萬華平 邰永敢 鐘劍

摘要： 結(jié)構(gòu)參數(shù)不可避免存在不確定性，參數(shù)不確定性必然會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動力特性具有不確定性。 量化動力特性不確定性能為結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計提供準(zhǔn)確的動力信息，因此發(fā)展快速有效的不確定性量化方法非常必要。提出了一種基于多項式混沌展開和最大熵原理的不確定性量化方法，用于定量參數(shù)不確定性傳遞到結(jié)構(gòu)動力特性不確定性的大小。具體是，多項式混沌展開替代模型用來取代耗時的結(jié)構(gòu)有限元模型，并實現(xiàn)解析地計算出結(jié)構(gòu)動力特性的高階統(tǒng)計矩，然后利用統(tǒng)計矩信息并結(jié)合最大熵原理推斷出結(jié)構(gòu)動力特性的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式。最后以一簡支鋼桁架橋為例，驗證多項式混沌展開和最大熵原理的結(jié)構(gòu)動力特性不確定性量化方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 動力特性; 不確定性量化; 多項式混沌展開; 最大熵原理; 統(tǒng)計矩

中圖分類號： O324; TB123 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2019）04-0574-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.003

引 言

結(jié)構(gòu)動力特性（如固有頻率）對于結(jié)構(gòu)的動力設(shè)計和振動分析等均具有重要意義，因此準(zhǔn)確表征結(jié)構(gòu)的動力特性非常重要。結(jié)構(gòu)參數(shù)的真實值往往很難獲得，引起結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的來源主要包括材料參數(shù)和幾何參數(shù)不確定性、邊界條件參數(shù)的不確定性以及結(jié)構(gòu)外荷載的不確定性等[1]。結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動力特性具有不確定性（變異性），欲得到準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)動力特性信息，參數(shù)不確定性對動力特性的影響不應(yīng)忽略。 定量參數(shù)不確定性傳遞到結(jié)構(gòu)動力特性的不確定性是結(jié)構(gòu)動力分析領(lǐng)域一個重要研究，即結(jié)構(gòu)動力特性不確定性量化[2-3]。

結(jié)構(gòu)動力不確定性量化的目的是為了定量參數(shù)不確定性引起的結(jié)構(gòu)動特性不確定性大小，表征動力特性不確定性的量包括統(tǒng)計矩（比如均值、方差）、上下限（或者包絡(luò)）和概率密度函數(shù)等。蒙托卡羅模擬（Monte Carlo Simulation， MCS）方法是量化結(jié)構(gòu)動力不確定性最為常用的方法，具有易于實現(xiàn)、穩(wěn)定性好等優(yōu)勢。MCS 方法是對不確定性參數(shù)進(jìn)行大量采樣，然后計算每次采樣值對應(yīng)的動力特性，最后對所獲的動力特性樣本進(jìn)行統(tǒng)計。由于工程結(jié)構(gòu)大多數(shù)很復(fù)雜和尺寸大，其有限元模型往往很龐大，MCS 方法因高昂的計算花費而很難應(yīng)用于工程實際[4-5]。攝動法[6-8]和區(qū)間分析法[9-12]在結(jié)構(gòu)動力特性量化研究領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，它們是基于結(jié)構(gòu)動力方程（涉及質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣）進(jìn)行分析計算，然而復(fù)雜結(jié)構(gòu)有限元模型一般是借助商用有限元軟件建立的，提取結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)矩陣并進(jìn)行后續(xù)的迭代計算非常困難。 替代模型（Metamodel）成為解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力不確定性量化的有效手段，其采用低維的和顯式的近似數(shù)學(xué)模型取代耗時的有限元模型，然后在替代模型框架下進(jìn)行不確定性量化分析。

