北京市通州區(qū)潞河中學(xué)(101149)趙月靈

提要 數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是指由知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系所聯(lián)結(jié)而成的整體.知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué)是指教師啟發(fā)學(xué)生將獲取離散的、表象的知識(shí)進(jìn)行整理加工,在頭腦“內(nèi)化”的基礎(chǔ)上形成多要素、多層次、多系列的網(wǎng)絡(luò)狀的縱橫聯(lián)系的動(dòng)態(tài)知識(shí)結(jié)構(gòu).當(dāng)前,高考內(nèi)容越來越重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考察,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察.高三復(fù)習(xí)任務(wù)重,時(shí)間緊,堆積的知識(shí)來不及整理,是雜亂放一起的,因此,知識(shí)無法形成能力.知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué)提供了從宏觀上對(duì)學(xué)過知識(shí)進(jìn)行梳理與重組的機(jī)會(huì),促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化,形成能力,提高素養(yǎng).本文結(jié)合實(shí)例,從五個(gè)方面闡明如何運(yùn)用知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué),優(yōu)化高三復(fù)習(xí)效果.

美國心理學(xué)家、教育家布魯納于60年代初期提出來的知識(shí)結(jié)構(gòu)理論,是20世紀(jì)以來具有代表性的現(xiàn)代教學(xué)理論之一,其核心理論是強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)過程中應(yīng)該讓學(xué)生掌握所學(xué)學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是指由知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系所聯(lián)結(jié)而成的整體.它包含的兩個(gè)基本要素：一是最基本的知識(shí);二是其他知識(shí)與最基本知識(shí)的聯(lián)系及方式.所謂知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué)是指教師啟發(fā)學(xué)生將獲取離散的、表象的知識(shí)進(jìn)行整理加工,在頭腦“內(nèi)化”的基礎(chǔ)上形成多要素、多層次、多系列的網(wǎng)絡(luò)狀的縱橫聯(lián)系的動(dòng)態(tài)知識(shí)結(jié)構(gòu).

當(dāng)前,高考內(nèi)容越來越重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考察,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察.但大部分學(xué)校高三的復(fù)習(xí)仍然是課上灌輸式教學(xué),課下題海戰(zhàn)術(shù),缺乏思維的訓(xùn)練.我們知道,高三復(fù)習(xí)任務(wù)重,時(shí)間緊,在這個(gè)過程中,學(xué)生知識(shí)量的增加較快,但此時(shí)這些知識(shí)還沒有來得及整理,就像是倉庫里堆放的物品,是雜亂的堆積在一起的,因此,知識(shí)無法形成能力.因此要學(xué)生有較為充足的時(shí)間對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)“再學(xué)習(xí)”,應(yīng)該提供了從宏觀上對(duì)學(xué)過知識(shí)進(jìn)行梳理與重組的機(jī)會(huì).而知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué)就是建立起了所學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,使知識(shí)不再是雜亂的堆積,而是有秩序、有層次的“串聯(lián)”.這時(shí),如果解決問題需要提取某個(gè)知識(shí)時(shí),就可以沿著已經(jīng)建立起的某種聯(lián)系去找,顯然,這樣更容易找到,也自然加快了問題解決的進(jìn)程,提高了數(shù)學(xué)能力.本文運(yùn)用具體實(shí)例說明如何通過知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué),優(yōu)化高三復(fù)習(xí)的效果.

一、建立知識(shí)結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生整體把握知識(shí),利于學(xué)生分析檢索相應(yīng)方法,迅速找到解題思路.

切實(shí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)是順利解答問題的基礎(chǔ),在高三教學(xué)和復(fù)習(xí)過程中,講每一章之前,要介紹這一章內(nèi)容的整體框架,使學(xué)生對(duì)整章內(nèi)容有一個(gè)整體把握.首先讓學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)中每種問題的基本方法清楚掌握,這樣在解題時(shí),學(xué)生就能由題目提供信息的啟示,從記憶系統(tǒng)里檢索出有關(guān)信息進(jìn)行綜合,選取出與題目的信息構(gòu)成最佳組合的信息,從而找到最優(yōu)解題途徑.

