt△AHF≌△Rt△AIF。

        ∴AF平分∠BFD。

        小結(jié):本題證明的結(jié)論均與“線、角”有關(guān),我們只需挖掘出“手拉手”模型,發(fā)現(xiàn)全等三角形,再利用全等三角形的性質(zhì)解題就水到渠成了。

        3.模型拓展——從一般到特殊

        圖6

        圖7

        圖8

        圖9

        如圖6,若△ABC和△DCE均為等邊三角形,則△CAE≌△CBD;

        如圖7,若△ABC和△ADE均為等腰直角三角形,則△ACD≌△ABE;

        如圖8,若四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形,則△ADG≌△ABE。

        二、“半角”模型

        1.模型說明

        如圖9,△ABC中,AB=AC若在△ABC外部作△ABF,且∠4=∠3,AF=AE,則△ABF≌△ACE。

        我們習(xí)慣把過等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線,使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半的模型稱為“半角”模型。

        2.模型應(yīng)用

        如圖10,已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn),DB=DC且∠BDC=120°,∠EDF=60°,DE、DF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F。

        求證:EF=BE+CF。

        圖10

        圖11

        思路:如圖11,將△BDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至△CDG,使△BDE≌△CDG。

        ∵DB=DC且∠BDC=120°,∴易證∠EBD=∠GCD=90°,F(xiàn)、C、G三點(diǎn)共線。

        在△EDF和△GDF中,

        ∵ED=GD,∠EDF=∠GDF=60°,DF=DF,

        ∴△EDF≌△GDF,∴EF=GF。

        ∵GF=GC+CF=BE+CF,∴EF=BE+CF。

        3.模型拓展——從一般到特殊

        如圖12,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn),∠EAF=45°,求證:(1)EF=BE+DF;(2)C△CEF=2AB。

        圖12

        圖13

        思路:(1)將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,可得△ABG(如圖13),則△ADF≌△ABG,易證△AGE≌△AFE,∴GE=EF。

        ∵GE=GB+BE=DF+BE,∴EF=BE+DF。

        (2)由(1)得,EF=BE+DF,

        小結(jié):利用“半角”模型,先將“半角”兩邊的三角形旋轉(zhuǎn)到一邊,合并形成新的三角形,接著證明與“半角”所在的三角形全等,最后通過全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系,從而解決問題。

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