廣東省佛山市順德區(qū)沙滘初級中學(528315)鄭春明

一、前言

在近幾年的中考數(shù)學題中,一類動點最值的問題受到中考命題者的青睞,它是改編自課本中的練習題.這類問題能考查學生的綜合分析和解決問題的能力,所以成為中考的熱點問題,下面我將從2015年廣東省的一道中考題談起.

例1(2015年廣東省)如圖1,反比例函數(shù)的圖象與直線y= 3x相交于點C,過直線上點A(1,3)作AB⊥x軸于點B,交反比例函數(shù)圖象于點D,且AB=3BD.

圖1

(1)求k的值;

(2)求點C的坐標;

(3)在y軸上確定一點M,使點M到C,D兩點的距離之和d=MC+MD最小,求點M的坐標.

這道題的第(3)小題得分率不高,主要是因為學生找不到符合題意的點M,自然就求不出它的坐標.事實上,解決這道題所用的數(shù)學模型就隱藏在北師大版教科書中.北師大版《數(shù)學》七年級下冊第123頁問題解決的第5 題：如圖2,要在街道旁修建一個奶站,向居民區(qū)A、B 提供牛奶,奶站應(yīng)建在什么地方,才能使A、B從到它的距離之和最短?[2]

圖2

圖3

分析上述問題,利用數(shù)學建模思想,可轉(zhuǎn)化為：已知定點A、B和直線l,要求在直線l上求作點P,使PA+PB最小.

這道題的解決辦法是：如圖3,利用軸對稱性找到點A′,連接A′B,與直線l相交于點P,此時,PA+PB最小.通過這道題目的解答,發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵是利用軸對稱將問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”,亦可用三角形兩邊之和大于第三邊來證明.在問題的解題過程中,我們可以用一句通俗易懂的話語“加法最小找異側(cè)”來總結(jié),如果兩個點在異側(cè)直接連接出交點,如果是同側(cè)的點就需要做對稱點變成異側(cè)來解決此題.通過多年教學發(fā)現(xiàn),此口訣明白易曉,便于學生理解和記憶.下面,我將結(jié)合?？荚囶}中的相關(guān)問題,進行分類解決.

二、常考題型

(一)兩定一動型

“兩定一動型”是指在已知兩個固定點和直線上的一個動點的條件下求最值的題目,?？碱}型有三種,下面以2015年廣東省中考題第23 題的改編題為例來呈現(xiàn)這三種不同的題型.

例2(2015年廣東省第23 題改編)如圖4,反比例函數(shù)的圖象與直線y= 3x相交于點C,過直線上點A(1,3)作AB⊥x軸于點B,交反比例函數(shù)圖象于點D.

(1)在軸上是否存在點E,使CE+DE的值最小,若存在,請求出點E的坐標

(2)在軸上是否存在點F,使DF -CF的值最大,若存在,請求出點F的坐標

(3)在軸上是否存在點G,使|CG-DG|的值最小,若存在,請求出點G的坐標,若不存在,請說明理由

圖4

圖5

分析(1)這一問可以沿用前言的解題思路,以口訣“加法最小找異側(cè)”做對稱點來解決此題.

(2)這一問,利用數(shù)學建模思想可轉(zhuǎn)化為：如圖5,已知點A和點B′,問在直線l上是否存在一個動點M,使得|MA-MB′|的值最大.解決的辦法連接點A和點B′并延長與已知直線l相交于點M,此時|MA - MB′|的值最大.這樣做的理由如下：作點B′關(guān)于直線l的對稱點B,此時AM -BM=AM -B′M=AB′.接下來,在直線l上任取一個另一點M′,連接M′A、M′B、M′B′.則AM′-BM′=AM′-B′M′ ＜AB′(三角形兩邊之差小于第三邊).所以M′A-M′B ＜AM-BM,即此時AM-BM最大.

在實際解題過程中,我們可將這種模型的應(yīng)用以口訣“減法最大找同側(cè)”來總結(jié),如果兩個點在同側(cè)直接連接出交點,如果兩個點在異側(cè)則需要做對稱點變成同側(cè)來解決此題.

(3)這一問,利用絕對值最小是0 可得到CG=DG,接著設(shè)G的縱坐標是y,再利用兩點間距離公式可以列方程求出G點的坐標.

(二)一定兩動型

“一定兩動型”是指在已知一個固定點和直線上的兩個動點的情況下求最值的題目.

例3(2009 陜西)如圖6,在銳角三角形ABC中,AB=∠BAC= 45°,∠BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD和AB上的動點,則BM+MN的最小值為_____.