以《導(dǎo)數(shù)》這一章對(duì)文科的高考要求為例.我們建立知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如下：

圖1

通過結(jié)構(gòu)圖,在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生,使學(xué)生在頭腦中把自己的導(dǎo)數(shù)章節(jié)體系建立起來,在大腦中明確導(dǎo)數(shù)是什么? 導(dǎo)數(shù)如何計(jì)算? 導(dǎo)數(shù)有什么用? 在什么條件下用導(dǎo)數(shù)? 如何用?導(dǎo)數(shù)與哪些知識(shí)結(jié)合? 有哪些主要解題途徑? 哪些地方容易錯(cuò)? 等等,學(xué)生掌握了知識(shí)結(jié)構(gòu)中每種問題的主要方法,當(dāng)學(xué)生依據(jù)條件檢索時(shí),在有序的結(jié)構(gòu)體系中便很容易檢索到所需的知識(shí)和方法.

例如：(2016年北京文科20 題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)設(shè)a=b= 4,若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn),求c的取值范圍;

此題的考查內(nèi)容是導(dǎo)數(shù),第一問具體考察的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程(含參),第二問導(dǎo)數(shù)與其它知識(shí)的結(jié)合,導(dǎo)數(shù)與方程的結(jié)合,是函數(shù)零點(diǎn)問題,而函數(shù)零點(diǎn)問題的解決方法學(xué)生頭腦中已經(jīng)清晰,所以便很快會(huì)找到解題途徑.

可見,引入知識(shí)結(jié)構(gòu)可以在復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)章節(jié)知識(shí)有一個(gè)直觀的、整體的把握.這樣使學(xué)生依據(jù)自己擁有知識(shí)體系,分析題目信息,檢索出解題思路、方法及相應(yīng)的知識(shí).防止知識(shí)的漏洞,掌握基本知識(shí)點(diǎn).

二、建立知識(shí)結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生重新認(rèn)識(shí)知識(shí)的形成過程,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和遷移能力.

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)理論,學(xué)生對(duì)任何新知識(shí)的學(xué)習(xí)總是在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行,是對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改組、擴(kuò)大和調(diào)節(jié).因此,一個(gè)好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),首先要揭示數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系.[3]例如下面一個(gè)問題：

例如：若x、y滿足求xy的范圍?

高三學(xué)生大多數(shù)都不會(huì)解答,為什么呢? 因?yàn)槔蠋煕]講過這種類型的.對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說只要對(duì)試題形式稍作改變,就無能為力了,根本問題是沒有明白這個(gè)知識(shí)的本質(zhì).下面呈現(xiàn)一下我由知識(shí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的教學(xué)過程：

呈現(xiàn)線性規(guī)劃在不等式這章的位置

圖2

分析

環(huán)節(jié)1若x、y滿足則的最小值為____.

環(huán)節(jié)2動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)挖掘線性規(guī)劃問題的本質(zhì)

圖3

環(huán)節(jié)3 設(shè)計(jì)變式強(qiáng)化問題本質(zhì);

變1 若x、y滿足求x2+y2的最小值.求范圍.

變2若x、y滿足求(x+1)2+(y+2)2的最小值.求范圍?

變3若x、y滿足若z=ax+y的最小值為4,求a的值?

環(huán)節(jié)4問題延伸,靈活運(yùn)用問題本質(zhì)

變4若x、y滿足求xy的范圍?

通過過程,總結(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：

圖4

從函數(shù)上位進(jìn)行總結(jié).知識(shí)結(jié)構(gòu)圖揭示線性規(guī)劃的整體系統(tǒng),及在函數(shù)問題中的位置.對(duì)函數(shù)的共性做概括發(fā)現(xiàn),目標(biāo)函數(shù)形式無論是線性還是非線性,都是二元函數(shù),所以,這類問題本質(zhì)上是一類在約束條件下的二元函數(shù)最值問題,而二元函數(shù)最值問題的解法,根據(jù)已經(jīng)梳理出的函數(shù)方法體系,要么通過約束條件轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題,要么引入?yún)?shù),利用參數(shù)的幾何意義,數(shù)形結(jié)合加以解決.這才是這類問題解法的本質(zhì),如果認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn),只需引入?yún)?shù)k,令xy=k,得此時(shí)k的幾何意義既可以看作矩形面積,也可以根據(jù)反比例函數(shù)中k的大小對(duì)圖形的影響的幾何意義完成.因此,即使目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步變?yōu)榕c指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的其他類型都可以迎刃而解.[5]

三、建立知識(shí)結(jié)構(gòu),精選典型例題,一題多變,促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