多項式混沌展開（Polynomial Chaos Expansion， PCE）模型是在概率框架下建立的，是具有顯式表達(dá)式的參數(shù)化模型，在工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[13-15]。多項式混沌展開模型是一種正交多項式，用于響應(yīng)統(tǒng)計矩計算具有非常大的優(yōu)勢，響應(yīng)統(tǒng)計矩（如均值和方差）可以根據(jù)模型系數(shù)解析求出。本文基于多項式混沌展開這一優(yōu)勢，將多項式混沌展開代替有限元模型來進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力不確定量化分析[13]。本文的主要工作包括兩部分： （1） 建立適用于隨機參數(shù)服從任意概率分布的多項式混沌展開模型，然后解析地求出動力特性的高階統(tǒng)計矩，并不只限于一階和二階統(tǒng)計矩（即均值和方差）; （2） 基于得到的統(tǒng)計矩信息，采用最大熵原理（Maximum Entropy Principle，MEP）方法推斷動力特性的概率密度函數(shù)，概率密度函數(shù)為動力特性提供更豐富的不確定性信息。 最后用一簡支鋼桁架橋算例演示本文提出的基于多項式混沌展開和最大熵原理的結(jié)構(gòu)動力特性不確定性量化方法，并通過對比 MCS 方法計算結(jié)果來驗證本文方法的有效性。

1 基于多項式混沌展開的統(tǒng)計矩計算

用一下承式簡支鋼桁架橋驗證基于多項式混沌展開的高階統(tǒng)計矩計算和最大熵概原理的率密度函數(shù)估計的正確性。 鋼桁架橋長72 m，寬10 m，高16 m，詳細(xì)尺寸如圖2所示。 除橋面板為混凝土材料，其他構(gòu)件均為鋼材，構(gòu)件規(guī)格如表1所示。考慮到材料彈性模量存在變異性，為此視其為隨機變量，假設(shè)鋼桁架和橋面板的彈性模量均正態(tài)分布，均值為名義值，變異系數(shù)為10%。 鋼材的彈性模量名義值為2.1×1011 Pa，混凝土的彈性模量名義值為3.5×1010 Pa?？紤]到混凝土橋面板在澆筑過程中存在不確定性因素，其厚度視為隨機變量服從均值為0.3 m，變異系數(shù)為15%的均勻分布。圖 3為隨機變量取均值下的有限元分析結(jié)果。

文獻(xiàn)[20-21]建議采用10d（d為參數(shù)個數(shù)）的訓(xùn)練樣本數(shù)，為保險起見，本文采用了100個訓(xùn)練樣本。然后基于訓(xùn)練樣本建立表征隨機參數(shù)與鋼桁架橋的固有頻率關(guān)系的多項式混沌展開模型。MCS方法用來驗證本文方法的計算結(jié)果精度，MCS方法的樣本數(shù)設(shè)定為105。將多項式混沌展開的計算結(jié)果和蒙托卡羅模擬計算結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如圖4所示。由圖4可以看出， 多項式混沌展開計算結(jié)果和蒙托卡羅模擬計算結(jié)果吻合的非常好，幾乎沒有差別，最大相對誤差為 0.7538%，表明用于高階統(tǒng)計矩計算的多項式混沌展開方法精度非常高。高精度的統(tǒng)計矩對基于最大熵原理的動力特性的概率密度函數(shù)的估計具有重要意義。接下來將利用計算得到的結(jié)構(gòu)動力特性前4階統(tǒng)計矩結(jié)合最大熵原理得到結(jié)構(gòu)動力特性概率密度函數(shù)。同樣的蒙托卡羅模擬方法用來驗證概率密度函數(shù)估計結(jié)果的準(zhǔn)確性，如圖5所示。同樣地，由圖5可知基于最大熵原理得到的鋼桁架橋動力特性的概率密度函數(shù)與蒙托卡羅模擬結(jié)果非常吻合，說明本文方法用于動力特性的概率密度函數(shù)估計精度很高。該數(shù)值桁架橋一次特征值分析僅需要0.042 s，MCS方法總耗時約為70 min，而本文方法僅1 min左右。需要指出的是當(dāng)模型越復(fù)雜，有限元分析越耗時，本文方法計算效率優(yōu)勢則更為明顯。綜合上述結(jié)果，表明本文提出的多項式混沌展開和最大熵原理相結(jié)合的方法在結(jié)構(gòu)動力特性不確定性量化應(yīng)用中的有效性。

