廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(541006)劉存華 周瑩

一、問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的”.[1]可見(jiàn),學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是灌輸知識(shí),也不是訓(xùn)練解題,而是在“過(guò)程中”才能得以培養(yǎng).但當(dāng)前一線數(shù)學(xué)課堂仍存在“段中燒”、“一言堂”的現(xiàn)象,尤其在概念教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)“開(kāi)門見(jiàn)山下定義、幾項(xiàng)注意述內(nèi)涵、題海戰(zhàn)術(shù)做訓(xùn)練”的現(xiàn)象.如此教學(xué)容易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成一知半解,對(duì)概念的本質(zhì)理解不透,“四基”將成為貧瘠的土地,核心素養(yǎng)無(wú)法生根發(fā)芽.此時(shí),教師就需要以問(wèn)題為導(dǎo)向促活課堂,提升教學(xué)質(zhì)量,發(fā)展學(xué)生“四基”,讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生根發(fā)芽.

二、基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要落實(shí)在每一次課堂當(dāng)中,需要進(jìn)行精心地設(shè)計(jì)才能將課堂這個(gè)主陣地的利用程度達(dá)到最大化.因此,很有必要探討基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì).本文在整合、優(yōu)化第八屆全國(guó)數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課的6 篇“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上,結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn),嘗試進(jìn)行了基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)：

(一)課例背景

“函數(shù)的單調(diào)性”選自《高中數(shù)學(xué)人教A 版》(必修1)1.3.1 節(jié),主要內(nèi)容是通過(guò)“數(shù)”與“形”的結(jié)合來(lái)理解概念,根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性以及應(yīng)用定義證明某些函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.學(xué)生在此之前學(xué)過(guò)基本函數(shù)的概念及表示,可以大致感知函數(shù)增減性的概念,并具備一定的抽象、概括和語(yǔ)言表達(dá)能力.本節(jié)課的重點(diǎn)是構(gòu)建增(減)函數(shù)的數(shù)學(xué)化定義,難點(diǎn)是用定義規(guī)范證明函數(shù)的單調(diào)性.

(二)教學(xué)目標(biāo)

拉夫爾-泰勒指出：“闡述清楚的目標(biāo)包括行為方面和內(nèi)容方面兩個(gè)維度,有時(shí)可借助二維表格簡(jiǎn)明清晰地闡述目標(biāo)”,因此本設(shè)計(jì)根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的要求并結(jié)合教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況,將教學(xué)目標(biāo)分解如下：(見(jiàn)表1)

表1 教學(xué)目標(biāo)

(三)教學(xué)模式

將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)中的概念形成模型[2]與周瑩教授的“六何”認(rèn)知鏈[3][4]整合成模型,并依此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).模型如下：(見(jiàn)圖1)

圖1 教學(xué)模型

(四)教學(xué)過(guò)程

1.追溯從何,引入新知

對(duì)于“函數(shù)單調(diào)性從哪里來(lái)? ”的思考,設(shè)計(jì)了生活情境來(lái)引入新知,然后通過(guò)觀察具體函數(shù)例子,得出共性.

問(wèn)題1展示小孩“上樓梯”的動(dòng)畫(huà),并問(wèn)道：在爬樓梯時(shí),小孩的位置隨臺(tái)階的變化是如何變化的?

問(wèn)題2展示本地某天的氣溫變化圖像,提出問(wèn)題：溫度與時(shí)間有什么聯(lián)系? (見(jiàn)圖2)

圖2 溫度變化折線圖

圖3 一般函數(shù)圖象

設(shè)計(jì)意圖托爾斯泰曾說(shuō)過(guò)：“成功的教學(xué),所需的不是強(qiáng)制,而是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣”.此環(huán)節(jié)從生活著手創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生對(duì)實(shí)際例子中“上升”、“下降”的描述,完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的首次感知.

問(wèn)題3觀察函數(shù)f(x)=x、f(x)=-x+ 1 以及f(x)=x2的圖象(投影函數(shù)圖象),回答問(wèn)題：

(1)從左往右看,圖象有什么樣的“上升”、“下降”規(guī)律?

(2)圖象的這種“上升”、“下降”規(guī)律,反映了當(dāng)自變量的變化時(shí),函數(shù)值是如何變化的?

設(shè)計(jì)意圖直觀感知,導(dǎo)入概念.通過(guò)從具體函數(shù)的圖象觀察“上升”、“下降”,讓學(xué)生感知單調(diào)性的圖形特征,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力,由此完成對(duì)單調(diào)性的第二次認(rèn)識(shí).