圖6

圖7

分析此問題的對稱軸是角平分線所在的直線,可以利用它對線段進行轉(zhuǎn)換.如圖7所示,作點N關(guān)于對稱軸的對稱點N′,連接MN′,則MN=MN′.所以,求BM+MN的最小值相當于求BM+MN′的最小值,當B、M、N′三點共線,且BN′⊥AC時,BM+MN′最小.由∠BAC=45°,AB=利用三角函數(shù)值可求得BN′=4.所以BM+MN的最小值為4.

這個問題的突破口是AD是∠BAC的平分線,利用對稱變換將MN轉(zhuǎn)化為MN′,然后“化曲為直”,接著利用“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短”,得到當BN′⊥AC時,BM+MN有最小值.

例4如圖8,∠AOB= 45°,P是∠AOB內(nèi)一點,PO= 10,Q、R分別是OA、OB上的動點,求△PQR周長的最小值.

圖8

圖9

解如圖9,分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、OB于點Q、R,連接PR、PQ,此時△PQR周長的最小值等于MN.由軸對稱性質(zhì)可得,OM=ON=OP= 10,∠MOA= ∠POA,∠NOB=∠POB,所以∠MON= 2∠AOB= 2×45°= 90°,在Rt△MON中,即△PQR周長的最小值等于

和“兩定一動型”對比,雖然多了一個動點,但是由于求的是加法的最小值,所以解法和“一定兩動型”的第一問一樣找異側(cè)、進行對稱變換的這個解題方法始終不變.

(三)兩定兩動型

“兩定兩動型”,就是已知兩個固定點和直線上的兩個動點的條件下求最值的題目.

例5 如圖10,甲、乙兩個單位分別位于一條封閉式街道的兩旁,現(xiàn)準備合作修建一座過街天橋.問：橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短? (注：橋必須與街道垂直)[3]

圖10

圖11

分析(1)兩點之間線段最短,(2)“加法最小找異側(cè)”,可利用以上原理來求解作圖.

解如圖11,將橋的長度設(shè)為CD,則這個問題中所求的路線就是AC、CD、DB三條線段之和.怎樣轉(zhuǎn)化為兩點間的一條線段呢? 根據(jù)題意得,線段CD是定值,所以只需要AC+DB最短.但是由于它們是分散的兩條線段,所以需要先將其中一條平移,如圖平移DB到CB′,此時,點A和點B′在直線l的異側(cè),根據(jù)“加法最小找異側(cè)”的口訣,此時直接連接AB′交l于P,就可以得知橋的位置.

例6(2010?江干區(qū)模擬)如圖12,已知A,B兩點在直線l的同側(cè),試用直尺(沒有刻度)和圓規(guī),在l上找兩點C和D(CD的長度為定值a),使得AC+CD+DB最短.(不要求寫畫法)

圖12

圖13

分析如圖13,因為點A和點B在直線l的同側(cè),根據(jù)“加法最小找異側(cè)”的口訣,需要先作出點A關(guān)于I的對稱點A′,點B向左平移到B′(平移的長度為定值a),再連接A′B′,與l交于C,再作BD//A′B′,與l交于D,即可確定點D、C.

點評解決這道題的方法和例5 的類似,難點主要是確定點C、點D的位置.但這道題比例5 還難,需要作出A點關(guān)于直線l的對稱點A′,將A′和B′放在直線l的異側(cè).

三、總結(jié)反思

通過上面三種題型,六道例題的分析和解答可以發(fā)現(xiàn)：動點最值的問題,無論問題的條件怎么變化,其本質(zhì)都離不開軸對稱性質(zhì)和兩個定理——“兩點之間,線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,解決問題時,關(guān)鍵是找到對稱軸,根據(jù)題意看看需不需要作出對稱點進行轉(zhuǎn)化,從而達到“化曲為直”的目的.

從一道得分率較低的中考題中引申出這么多不同類型的?？紕狱c最值問題,這些題目都能在教科書中找到原型,對于平時的教學,從中我們也能得到一點啟發(fā)：1、平時例題教學、作業(yè)講解、試卷講評等要注重變式教學(變條件、變結(jié)論、變圖形、變式子、變表達方式等).2、在講題時,除了總結(jié)外,可追問學生來激發(fā)學生思考.3、在例題講解完畢后,可用通俗易懂的口訣對方法進行適當總結(jié),例如對于兩定一動的動點最值問題可讓學生熟記“加法最小找異側(cè)”、“減法最大找同側(cè)”.