4 總 結(jié)

本文提出了一種多項式混沌展開和最大熵原理相結(jié)合的不確定性量化方法，該方法包括基于多項式混沌展開的高階統(tǒng)計矩計算和基于最大熵原理的概率密度函數(shù)估計兩部分內(nèi)容。該方法首先利用多項式混沌展開模型替代原先的復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，用于表征結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的不確定性參數(shù)與動力特性的映射關(guān)系; 然后在替代模型框架下，利用多項式混沌展開系數(shù)與單變量數(shù)字統(tǒng)計特征的組合關(guān)系快速有效地計算出結(jié)構(gòu)動力特性的高階統(tǒng)計矩; 接著將獲得的動力特性的高階統(tǒng)計矩信息作為約束條件，利用最大熵原理估計結(jié)構(gòu)動特性的概率密度函數(shù)。最后用一簡支鋼桁架橋算例演示和驗證本文方法，該桁架橋的前4階固有頻率為目標(biāo)量。采用本文方法可快速計算得到固有頻率的高階統(tǒng)計矩和概率密度函數(shù)，其計算結(jié)果與蒙特卡羅方法對比。對比結(jié)果表明： 基于多項式混沌展開技術(shù)得到的高階統(tǒng)計矩結(jié)果的精度非常高，最大相對誤差僅為 0.7538%; 以高階統(tǒng)計矩信息為約束條件，基于最大熵原理推斷的固有頻率的概率密度函數(shù)與蒙特卡羅方法估計的結(jié)果非常吻合。因此，本文提出的基于多項式混沌展開和最大熵原理相結(jié)合的方法的計算精度非常高，能夠用于結(jié)構(gòu)動力特性不確定性量化研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] 萬華平.結(jié)構(gòu)動力不確定性及其隨機模型修正方法研究[D].長沙：中南大學(xué)， 2014.

Wan H P. Study on uncertainty in structural dynamics and stochastic model updating[D]. Changsha： Central South University， 2014.

[2] Ibrahim R A. Structural dynamics with parameter uncertainties[J]. Applied Mechanics Reviews， 1987，40（3）：309-328.

[3] Mace B R， Worden K， Manson G. Uncertainty in structural dynamics[J]. Journal of Sound and Vibration， 2005，288（3）：423-429.

[4] Wan H P， Mao Z， Todd M D， et al. Analytical uncertainty quantification for modal frequencies withstructural parameter uncertainty using a Gaussian process metamodel[J]. Engineering Structures， 2014，75：577-589.

[5] Wan H P， Ren W X， Todd M D. An efficient metamodeling approach for uncertainty quantification of complexsystems with arbitrary parameter probability distributions[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2017，109（5）：739-760.

[6] 陳塑寰，張宗芬.結(jié)構(gòu)固有頻率的統(tǒng)計特性[J].振動工程學(xué)報，1991，4（1）：90-95.

Chen S H， Zhang Z F. Statistics of structural natural frequeneies[J]. Journal of Vibration Engineering， 1991，4（1）： 90-95.

[7] 劉春華，秦 權(quán).橋梁結(jié)構(gòu)固有頻率的統(tǒng)計特征[J]. 中國公路學(xué)報， 1997，10（4）：50-55.

Liu C H， Qin Q. Statistics of natural frequencies for bridge structures[J]. China Journal of Highway and Transport， 1997，10（4）：50-55.

[8] 王新堂， 梅占馨.隨機參數(shù)冷卻塔的隨機特征值樣條子域隨機攝動分析[J].計算力學(xué)學(xué)報，1997，14（2）：174-181.

Wang X T， Mei Z X. Random eigenvalue analysis of cooling tower on the spline subdomain random perturbation methods[J]. Chinese Jouranal of Computational Mechanics， 1997，14（2）：174-181.

[9] Qiu Z P， Wang X J， Friswell M I. Eigenvalue bounds of structures with uncertain-but-bounded parameters[J]. Journal of Sound and Vibration， 2005，282（1-2）：297-312.

[10] 王登剛， 李 杰. 計算具有區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)特征值范圍的一種新方法[J]. 計算力學(xué)學(xué)報， 2004，21（1）：56-61.