2.把握是何,形成概念

對(duì)于“單調(diào)性是什么? ”的思考,對(duì)上述函數(shù)進(jìn)行提問(wèn),從而抽象本質(zhì),形成定義.

問(wèn)題4如何描述函數(shù)“上升”、“下降”的變化趨勢(shì)?

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生根據(jù)自己的了解用自然語(yǔ)言描述“上升”、“下降”,從而由“圖象直觀”轉(zhuǎn)變到“定性描述”,不同方式的描述有利于提高語(yǔ)言表達(dá)能力.

問(wèn)題5以函數(shù)f(x)=x2+1 為例,請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述“f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),也就是在(0,+∞)上f(x)隨x的增大而增大”?

引導(dǎo)：第一步：將“x增大”符號(hào)化,類比“x增大”得到“f(x)的增大”;第二步：將“隨”字符號(hào)化;第三步：再將隱含語(yǔ)言“區(qū)間”符號(hào)化;

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)提問(wèn)和引導(dǎo),學(xué)生可以突破思維的瓶頸,初步掌握符號(hào)語(yǔ)言描述概念：“在區(qū)間(0,+∞)上任取兩個(gè)數(shù)x1,x2,當(dāng)時(shí)x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2)”來(lái)描述“在(0,+∞)上f(x)隨著x的增大而增大”,把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化到理性認(rèn)知層面.完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí)的同時(shí),樹(shù)立了學(xué)生的自信,激發(fā)了探索欲望.

問(wèn)題6請(qǐng)模仿對(duì)增函數(shù)下定義的方法,用準(zhǔn)確的符號(hào)語(yǔ)言描述“f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù)”?

問(wèn)題7如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確刻畫(huà)函數(shù)在區(qū)間D上遞增(或遞減)呢? (見(jiàn)圖3)[5]

設(shè)計(jì)意圖從對(duì)初中特殊函數(shù)直觀圖形的研究逐漸過(guò)渡到對(duì)一般函數(shù)單調(diào)性的抽象定義研究.運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行描述,感受兩種語(yǔ)言在描述上的不同關(guān)鍵點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生在圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換能力.通過(guò)類比推理,形成增減函數(shù)概念的過(guò)程,培養(yǎng)邏輯思維能力.激發(fā)類比思想的同時(shí),滲透分類整合的方法,讓學(xué)生學(xué)會(huì)完善知識(shí)結(jié)構(gòu)過(guò)程.

3.聯(lián)結(jié)與何,拓展概念

增(減)函數(shù)的定義與單調(diào)區(qū)間有何關(guān)系? 怎么用定義證明單調(diào)性? 設(shè)置以下提問(wèn)：

問(wèn)題8你能分析一下增(減)函數(shù)定義的要點(diǎn)嗎?

問(wèn)題9例題：試用單調(diào)性的定義證明f(x)=x2+2 在[0,+∞)上是增函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題8 使得學(xué)生加深對(duì)增(減)函數(shù)的認(rèn)識(shí).在此過(guò)程中還需要規(guī)范學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá),同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生理解概念的內(nèi)涵和外延以及關(guān)鍵詞,為接下來(lái)運(yùn)用概念進(jìn)行解題、證明做準(zhǔn)備.問(wèn)題9 探究單調(diào)性定義與單調(diào)區(qū)間、證明步驟關(guān)系的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).在講解“用定義證明”的例題時(shí),使學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和書(shū)寫(xiě)的規(guī)范步驟,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4.操作如何,應(yīng)用概念

學(xué)生學(xué)習(xí)了單調(diào)性的概念和單調(diào)區(qū)間之后,效果如何?課堂中穿插習(xí)題進(jìn)行考察：自學(xué)教材P29頁(yè)例題完成題目：

問(wèn)題10整個(gè)上午(8：00—12：00)天氣越來(lái)越暖,中午時(shí)分(12：00—13：00)突然下雨,天氣變得涼爽許多.雨后變晴,溫度回升,直到太陽(yáng)落山(18：00),太陽(yáng)落山之后又變涼了.請(qǐng)畫(huà)出8：00—24：00 期間氣溫與時(shí)間之間的函數(shù)圖象,并指出單調(diào)區(qū)間.

設(shè)置意圖自學(xué)例題,培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力;學(xué)以致用,及時(shí)訓(xùn)練,可根據(jù)學(xué)生反饋調(diào)整教學(xué).學(xué)生動(dòng)手繪制函數(shù)圖象并利用圖象準(zhǔn)確指出單調(diào)區(qū)間,體會(huì)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的抽象概念的理解,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

5.重視變何,理解概念

問(wèn)題11根據(jù)上述例題,完成以下變式訓(xùn)練：

變式1用定義證明函數(shù)y=x2+2 在(-∞,0)上是減函數(shù).