我們知道課堂上學(xué)生的參與不僅僅是行為上的參與,更重要的是思維上的參與,要通過各種方式激活思維,深化思維,不斷地提高數(shù)學(xué)的思維能力.在高三每節(jié)課的復(fù)習(xí)中,首先在備課前列出本節(jié)課要讓學(xué)生學(xué)會(huì)的知識(shí)的結(jié)構(gòu)圖,然后由知識(shí)結(jié)構(gòu)挑選典型例題,然后引導(dǎo)學(xué)生去變化、去引申、去發(fā)現(xiàn),在變中求活,變中求新,這樣既提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).[9]

例如：高三第二輪的《導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系》的綜合復(fù)習(xí)中,我由導(dǎo)數(shù)與不等式的考點(diǎn),設(shè)計(jì)知識(shí)結(jié)構(gòu),然后設(shè)計(jì)了以下變式教學(xué),增加了課堂教學(xué)的信息容量,提升學(xué)生的理解力.

圖5

問題f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x,f(x)≥h(x)在[1,+∞)上恒成立,求m的取值范圍.

變式1f(x)=x2- mlnx,h(x)=x2- x,存在x ∈[1,+∞)使f(x)≤h(x)成立,求m的取值范圍.

變式2f(x)=x2- mlnx,h(x)=x2- x,對(duì)任意x2∈[1,2]都存在x1∈[1,+∞)使f(x1)≤h(x2)成立,求m的取值范圍.

變式3若存在實(shí)數(shù)a ∈[-2,2],使不等式ax2-ax-6+a ＞0 恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

又如：體現(xiàn)“方程、不等式、函數(shù)”等價(jià)轉(zhuǎn)換,殊途同歸、有效轉(zhuǎn)化,我設(shè)計(jì)了以下問題和變式：

例函數(shù)f(x)=ex -2x.當(dāng)x ＞0 時(shí),方程f(x)=kx2-2x無解,求k的取值范圍.

本題通過參變分離,把方程無解的問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像沒有交點(diǎn)的問題.

方程根結(jié)構(gòu)圖：

圖6

因此此題還可以做以下變形：

問法一當(dāng)x ＞0 時(shí),函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=kx2-2x圖像沒有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

問法二當(dāng)x ＞0 時(shí),函數(shù)y=f(x)-(kx2-2x)沒有零點(diǎn),求k的取值范圍.

問法三當(dāng)x ＞0 時(shí),不等式y(tǒng) ＞kx2-2x恒成立,求k的取值范圍.

問法四當(dāng)x ＞0 時(shí),函數(shù)y=f(x)圖像在函數(shù)y=kx2-2x圖像上方,求k的取值范圍.

函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系密切,有意識(shí)地利用三者之間的關(guān)系對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而簡化解題.結(jié)構(gòu)圖的價(jià)值是培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度、不同的側(cè)面去觀察問題,產(chǎn)生聯(lián)想,從而解決問題.

根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖對(duì)教材中的一些典型習(xí)題進(jìn)行變換、拓展、深化,引導(dǎo)學(xué)生從典型的例題出發(fā)去變化、去引申、去發(fā)現(xiàn),最后學(xué)生在體驗(yàn)后總結(jié)系統(tǒng)知識(shí)結(jié)構(gòu),這樣學(xué)生在變化和探究之中獲得解決問題的方法,建構(gòu)對(duì)知識(shí)的理解.如果長期訓(xùn)練,能逐步形成和擴(kuò)展知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng),使學(xué)生能在大腦記憶系統(tǒng)中構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”,形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系.學(xué)生理解力增強(qiáng),數(shù)學(xué)能力得到提高.

四、建立知識(shí)結(jié)構(gòu),整體規(guī)劃解題思路,促學(xué)生從多角度分析轉(zhuǎn)化問題,優(yōu)化解題思路.

教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn),很多學(xué)生在學(xué)習(xí)新東西時(shí),喜歡總結(jié)一定的解題模式,然后他們會(huì)機(jī)械地按照這個(gè)固定的模式去解題,對(duì)此,若不隨時(shí)予以注意,也很可能讓學(xué)生形成某種思維定勢(shì),造成思維上的呆板和僵化,不能靈活選用合適的方法.復(fù)習(xí)過程中我通常在學(xué)生熟悉題目條件后,讓學(xué)生自己規(guī)劃解題思路,清楚每種思路的方法、適用的條件、可能出現(xiàn)的困難,從而優(yōu)化解題思路.

圖7

分析給出這個(gè)題目后,我不是直接讓學(xué)生做,而是讓學(xué)生規(guī)劃基本方法和思路,所以學(xué)生根據(jù)結(jié)構(gòu)圖,規(guī)劃出下面幾種主要方法：

法一因?yàn)楫?dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),f(x)≥1 恒成立,所以等價(jià)于f(x)min≥1.