Wang D G， Li J. A new method for computing the eigenvalues bounds of structures with interval parameters[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2004，21（1）：56-61.

[11] 陳懷海， 陳正想. 求解實對稱矩陣區(qū)間特征值問題的直接優(yōu)化法[J]. 振動工程學(xué)報， 2000，13（1）：117-121.

Chen H H， Chen Z X. A direct optimization method for solving eigen problems of interval matrices[J]. Journal of Vibration Engineering， 2000，13（1）：117-121.

[12] Wang C， Gao W， Song C M， et al. Stochastic interval analysis of natural frequency and mode shape of structures with uncertainties[J]. Journal of Sound and Vibration， 2014，333（9）：2483-2503.

[13] Wu S Q， Law S S. Evaluating the response statistics of an uncertain bridge-vehicle system[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2012，27：576-589.

[14] 彭勇波，李 杰.基于正交展開方法的 Duffing振子隨機最優(yōu)控制[J]. 振動工程學(xué)報， 2011，24（4）：333-339.

Peng Y B， Li J. Orthogonal expansions based stochastic optimal control of Duffing oscillators[J]. Journal of Vibration Engineering， 2011，24（4）：333-339.

[15] 方圣恩， 張秋虎， 林友勤， 等. 不確定性參數(shù)識別的區(qū)間響應(yīng)面模型修正方法[J]. 振動工程學(xué)報，2015，28（1）：73-81.

Fang S E， Zhang Q H， Lin Y Q， et al. Uncertain parameter identification using interval response surface model updating[J]. Journal of Vibration Engineering， 2015，28（1）：73-81.

[16] Xiu D. Numerical Methods for Stochastic Computations： A Spectral Method Approach[M]. Princeton： Princeton University Press， 2010.

[17] Jaynes E T.Information theory and statistical mechanics[J].Physical Review，1957，106（4）：620-630.

[18] Gotovac H， Gotovac B. Maximum entropy algorithm with inexact upper entropy bound based on Fup basis functions with compact support[J]. Journal of Computational Physics， 2009，228：9079-9091.

[19] Deng Y， Ding Y L， Li A Q， et al. Prediction of extreme wind velocity at the site of the Runyang suspension bridge[J]. Applied Physics & Engineering， 2011，12（8）：605-615.

[20] Konakli K， Sudret B. Polynomial meta-models with canonical low-rank approximations： Numerical insights and comparison to sparse polynomial chaos expansions[J]. Journal of Computational Physics， 2016，321：1144-1169.

[21] Qiujing P， Daniel D. Sliced inverse regression-based sparse polynomial chaos expansions for reliability analysis in high dimensions[J]. Reliability Engineering & System Safety， 2017， 167： 484-493.

Abstract： Structural parameters inevitably involve uncertainty， and the uncertainty of parameters will lead to the variability in the structural dynamic characteristics. Quantification of uncertainty in dynamic characteristics is able to provide accurate dynamic information for structural analysis and design. Therefore， developing a rapid and effective uncertainty quantification （UQ） method is very necessary. This paper proposes an efficient UQ method with combination of polynomial chaos expansion （PCE） and maximum entropy principle （MEP） to measure the uncertainty in dynamic characteristics propagated from parameter uncertainty. Specifically， the PCE surrogate model is used to replace the time-consuming structural finite element model， and the high-order statistical moments of the structural dynamic characteristics are analytically calculated; the obtained statistical moment information and the MEP are used to deduce the probability density function of structural dynamic characteristics. Finally， a simple-supported steel truss bridge is provided to verify the feasibility of the proposed method in UQ for structural dynamic characteristics.

Key words： dynamic characteristics; uncertainty quantification characteristics; polynomial chaos expansion; maximum entropy principle; statistical moments

作者簡介： 萬華平（1986-）， 男， 副教授。電話： 15556928238;E-mail： huaping.wan@hftu.edu.cn

通訊作者： 任偉新（1960-）， 男， 教授，博士生導(dǎo)師。 E-mail： renwx@hfut.edu.cn