變式2用定義證明函數(shù)上是減函數(shù).

變式3用判斷函數(shù)在(8,20)上是增函數(shù)還是減函數(shù)? 你能證明你的判斷嗎?

設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)行代數(shù)推理的過(guò)程時(shí)體驗(yàn)其嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性,感悟數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).變式1 與例題的函數(shù)相同,通過(guò)類比可進(jìn)行解答;變式2 在變式1 的基礎(chǔ)上更換了函數(shù),增加計(jì)算難度;變式3 在函數(shù)形式、單調(diào)區(qū)間上都增加了難度.總之,梯度化的變式訓(xùn)練中,能夠更深入地理解單調(diào)遞增(減)函數(shù)的定義以及證明方法.

6.把握有何,構(gòu)建體系

問(wèn)題12今天的內(nèi)容就要收尾,我們來(lái)梳理一下整個(gè)學(xué)習(xí)的思路流程好不好? (師生梳理教學(xué)環(huán)節(jié),見(jiàn)圖4)

圖4 教學(xué)環(huán)節(jié)圖

問(wèn)題13接下來(lái)我們最后一個(gè)任務(wù)是根據(jù)教學(xué)環(huán)節(jié)做總結(jié),哪位高手能來(lái)說(shuō)說(shuō)個(gè)人收獲呢? (師生共同總結(jié),繪制思維導(dǎo)圖,見(jiàn)圖5)

圖5 課堂小結(jié)思維導(dǎo)圖

設(shè)計(jì)意圖用串聯(lián)教學(xué)環(huán)節(jié)的方式回顧,可以讓學(xué)生了解課堂梗概,掌握學(xué)習(xí)研究的流程,達(dá)到“授之以漁”之功效.緊接著依據(jù)“教學(xué)環(huán)節(jié)圖”總結(jié)本節(jié)知識(shí)、技能以及思想方法,將其納入認(rèn)知系統(tǒng),完善數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

三、教學(xué)反思

(一)在目標(biāo)、策略的設(shè)置上,定位核心素養(yǎng)

教學(xué)目標(biāo)是施教的方向標(biāo)和目的地,要培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),必須在目標(biāo)的設(shè)立時(shí)將“三維目標(biāo)”進(jìn)行拆解,融入核心素養(yǎng).哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)含核心素養(yǎng)? 哪個(gè)過(guò)程發(fā)展核心素養(yǎng)?都需要在目標(biāo)中通過(guò)“行為”和“內(nèi)容”進(jìn)行精準(zhǔn)定位,提高目標(biāo)可視化、可操作性.教學(xué)策略作為方法論,將“六何認(rèn)知鏈”與“概念形成模型”整合起來(lái)進(jìn)行指導(dǎo)教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)立,使得每個(gè)環(huán)節(jié)符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理,利于達(dá)成教學(xué)目標(biāo),發(fā)展素養(yǎng).

(二)在教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展中,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

依據(jù)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)形式,開(kāi)展教學(xué)活動(dòng),培養(yǎng)核心素養(yǎng)：在獲得概念和形成方法中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象;在探索論證和表述交流中培養(yǎng)邏輯推理;在確定思路和演繹推理的過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).以具體函數(shù)為例,抽象出共性和本質(zhì),由圖形語(yǔ)言和自然語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)程發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);理解函數(shù)單調(diào)性中的邏輯用語(yǔ)、類比增函數(shù)定義得到減函數(shù)定義等過(guò)程發(fā)展邏輯推理素養(yǎng);用定義證明函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

(三)在問(wèn)題的精心設(shè)計(jì)下,發(fā)展核心素養(yǎng)

依據(jù)目標(biāo)和教學(xué)模型設(shè)計(jì)問(wèn)題,“師導(dǎo)生探”式教學(xué)營(yíng)造活躍的課堂氛圍;以“最近發(fā)展區(qū)”為理念設(shè)計(jì)問(wèn)題,兼具合理性與挑戰(zhàn)性,調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行反饋,檢測(cè)學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展程度.如問(wèn)題10 的設(shè)置可反映“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)是否得以發(fā)展.通過(guò)提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的方式,不斷的促活課堂,發(fā)展核心素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)任重而道遠(yuǎn),需要教師提高對(duì)其重視程度,不斷的嘗試新方法,發(fā)掘新渠道,探究出一條發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效之路.