法二因?yàn)楫?dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),恒成立,所以a · ex≥x恒成立,所以a · ex - x≥0 恒成立,令F(x)=a·ex-x,所以F(x)min≥0.

法三因?yàn)楫?dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),恒成立,所以a·ex≥x恒成立,所以恒成立,令所以只需F(x)max≤a.

法四因?yàn)楫?dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),恒成立,所以a·ex≥x恒成立,所以a ＞0 時(shí),恒成立.令所以時(shí),恒成立.令所以

為了完成上述轉(zhuǎn)化,要把握兩個(gè)關(guān)鍵：(1)針對(duì)問題的需要,合理地構(gòu)造函數(shù),找到問題轉(zhuǎn)化的突破口; (2)通過整體規(guī)劃,優(yōu)化方法.“變形、再構(gòu)造”以實(shí)現(xiàn)問題的深度轉(zhuǎn)化.是整體規(guī)劃的結(jié)構(gòu),使思路全面,通過適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口,使問題簡單化、明確化.

五、建立知識(shí)結(jié)構(gòu),根據(jù)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖上好試卷講評(píng)課,進(jìn)行題組訓(xùn)練,由點(diǎn)到面.

高三很多時(shí)候是試卷講評(píng)課,講卷子,做卷子,最令老師和學(xué)生懊惱的是已經(jīng)做過的題型甚至原題,仍然做錯(cuò)或不會(huì)做.根本原因還是在于知識(shí)體系沒有得到強(qiáng)化,這是發(fā)揮結(jié)構(gòu)教學(xué)最好的時(shí)候.試卷講評(píng),不求面面俱到,抓住這套試卷要解決的主要問題,精選典型題,聯(lián)系結(jié)構(gòu),以點(diǎn)到面.所以我在講解試卷的時(shí)候?qū)τ诘湫皖}或?qū)W生出現(xiàn)問題較多的題型,采取拉出知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的方式訓(xùn)練.比如圓錐曲線部分,對(duì)于曲線上點(diǎn)的問題.

圖8

以圓錐曲線為例,要分析：

1、這張卷子還有沒有其他的圓錐曲線的題?

2、該題是的圓錐曲線的哪類問題?

3、該題在圓錐曲線知識(shí)結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的“坐標(biāo)”是什么?

4、當(dāng)時(shí)沒分析出來或錯(cuò)誤的原因是什么?

5、能把此題變化一下嗎? 變化條件、結(jié)論、引申等

6、老師補(bǔ)充一到或兩道圓錐曲線知識(shí)結(jié)構(gòu)中此卷未出但?？疾鞂W(xué)生易錯(cuò)的題目.

7、學(xué)生當(dāng)即上黑板板演,分析.

特別是到了高三后期的復(fù)習(xí)(幾次模擬訓(xùn)練)時(shí)候,要有一個(gè)由易到難,再由難到易的過程.使學(xué)生在形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,有一個(gè)良好的心理調(diào)適過程,進(jìn)而在考試中發(fā)揮出最佳水平.

系統(tǒng)論告訴我們,系統(tǒng)地組織起來的材料所提供的信息,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于部分材料提供的信息之和.就數(shù)學(xué)而言,只有將各個(gè)單元和分散知識(shí)點(diǎn),有機(jī)的納入數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)之中,形成整體性的“認(rèn)知框架”,才能顯示其應(yīng)有的活力.華羅庚說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要經(jīng)過‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過程.”這里的“由薄到厚”是學(xué)習(xí)、接受的過程,“由厚到薄”是消化、提煉的過程,這里的“由薄到厚”理解為由知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)散引申、更好地理解知識(shí),“由厚到薄”的過程歸納概括,升華,將知識(shí)系統(tǒng)化.只有同時(shí)經(jīng)歷這兩個(gè)過程,學(xué)生才能達(dá)到融會(huì)貫通,透徹理解.

著名心理學(xué)家布魯納說：“不論我們選教什么學(xué)科,務(wù)必使學(xué)生理解各門學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).經(jīng)典的遷移問題的中心,與其說是單純地掌握事實(shí)和技巧,不如說是教授和學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu).”可見,高三復(fù)習(xí)中應(yīng)注重知識(shí)結(jié)構(gòu)教學(xué),幫助學(xué)生建立相應(yīng)的知識(shí)構(gòu)圖,這對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)習(xí)效率是十分必要的.